成都理工大学 高数下 重修 PPT 1阶.ppt

1、常微分方程,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,( n 阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或, 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程, 确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,微分方程的解, 不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,求所满足的微分方程 .,例1. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与

2、x 轴交点为 Q,解: 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,第二节,转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时,的隐函数 y (x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样, 当 F (x) = f (x)0,时,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x),说明由确定,例1. 求微分方程,的通解.

3、,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,练习:,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,积分,齐次方程,第三节,一、齐次方程,二、可化为齐次方程的方程,一、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程 .,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例1.

4、解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解),( C 为任意常数 ),例2. 解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,( h, k 为待,二、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令, 解出 h , k,(齐次方程),定常数),求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注: 上述方法可适用于下述更一般的方程,例4. 求解,解:,令,得,再

5、令 YX u , 得,令,积分得,代回原变量, 得原方程的通解:,得 C = 1 ,故所求特解为,思考: 若方程改为,如何求解?,提示:,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,例1. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,

6、令,例3. 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式 , 得,故方程可变形为,所求通解为,二、伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),伯努利,例4. 求方程,的通解.,解: 令,则方程变形为,其通解为,将,代入, 得原方程通解:,第五节,全微分方程,判别:,P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,求解步骤:,方法1 凑微分法;,方法2 利用积分与路径无关的条件.,1. 求原函数 u (x, y),2. 由 d u = 0

7、知通解为 u (x, y) = C .,则称,为全微分方程.,例. 求解,解: 因为,故这是全微分方程.,则有,因此方程的通解为,法1,法2 此全微分方程的通解为, 则有,两边对 y 求导得,由得,与比较得,因此方程的通解为,例. 求解,解:, 这是一个全微分方程 .,用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,例：解方程,这不是一个全微分方程 ,就化成例9 的方程 .,使,为全微分方程,在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,但若在方程两边同乘,注:若存在连续可微函数,积分因子.,可降阶高阶微分方程,第六节,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,例1.,解:,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,二、,例3. 求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,三、,型的微分方程,令,