功率谱密度和白噪声过程

1、.,.,第三次作业 情况,28班：李春月、周元、曲拓、周子晨、施一益、王虎森、王超 高工班：蔡文龙、尚文轩,存在问题： 积分运算、积分限、三角函数公式 各态历经性：均值与自相关； 步骤太少、作业雷同（26、27）,.,平稳过程的功率谱密度 白噪声过程,主讲人：张有光 电 话：82317226 办公室：新主楼F1018,第五讲：,.,主要内容,一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度与自相关函数 三、平稳过程的互谱密度 四、白噪声过程,.,一、平稳过程的功率谱密度,1、能量型信号 2、信号的频谱 3、信号的能谱 4、功率型信号 5、平均功率的谱表示和功率谱密度 6、平稳过程的功率谱密度,.,1、能量

2、型信号,我们称有限能量的信号为能量型信号，即,其中，s(t)为信号，W为总能量。,.,2、信号的频谱,在的情况下，能量型信号s(t)的傅立叶变换存在，即,我们称F()为s(t)的频谱。,？,.,3、信号的能谱密度,能量型信号的能谱E()为,由巴塞伐尔等式，可得到,能量守恒！,.,4、功率型信号,能量无限，平均功率有限的信号称为功率型信号。即,Ps为信号的平均功率。,.,5、平均功率的谱表示,功率型信号不满足绝对可积条件。 为了能够利用傅立叶变化给出平均功率的谱表示式，构造截尾函数：,.,平均功率的谱表示,sT(t)能够满足绝对可积条件。 sT(t)的频域结构,sT(t)的平均功率：,.,平均功

3、率的谱表示,由巴塞伐尔等式，可得到,两边同除以2T，并由截尾函数的定义，得到,.,平均功率的谱表示,令T趋于无穷，功率型信号s(t)在 (-, )上的平均功率可表示为,功率型信号的平均功率谱密度,.,功率谱密度,功率型信号的平均功率谱密度，简称功率谱密度，定义为：,.,6、平稳过程的功率谱密度,平稳随机过程的样本函数是功率型的。 我们定义,为平稳过程X(t)的平均功率。,.,6、平稳过程的功率谱密度,由于平稳随机过程的均方值是常数,.,平稳过程的功率谱密度,定义,为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。 这样，Px又可以写成,平均功率谱的表达式；,.,平稳过程的功率谱密度,为双边功率谱密度。但在实

4、际中，负频率不存在，故引入单边谱密度,.,二、谱密度与自相关函数,1、功率谱密度与自相关函数的关系维纳-辛钦公式 2、功率谱密度两种定义的等价条件 3、功率谱密度的性质,.,1、谱密度与自相关函数的关系,平稳过程的功率谱密度是它的自相关函数的傅立叶变换：,.,谱密度与自相关函数的关系,由傅立叶逆变换公式，有 上述两式统称为维纳-辛钦公式。,返回,注释：对比“信号与系统”中维纳辛钦公式,.,2、功率谱密度两种定义的等价条件,对于第一种定义，将其展开,.,功率谱密度两种定义的等价条件,通过变量置换，最后得到,.,只要 则上式中第二项为零，故此时,也就是说，平稳随机过程在自相关函数绝对可积的情况下，

5、维纳-辛钦公式成立。此时功率谱密度的两种定义等价。,功率谱密度两种定义的等价条件,.,功率谱的意义,.,3、功率谱密度的性质,若过程X(t)是实平稳的，则自相关函数是实偶函数，因此功率谱密度也是实偶函数，即,.,功率谱密度的性质,由于R()和S()都是偶数，于是维纳-辛钦公式还可以写成：,.,例 2.4-1,设随机相位余波 的功率谱密度，其 是在区间 内均匀分布. 解：,.,例 2.4-2,随机电报信号自相关函数 求功率谱密度,.,例 2.4-3,已知功率谱,应用留数定理,留数和,.,例 2.4-4,若平稳随机过程功率谱,表 2.1,.,三、互谱密度,1、互谱密度的定义 2、互谱密度的维纳-辛

6、钦公式形式定义 3、互谱密度的性质,.,1、互谱密度的定义,定义 设随机过程X(t)和Y(t)是联合平稳的，则定义互谱密度为,.,2、互谱密度的维纳-辛钦公式,随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度是它们的互相关函数RXY()的傅立叶变换：,.,2、互谱密度的维纳-辛钦公式,当 若X(t)是一个二端电压、Y(t)是流经该器件的电流，则上式左边就是消耗的功率。,.,两个正交随机过程性质,随机过程X(t)和Y(t)正交,此时有：,.,3、互谱密度的性质,1）,2）,3）,奇函数 偶函数,.,先证明：,令：,.,.,从定义 和施瓦茨不等式,.,.,四、白噪声过程,1、白噪声过程的定义 2、白噪声过程的

7、自相关函数 3、白噪声的相关系数,.,1、白噪声过程的定义,若一个均值为零的平稳过程 具有恒定功率谱密度,则称W(t)为白噪声过程。其中N0表示单边功率谱密度。,相当于信号与系统中的冲击响应函数,.,2、白噪声过程的自相关函数,根据维纳-辛钦公式，白噪声过程的自相关函数：,.,2、白噪声过程的自相关函数,白噪声的自相关函数和功率谱密度,.,3、白噪声过程的相关系数,白噪声的相关系数：,可见白噪声在任意两个相邻时刻的取值都不相关。还句话说，白噪声随时间的起伏变化较快，频域来说频谱很宽。,.,注释：白噪声平均功率,白噪声是一种理想化的数学模型，在物理上不可实现，因为按照白噪声的定义它的平均功率是无限大。,由于白噪声数学表述上的简洁性，是很多物理现象的一种近似。如电子管中的散弹噪声，通信传播中的信道干扰。显然白噪声是各态历经过程，它可以看成是大数定律中随机序列推广到连续时间的情形。,.,4、非白噪声,非白噪声成为有色噪声，或相关噪声，其功率谱密度：,其功率谱密度不再是均匀的，而是频率的函数。,.,5、矢量白噪声,定义