概率论与数理统计第四章.ppt

1、第四章 随机变量的数字特征,数学期望,4.1,例1：甲乙两人进行射击，射击的环数X、Y的分布律如下，问哪个射手水平较高？,X,8 910,Pk,0.1 0.70.2,Y,8 910,Pk,0.35 0.40.25,否则称X的数学期望不存在。,离散型随机变量的数学期望,例2：某射手连续向一目标射击，直到命中为止，设他每发命中的概率是p，求平均射击次数。,例1：求0-1分布，泊松分布的数学期望。,否则称X的数学期望不存在.,连续型随机变量的数学期望,例5: 设XN(,2)，求E(X).,例4. XUa,b,求E(X).,练习1. X的密度函数如下，求E(X).,练习2. X的密度函数如下，求E(X

2、).,设已知随机变量X的分布，试计算X的某个函数g(X)的期望？多维情况下g(X,Y)的期望呢？,设X是一个随机变量，Y=g(X)，则,当X为离散型时,P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时,X的密度函数为f(x). 注意: 同样需要满足绝对收敛!,随机变量函数的数学期望,例6：已知离散型随机变量X的分布列为,例7： 设XN(0,1)，求E(|X|).,求X2的数学期望。,设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，则,二维随机变量函数的数学期望,例10. 设X,Y独立且均服从0,1上的均匀分布， 求Emin(X,Y).,例9. 设随机变量X，Y相互独立，且均服从N( 0 , 1 )，求

3、。,2.设随机变量的概率密度为,Y=e-2X,则EY=( ),1.设离散型随机变量(,Y)的分布列为,则E(XY)=( ),练习,1. 设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b;,2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);,数学期望的性质,3. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,例9：设XB(n,p),求E(X).,例10: n台机器独立工作，各自发生故障的概率为p1, p2 , pn ,求发生故障的机器数的期望.,例11：设送客汽车载有m位旅客，自始发站开出，旅客有n 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车。设每位旅客在各站下车是等可能的，求平均停车次

4、数。,复杂问题转化成简单问题,作业： 1. 设X,Y独立且均服从0,1上的均匀分布， 求E|X-Y|. 2. 习题4 第 5，7 3. 模拟题4 第5题,4.2,方差,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图，试比较测量精度。,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图，试比较精度.,甲炮射击结果,乙炮射击结果,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.,这个数字特征就是：,方差,甲乙两部机床生产同一种机轴，其直径尺寸与轴的标准直径10mm的差值如下,比较两部机床的精度。,X,-1.0

5、 -0.5 0.5 1.0,Pk,0.2 0.4 0.2 0.2,Y,-2 -1 1 2,Pk,0.2 0.3 0.3 0.2,采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用,由于标准差与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.,方差的算术平方根 称为标准差,方差的定义,X为离散型， P(X=xk)=pk,X为连续型， Xf(x),已知X的概率分布，方差如何计算？,D(X)=E(X2)-E(X)2,E( X ) = -2, D( X ) = 3, 则 E( 3X2 6 ) = ?,例1. 设X服从参数为p的0-1分布，求D(X).,例2. 设XN(,2) ，求D(X).,常见分布的

6、期望和方差,推论1：常数的方差等于零，即：D(C)=0,推论2：设X是一个随机变量，a是常数，则 D(aX)=a2D(X),1. 设a,b是常数，则D(aX+b)=a2D(X);,推论3：D(X)=D(-X),方差的性质,一般地： D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y),例3. 设XB(n,p),求D(X).,推论1：设X,Y为相互独立的随机变量， a,b是常数， 则D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y),推论2：设X,Y为相互独立的随机变量，则 D(X-Y)=D(X)+D(Y),X,Y相互独立， 则aX+bY,aX-bY服从什么分布？,例5.设随机变量X、Y相互

7、独立，且均服从正态分布N(0,0.5),求E|X-Y|.,例4. 设随机变量XN(50,1),YN(60,4),且X与Y相互独立，记Z=3X-2Y-10,求P(Z10)。,切比雪夫不等式,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)| 的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.,例7. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率 .,推论,X依概率1取常数，即P(X=E(X)=1,DX=0,4.3,协方差与相关系数,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)

8、 -E(X)E(Y),定义,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y),协方差, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y), Cov(X,Y)= Cov(Y,X),简单性质, Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：,Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y),相关系数,例1. 设随机变量X,Y 的方差存在，且相关系数为. 令U=aX+b ;V=cY+d , 求U,V 的相关系数。,相关系数的性质：,3. 若X和Y独立，则X和Y不相关，

9、即 =0，但其逆不真.,若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .,Cov(X,Y)=0,协方差为零的充要条件和充分条件?,4. (X,Y)的分布列如下。,随机变量不相关只说明两个随机变量之间没有线性关系，但还可能有某种别的函数关系； 随机变量相互独立说明两个随机变量之间没有任何关系，既无线性关系，也无非线性关系。 所以相互独立必然不相关，反之不一定成立。,相关系数 是刻划了X和Y间线性关系程度的数字特征，越大， X和Y间线性关系越明显。当 时， Y有随着X增加而增大的趋势；当 时， Y有随着X增加而减小的趋势；,例2.（X,Y）服从二维正态分布，其概率密度为,对正态分布而言，X、Y相互独立与互不相关是等价的。,例4.设随机变量(X,Y)N(1, 1, 9, 16, -0.5),(1)求Z的数学期望EZ和方差DZ. (2)判断X与Z是否不相关. (3)判断X与Z是否独立.,令,作业1:设随机变量X和Y独立同服从参数为的泊 松分布，令U=2X+Y, V=2X-Y,求 U,V的相关系数,作业