优化设计复习资料有答案

1、优化设计复习资料有答案现代设计方法参考书目: 1、陈继平. 现代设计方法， 华中科技大学出版社。 2、高健. 机械设计优化基础， 科学出版社，2007，9 3、刘惟信. 机械最优化设计，第二版，清华大学出版社。 第一章习题 例2 某工厂生产甲乙两种产品。生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提供的材料、工时和电力见表。试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。 设每天生产甲产品x1件，乙x2件，利润为f(x1,x2)f(x1,x2)=60x1+120x2 每天实际消耗的材料、工时和电力分别用函数g1(x1,x2)、g2(x1,x2)、g3(x1,x2)表示：g1

2、(x1,x2)=9x1+4x2g2(x1,x2)=3x1+10x2g3(x1,x2)=4x1+5x2 于是上述问题可归结为：求变量x1,x2 使函数f(x1,x2)= 60x1+120x2极大化满足条件 g1(x1,x2)=9x1+4x2360 g2(x1,x2)=3x1+10x2300 g3(x1,x2)=4x1+5x2200 g4(x1,x2)=x10 g5(x1,x2)=x20 例3 一种承受纯扭矩的空心传动轴，已知传递的扭矩为T，试确定此传动轴的内外径，以使其用料最省。 例： 求下列非线性规划优化问题 优化设计的迭代算法 1、下降迭代算法的基本格式 k?1kk迭代公式 k 基本原理：从

3、某一初始设计开始，沿某个搜索方向以适当步长得到新的可行的设计，如此反复迭代，直到满足设计要求，迭代终止。 ?X?X?Sk?1kS(k)第k步的搜索方向，是一个向量；X? X*?X?X*k第k步的步长因子，是一个数，它决定在方向S(k)上所取的步长大小。 简单的说：是一个搜索、迭代、逼近的过程。最关键的是搜索的方向和步长。 迭代算法的基本步骤： 1，选定初始点X(0)，令k=0; 2、在X(k)处选定下降方向S(k);, 3、从X(k)出发沿S(k)一维搜索，找到X(k+1)=X(k)+kS(k), 使得f(X(k+1)例：f (X)=x12+4x22，已知初始点X(0)=1,1T，搜索方向S(

4、o)=-2,-4T，求X(1)=? ?1?2?1?2?(1)(0)(0) X?X?S?1?4?1?4? (1)229f(X)?(1?2?)?4(1?4?)? 368? ? 17X(1)?1 ? 17迭代终止条件：迭代法收敛性 1）线性收敛性二次收敛性超线性收敛性 终止迭代收敛准则。 ? 第二章 函数的方向导数与梯度 一、 函数的方向导数 偏导数: 只描述函数沿特殊方向的变化情况在许多实际问题中，常常要知道函数沿其它任一方向上的变化率引入方向导数的概念。 方向导数定义：设函数f(x1,x2)是点X(0)的某个邻域上的函数，它与x轴夹角为1，与y轴夹角2，设X(1)为S上另一点，则|X(0)X(1

5、)|=如果极限 存在，则称这个极限为函数f(x1,x2)在点X(0)沿S的方向导数。 已知F(X)=X21+X22，取 ?2/2?cos1?S?cos2?2/2?, 则在点处沿S方向的方向导数数值为 例题已知函数f(X)=则其在点X=(2，1)T处梯度的模为【 】 例2-1 求二元函数f(x1, x2)x12+x22-4x1-2x2+5 在X02,2处函数下降最快的方向。 解：梯度方向是函数变化率最大的方向。负梯度方向则是函数下降最快的方向。 例2-2 求二元函数f(x1, x2)(x1-2)2+(x2-1)2 在点X(1)=3,2T和X(2)=2,2T的梯度，并作图表示作业： 1、求函数f

6、(X)=x12+x22-6x1在点X(1)=1,1T, X(2)=1,2T, X(3)=-2,1T的梯度及其模，并作图表示。 2、求 例2-2 ?求二元函数f(x1, x2)x12+x22-4x1-2x2+5 在X02,2T处的海赛二阶泰勒展开式。22f (X0)?2?2?4*2?2*2?5?1? ?f(X0)? ?2x1?4?0?x1 ?f(X0)? ?f(X0)?2x2?2?2? ?x2? ?22 ?f(X0)?f(X0)? 2?x1?x2?0?2?x1 ?H(X0)?2?2?02?f(X0)?f(X0) ?2?x2?x1? ?x2? ?TT1? f(X)?f(X0)?f(X0)(X?X0

7、)?(X?X0)H(X2 T x?2x?20?x1?2?11?21?1?02? ?2x?2x?202x?2?2?2?2? 22 ?x1?x2?4x1?2x2?5 二次函数 1TTf(X)?XHX?BX?C 2B为常数向量；H为nxn阶常数矩阵。XTHX称为二次型，H称二次型矩阵。 1）若有XTHX0，则称矩阵H是正定的； 若有XTHX0，则称矩阵H是半正定的； 若有XTHX1）正定二次函数的等值线或等值面是一族同心的椭圆或同心椭球。椭圆族或椭球族的中心就是该二次函数的极小点。 2）非正定二次函数在极小点附近的等值线或等值面近似于椭圆或椭球。 例：求解等式约束问题的最优解。解： ?0?)(X?X

8、? 解 1）确定初始区间 初始区间a,b=0,2, 中间点x2=1。2）用二次插值法逼近极小点 相邻三点的函数值: x1=0, x2=1, x3=2; f1=2, f2=1, f3=18. 代入公式：xp*,fp= 于fp,应继续迭代。在新区间，相邻三点的函数值: x1=0, x2=, x3=1; f1=2, f2=, f3=1. xp*, fp= 于fpx2, 新区间a,b=x2, b=,1 |x2-xp * |=|= B.相邻两点目标函数值之差充分小 C.目标函数的导数等于零 D.目标函数梯度充分小 E.目标函数值等于零 3、对于所有非零向量X，若XTMXO,则二次刑矩阵M是() a三角矩

9、阵 B.负定矩阵C.正定矩阵 D. 非对称矩阵 E. 对称矩阵 4、求minf(X)=x12+x22-x1x2h(X)=x1+x2-1=0的极小值。 第五章 1、在复合形法中，若反射系数已被减缩到小于一个预先给定的正数，仍不能使反射点可行或优于坏点，则可用 A 好点代替坏点 B 反射点代替坏点 C 次坏点代替坏点 D 形心点代替坏点 2、对于目标函数F(X)受约束于gu(X)0(u=1,2,m)的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式为 计算题： min 1、在用复合形法求解约束优化问题： 时，选定的初始复合形的顶点为： X1=, T， X2=0, 1T X3=1, 0T， X4=, T 问优

10、化迭代计算后得到的新复合形的顶点？ f(X)?x1?2x2?2x1x2x1x2?x1?x2?0x1?0x2? 第六章 作业：教材P97， 第九章 1、平面应力问题中，诸应力分量中为零的是。 A x,y，z B xy,xz,yzC x,y,xyD z,yz,xz 2、在平面应力问题中，沿板厚方向。 A 应变为零，但应力不为零B 应力为零，但应变不为零 C 应力、应变都为零 D 应变、应力都不为零 3、从作图的结构体中取出单元体进行应力状态分析，正确的是( ) A. x=y=0,xy0 B. xy=yz=0,x=y0 C. yz=xz=0,z=0 D. x=y0,xy=0 例2 、证明：对平面三角

11、形单元形函数存在下列关系 Nixi?Njxj?Nmxm? x 4、如图所示二杆平面桁架，杆长为L，弹性模量为E，杆截面积为A，试求整体刚度矩阵；在1、2节点处引入支承条件，写出总体平衡方程。 。5、三角形单元的面积为1，厚度为1，已知三角形单元的形态矩阵为 利用单元的形态矩阵求三角形单元的刚度矩阵。 1、在一平面桁架中，已知节点3处铅直方向位移为零。若用划行划列法引入支承条件，则应划去总体刚度矩阵中的 第3行和第3列 第6行和第6列 第3行和第6列 第6行和第3列 2、对于每个节点具有三个位移分量的杆单元，两节点局部码为1，2，总码为4和1。其单元刚度矩阵中的元素k32应放入总体刚度矩阵K的

12、第3行第2列上 第4行第1列上 第9行第6列上 第12行第11列上 3、在一平面刚架中共有9个杆单元，12个节点，则其总体刚度矩阵K是9阶方阵12阶方阵36阶方阵912阶矩阵 4、若把平面应力问题的弹性矩阵改为平面应变问题的弹性矩阵只需将 E换成E/(1-2) , 换成/(1-2) E换成E/(1-2) , 换成/(1-) E换成E/(1-) , 换成/(1-2) E换成E/(1-) , 换成/(1-) 5、刚架杆单元与平面三角形单元 单元刚度矩阵阶数不同 局部坐标系的维数不同 无任何不同 节点载荷和位移分量数不同 6、图示平面结构的总体刚度矩阵和竖带矩阵K*的元素总数分别是。 400和200

13、 400和160 484和200484和160 7、材料性质均匀的三节点三角形单元，其内部各点 应力和应变均不随位置变化 应力和应变均随位置变化 应力不随位置变化，应变随位置变化 应力随位置变化，应变不随位置变化 8、描述位移与应变关系的方程称 弹性方程几何方程平衡方程 虚功方程 9、在以平面刚架中，支承节点4的水平方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，则应将总体刚度矩阵中的 第4行和第4列上的元素换为大数A 第4行和第4列上的所有元素换为大数A 第10行、第10列上的元素换为大数A 第10行、第10列上的所有元素换为大数A 10、图示的四根杆组成的平面刚架结构，用杆单元进行有限元分析，单

14、元和节点的划分如图示，则总体刚度矩阵的大小为 8x8阶矩10x10阶矩阵 12x12阶矩阵 16x16阶矩阵 11、 在弹性力学平面刚架问题中，已知相邻节点总码的最大差值为5，则半宽值为() 10 18 15 12 12、图示平面应力问题的结构中,单元刚度矩阵 KI=KIII, KII=KIV, 但KIKII KI=KII, KIII=KIV, 但KIKIII KIKIIKIIIKIV KI=KII=KIII=KIV 阶段测试题 一、选择题 1. 在优化设计压缩螺旋弹簧时，如果安装空间很紧，则此时可选弹簧的作为优化目标。 A、外径或长度最大B、外径或长度最小 C、压力最大 D、压力最小 2.下

15、列无约束优化方法中不属于梯度算法的是 A.最速下降法 B.牛顿法C.变尺度法 D.坐标轮换法 3在下列无约束优化方法中，需要计算Hessian矩阵。 A、powell法B、梯度法 C、牛顿法 D、共轭梯度法 4. 利用法在搜索区间a,b内确定两点a1=,b1=,此可以知道区间a,b的值是() 二计算题 1、 使用K-T条件判断X=-1 1T点是否为目标函数 f(X)=x12+x22+4x1-4x2+10，受约束于g1(X)=x1-x2+20 g2(X)=-x12-x22-2x1+2x20 时的最优点。 2用阻尼牛顿法求目标函数F(x)=x21+4x22的极小点,已知初始点X(0)=2，2T,给

16、定=。(10分) 3. 设某无约束优化问题的目标函数为 f(x)= x 1 2 +9x 2 2 ，已知初始迭代点 X 0 =2，2 T ，第 1 次迭代所取的方向 S 0 =-4，-36 T ，步长 0 = ，第 2 次迭代所取的方向 S 1 =-，- T，步长 1 = ，试计算： (1) 第1次和第2次迭代计算所获得的迭代点X 1和X 2； (2) 在点X 0、X 1、X 2处的目标函数值 f 0、f 1、f 2； (3) 用梯度准则判别完成了第2次迭代后能否终止迭代，精度要求 =。 5.求函数F(X)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+f(x3x1)2的Hessian矩阵，并判别其性质。

17、 6、从直径D=100mm的圆木中锯出矩形梁，选择矩形梁的矩形截面的长为x1，高为x2，以使其抗弯强度为最大，试建立其优化数学模型。试用外点罚函数法求其最优解； 写出内点罚函数法求解约束优化问题的惩罚函数。 2、用内点罚函数法求解： minf(X)? g(X)?5?x?0k问随着rk的改变惩罚函数的最小值X*( r )是沿着怎样一条轨迹趋向于f(X)的约束最优点，写出该轨迹的表达式。 3、对于约束优化问题 min f(X)?x1?2x2?2x1x?g1(X)?x12?x2?x1x2?2?0 ? ?g2(X)?x1?0?g(X)?x?02?3用复合形法求解，已知初始复合形的顶点X31?，X2?0

18、?1?，X?1?0?，X4?，求迭代一次后的复合形顶点。 4、一长方形薄板如图所示。其两端受均匀拉伸P， 。板长12cm,宽4cm，厚1cm。 。使用有限元法求解板的内应力，并和精确解比较。 已知： 1、在一平面桁架中，已知节点3处铅直方向位移为零。若用划行划列法引入支承条件，则应划去总体刚度矩阵中的 第3行和第3列 第6行和第6列 第3行和第6列 第6行和第3列 2、对于每个节点具有三个位移分量的杆单元，两节点局部码为1，2，总码为4和1。其单元刚度矩阵中的元素k32应放入总体刚度矩阵K的 第3行第2列上 第4行第1列上 第9行第6列上 第12行第11列上 3、在一平面刚架中共有9个杆单元，12个节点，则其总体刚度矩阵K是9阶方阵12阶方阵36阶方阵912阶矩阵 4、若把平面应力问题的弹性矩阵改为平面应变问题的弹性矩阵只需将 E换成E/(1-2) , 换成/(1-2) E换成E/(1-2) , 换成/(1-) E换成E/(1-) , 换成/(1-2) E换成E/(1-) , 换成/(1-) 5、描述位移与应变关系的方程称 弹性方程几何方程平衡方程 虚功方程 6、在以平面刚架中，支承节点4的水平方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，则应将总体刚度矩阵中的 第4行和第4列上的元素换为大数A 第4行和第4列上的所有元素换为大数A 第10行、