静态电磁场分析.ppt

1、第 3 章 静态电磁场分析, 以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静态电磁场的特性和求解方法。, 建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位函数; 导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程。, 讨论电容的计算，电场能量的计算。, 建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位A； 在特定条件下引入标量位 。, 讨论自感和互感的计算、磁场能量和磁场力。, 静态场边值问题的解法-分离变量法、镜像法,3.2 恒定电场分析,3.1 静电场分析,3.4 静态场的边值问题,3.3 恒定磁场分析,3.1 静电场分析, 关系式 称为真空的电特性方程或本构关系, 静电场的源变量是电荷, 第2章中已由库仑

2、定律引入了电荷 产生的电场强度, 任意电荷分布产生的电场强度, 定义任意电荷分布产生的电位移矢量,1、基本方程,3.1.1静电场的基本方程,2、边界条件,本构方程,3.1.2 电位函数,1、由,， 称为静电场的标量位函数，又称电位函数, 由此可求得电位的微分, 空间A、B 两点的电位差, 若选取 为电位参考（即 ）， 则任意点 的电位为,1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数,2）“-”号表示电场指向电位减小最快的方向,2、选择电位参考点的原则：,4.电位参考点的电位值一般为零,1.应使电位表达式有意义；,2.应使电位表达式最简单；,3.同一个问题只能有一个参考点；, 点电荷的电位,若

3、取 处的电位为零，则,3、电位函数的求解,点电荷在空间产生的电位,无限长线电荷的电位,电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则，,选取 柱面为电位参考点，即 ，得,-无限长线电流在空间产生的电位,引入电位函数的意义：,在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，,简化电场的求解间接求解法,因此可以通过先求解电位函数，再由关系 得到电场解。,解：取如图所示坐标系，场点 的电位等于两个点电荷电位的叠加,而,当,因此,由于,得电偶极子的电位,电偶极子的电场强度,4、电位的微分方程,由,在直角坐标系中,若空间电荷分布为零，则有,电位的边界条件,有,若,有,例

4、 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电位。,解： 球外空间的电位满足拉氏方程, 电位满足的边界条件,由题意可知电位及电场具有球对称性,在球坐标系下,因此,一、电容,3.1.3 导体系统的电容,1、孤立导体的电容,定义：孤立导体所带电量与其电位之比，即,电容C 只与导体几何性质和周围介质有关，与 q 和 无关,例： 空气中半径为a的孤立导体球,2、两个带等量异号电荷导体的电容（双导体电容）,C只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关,例： 平行板电容器电容（导体球、圆柱等）,二、部分电容,若电容器由多个导体构成，则电容器之间、导体与地之间均存在电容,单个

5、导体上的电量,2.两个导体，且考虑大地的影响，相当三个导体，其中一个导体上的电量为,3、 N个导体,导体间的电容,导体与大地间的电容, N 个导体组成的导体系统，其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体的电荷关系为, 其中 为常数，称为电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质有关。,（共有 N 个方程）, 由以上N 个方程可解出,（共有 N 个方程）, 当 时 称为电容系数， 时 称为感应系数，且,其比值,3.1.4 电场能量,电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。,设系统完全建立时，最终的电荷分布为 ，电位为 。, 设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子 增加

6、，则各点的电位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为 时，其电位分布为 。 的变化为 。, 整个充电过程外界对整个系统提供的总能量, 对某一体积元 ， 变为 时（此时电位为 电荷增加 ）外界提供的能量,分布电荷总能量,1）此公式只适用于静电场能量求解；,2) 不表示能量密度；,3） 为空间中自由电荷分布；,4）积分范围为整个空间，但可退化到电荷分布区域。,2、带电导体系统总能量,若电量为,的电荷分布在导体上,导体电位为 ，空间总静电场能量为,N个导体，,导体所带电量,导体电位,说明：,3、电场能量密度,第一项：,- 电场能量密度,例 3.1.6 P102,3.1.5 静电力(虚位移法)(重

7、做),虚功原理如下：设空间一定位形结构的带电体系，静电 能为 。,假想该电荷体系的空间位形结构在静电力作 用下发生小的虚位移 ，静电力作的虚功为：,(力为广义力),该虚功等于电荷体系能量的减少,若系统与外界电源相连，外界电源供给的能量为,则该系统的能量关系为,例3.1.7,例 如例 3.9.2 中部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量。（教材例3.12.1),解：设同轴线内导体电位 外导体电位 ，则同轴线内外导体间单位长度的能量,由例 3.9.2 可知，内导体表面单位长度的电荷,所以,由例 3.9.2 可知，介质和空气中的电场强度相等,于是介质中的能量密度、能量,3.2 导电

8、媒质中的恒定电场分析, 恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。, 恒定电场中的二个基本变量为电流密度 和电场强度 。, 描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即,或, 电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。因此描述恒定电场基本特性的第二个方程为,或, 实验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即, 称为导电媒质的电导率。,要想在导电媒质中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷q抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。,因此,Ee 是非保守场。,设局外场强为,设局外场强为 ，则电源电动势为,电源电动势与有无外

9、电路无关，它是表示电源本身的特征量。,则,与静电场的讨论类似，由 可引入恒定电场的电位函数,一、恒定电场的电位,由,二、恒定电场的边界条件,若用电位表示,将恒定电场的基本方程 、 分别用于二种不同导电媒 质的分界面上，与推导静电场边界条件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。,解：设同轴线内外导体是理想导体，则导体内 ，导体表面是等位面，于是漏电介质中的电位只是径向r 的函数，柱坐标系下拉普拉斯方程为,其通解,边界条件为,得,导电媒质中的电场强度,电流密度,单位长度上的漏电流,单位长度上的漏电导,例 同轴线内外导体半径分别为a和b，填充的介质 ，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为U，求漏电介质内

10、的 和单位长度的漏电电导.,例 3.10.2 一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 和 外加电压U，介质分界面上的自由电荷密度。(教材例3.10.2),解：设电容器极板为理想导体，故极板是等位面，电流沿z方向。,由边界条件,得,相应的电场,外加电压U 等于,得,于是,由边界条件,上极板 的自由电荷面密度,下极板 的自由电荷面密度,介质分界面 上的自由电荷,3.3 恒定磁场分析, 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中 ，不仅有恒定电场 ，同时还有不随时间变化的磁场 ，简称 恒定磁场。,3.3.1 恒定磁场分析的基本变量及方程, 第2章中已由安培力定律引入了恒定电流元

11、产生的磁感应强度, 任意电流闭合回路c 产生的磁感应强度, 定义任意电流闭合回路c 产生的磁场强度, 关系式 称为真空的磁特性方程或本构关系。, 恒定磁场的源变量是电流密度矢量,真空中磁场的基本方程,例 半径为a 的无限长直导体通有电流I，计算导体内外的基本场变量,解：很显然，场变量与座标 无关，磁感应线是圆心在导线轴上的一簇同心圆。由基本方程,而,是回路c所包围电流的代数和,当,故有,得,当,得,回路 所包围的电流,回路 所包围的电流,设电流 均匀分布于导体横截面,3.3.2 矢量磁位, 为了简化磁场的求解，通常采用间接方法。, 由磁场的散度为零，引入矢量磁位。, 利用磁场的旋度方程导出矢量

12、磁位满足的微分方程。,由,其单位为Tm（特米）或Wb/m（韦/米）,得,即,得,其解,于是，矢量位满足的泊松方程的解为,例 求无限长直线电流的矢量位A 磁感应强度B。,解：首先计算一根长度为 的长直线电流I产生的矢量位。,由线电流的矢位计算公式,积分可得,当 时,若 ，则,这时可在A 的表达式中附加一个常矢量,则,磁感应强度B 等于,磁场强度H 等于,与直接积分所得的结果相同,例 磁偶极子的矢量位和标量位,一面积为S,通以电流I 的小圆电流环称为磁偶极子，定义矢量 为磁偶极子的磁偶极矩。,考虑,得,磁偶极子 产生的磁感应强度,磁场的另一基本变量,在恒定磁场无电流区域,标量磁位，单位：A（安培）

13、。, 标量磁位 仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。,标量磁位 的特点：,标量磁位, 标量磁位 满足的微分方程, 标量磁位满足的边界条件,3.3.3 电感,在线性介质中，一个电流回路在空间任意一点产生的 B与电流成正比，因而穿过任意回路的磁通 也与电流成正比；若一回路由N匝导线绕成，则总磁通是各匝磁通之和，成为磁链，用 表示。且可近似为, 当磁场由自身回路的电流产生则回路磁链与电流之比,称为自感系数，简称自感，单位为H（亨）, 第1回路电流 产生的磁场与第二回路交链的磁链为 ，则比值,称为互感系数，简称互感，单位仍为H, 同样，第2回路电流 产生的磁场与第一回路交链的磁链为 ，其比值同样称为

14、互感系数,自感与互感都仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和介质的磁导率。互感还与两个回路的相互位置有关。,两个单匝回路的互感,设回路1通过电流,而,所以,同理,由此可见,单匝回路的自感,对于单匝回路，可将电流看作集中于轴线回路 上，而将计算磁通的回路取作导线边缘的回路 ，应用诺伊曼公式计算自感为,以上计算的自感只考虑了导线外部的磁通，故称为外自感；在导线内部的磁力线同样套链着电流，其磁链与电流比值定义为内自感。,假设单匝回路，其横截面积,导线内的磁场,穿过图中面积的磁通为,穿过图中面积的磁链为,长度为l一段圆截面导线的内自感为,总自感为,例 5.9.1 求双线传输线单位长度的自感。导线半径为a，导

15、线间距离 ，如图所示。（教材例5.9.1）,解：由,得二导线在x 处产生的磁场分别为,总的磁感应强度,单位长度的外自感为,单位长度的内自感为,穿过面积 的磁通,而回路j 的磁链为,3.3.4 磁场能量, 电流回路系统的能量是建立电流过程中由电源供给的。, 当电流从零增加时回路感应电动势将阻止电流的增加，外加电压须克服感应电动势 而作功，使回路能量增加。, 若所有回路固定，且忽略焦耳损耗，则电源作功将全部变为电流回路系统的磁场能量，这时回路上的外加电压和回路中的感应电动势大小相等方向相反。,回路j 中的感应电动势为,外加电压,dt 时间内与回路j 相连的电源所作的功,若系统包含N个回路，增加的磁

16、场能量为,假设所有回路中的电流同时从零开始以百分比 同比例增加，即,充电过程完成后，系统的总磁场能量,用场量表示该磁场能量,单位体积的磁场能量称为磁场能量密度,例 5.10.1 求无限长同轴线单位长度内的磁场能量，如图所示。(教材例5.10.1),在 的区域,在 的区域由基本方程,三个区域单位长度内的磁场能量分别为,因为总磁场能量,所以同轴线单位长度的电感为,其中,3.3.5磁场力,两个载流回路间的磁力可由安培力公式计算。也可与静电力的计算类似，用磁场能量的空间变化率来计算磁场力。,磁链不变, 两个回路的磁链不变，即, 回路 发生位移，两回路中电流必定发生变化，才能维持两回路的磁链不变, 两回路中没有感应电动势（因为磁链不变），故与回路相连的电源不对回路输入能量。, 回路 位移时所须的机械功只有靠磁场能量减少来完成。,电流不变