函数的傅里叶级数展开

1、第十二章 傅里叶级数和傅里叶变换,第一节函数的傅里叶级数展开,前面所研究的幂级数是18世纪初英国数学家泰勒建立的，在分析学中，函数的泰勒展开起着很重要的作用，但是它对函数的要求很高，而且只能作局部逼近。19世纪法国数学家傅里叶研究热传导方程时建立了把函数展为三角级数的方法，其要求为函数黎曼可积或在反常积分意义下绝对可积，并且它可以整体逼近函数。,一、傅里叶级数的引进,在声学、光学、热力学中有非常重要的作用,在偏微分方程的研究中有着非常重要的应用,物理学中最简单的波_谐波,在电子信号处理技术中常见的方波,锯齿波,三角波等,它们的合成和分解都大量用到三角级数.,非正弦周期函数:矩形波,不同频率正弦

2、波逐个叠加,一般地，,问题：,二、三角级数 三角函数系的正交性,1.三角级数,三角级数,2.三角函数系的正交性,三角函数系,三、傅里叶级数系数,1.傅里叶系数,傅里叶系数,傅里叶级数,问题:,四.傅里叶级数的收敛判别法,则f(x)的傅里叶级数在x点收敛,并且,注:,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.,和函数图象为,所求函数的傅氏展开式为,解：,该函数傅里叶级数图形？,作业：P126 2; 3; 5; 6;,解,(1)求正弦级数.,正弦级数和余弦级数,(2)求余弦级数.,3、以T为周期的函数傅里叶级数,设f(x) 周期为T,在(-T/2,T/2)可积和绝对可积,并求其傅氏级数

3、的和函数.,欧拉 (Euler) 公式,称为欧拉公式.,欧拉公式揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系.,也称为欧拉公式.,五、傅里叶级数的复数形式,其中傅里叶系数公式,由函数的傅立叶级数,将欧拉公式代入得,就是f(x)的傅里叶级数复数形式.,其中,互 为共轭复数.,傅里叶级数复数形式的系数,也称为傅里叶级数的复振幅.,作业：P127 4; 7; 8; 9; 11,六、收敛判别法的证明,1、狄利克雷积分,其傅里叶级数为,以上表达式都称为狄利克雷积分,=1,注意到,2、黎曼引理,利用黎曼引理可得傅里叶级数的一些性质,一个重要推论,则f(x)的傅里叶级数在x点收敛,并且,富里埃级数性质*,一

4、、一致收敛性,二、逐项求积定理,注意:富里埃级数一般并不能保证可以逐项求导.,但可以证明富里埃级数的如下逐项求导定理.,三、逐项求导定理,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.函数的傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,6. 傅氏级数复数形式,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利

5、克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整

6、体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数