第一讲-高等代数选讲之多项式理论

1、第一讲 多项式理论,多项式理论是高等代数的重要内容之一，虽然它在高等代数课程中是一个相对独立而自成体系的部分，但却为高等代数所讲述的基本内容提供了理论依据。多项式理论中的一些重要定理和方法，在进一步学习数学理论和解决实际问题时常要用到，是代数学中最基本的研究对象之一。因此，在学习这部分内容时，要正确地掌握概念，学会严谨地推导和计算。,重点、难点解读,这部分内容对多项式理论作了较深入、系统、全面地论述，内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分，以一元多项式理论为主。可归纳为以下四个方面：,（1）一般理论：包括一元多项式的概念、运算、多项式相等、导数等基本性质。,（2）整除理论：包括带余除法、整除

2、、最大公因式、互素的概念与性质。,（3）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等。,（4）根的理论：包括多项式函数、多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数的关系等。,一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一元多项式的理论。,对于多元多项式，则要理解 元多项式、对称多项式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的多项式的方法。,一、数域的判定,设P是至少

3、含有两个数（或包含0与1）的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P中的数，则称P为一个数域。,1、数域的概念,2、数域的有关结论,（1）所有的数域都包含有理数域，即有理数域是最小的数域。,（2）在有理数域与实数域之间存在无穷多个数域；在实数域与复数域之间不存在其他的数域。,例1、设P是一个数集，有非零数 ，且P关于减法、除法（除数不为零）封闭，证明P是一个数域。,证 因为 ，所以,若 中有一个为零，则,综上所述，P关于加法、减法、乘法、除法都封闭，所以P是一个数域。,二、一元多项式的概念,1、一元多项式的概念,形式表达式,2、多项式的相等关系,设,则,3、次数公式,（1）

4、,（2）,4、一元多项式环,所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P上的一元多项式环，记为 ，称P为 的系数域。,5、一元多项式环的有关结论,多项式的加、减、乘运算对 封闭，且多项式的加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分配率，乘法还满足消去律。,6、注意零多项式和零次多项式的区别。 零次多项式：不为零的常数 零多项式：常数零,例1、令,求 的奇次项系数之和。,解 法1 由于,两式相乘得,由于 与 无奇次项，从而 不可能有奇次项，故其奇次项系数之和等于零。,法2 因为 ，所以 是偶函数，于是 的奇次项系数全为零。故其奇次项系数之和等于零。,例2、设 为一多项式，若,则 或,证 若

5、 ，则证毕。若 ，由于,所以 只能是零次多项式。,令 ，又因为,所以 ，此即,练习：,P4 例1.2.2 1.2.3,例3设 是非零实系数多项式， 是一个正整数，且 ，则 为零次多项式或者 。,三、多项式的带余除法及整除,1、带余除法,2、整除的概念,设 ，如果存在多项式 使 ，则称 整除 。,3、整除的充分必要条件,注 多项式的整除性是 中元素间的一种关系，不是多项式的运算。整除概念与带余除法有密切的联系，我们不能用带余除法来定义整除，因为这样定义整除，将会遗漏零多项式整除零多项式的情形。,4、整除的性质,（1）任一多项式 一定整除它自身，即,（2）,（3）零次多项式能整除任一多项式；,（4

6、）零次多项式只能被零次多项式整除；,（5）零多项式只能整除零多项式；,（6）如果 ，则 ，其中 为非零常数， 为常数；,（7）如果 ，且 ，则,任意多项式都整除零多项式。,（10）多项式 有相同的因式与倍式；,（11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变。,5、综合除法,设以 除,所得的商 ，及余式 则,比较 两端同次幂的系数得,6、判定整除的方法,为证明一个多项式 整除一个多项式 ，如果其系数已具体给出时，通常采用带余除法和待定系数法。,如果 的系数未具体给出时，可采用以下方法：,现设出 的全部复根，并假设 无重根，即,其中 互异。,再证,则有,从而,这是因为,两两互素，故,因式分

7、解法：直接将 因式分解，得出 ， 当然这种情况只有在特殊情况下才能做到。,验根法：,用综合除法求下列多项式的商式和余式,注意：综合除法适用于除式为x-a形式的多项式除法,例1、将多项式,按 的 方幂展开。,解 法1 应用综合除法，即对于 次多项式 ，用 逐次除所得的商，得 （见课本P6）,法2 应用泰勒公式，由泰勒公式,得,从而,例2、若 ，问是否必有 ？若不成立，举出反例。若成立，请说明理由。,解 成立。,法1 因为 ，所以 ，即,从而 ，故存在 ，使得,于是 ，此即,法2 有 个不同的复根，设为,则有 ，于是,这表明 都是 的根，故,例3、证明 （ 是三个任意的正整数）。,分析 用带余除法

8、及待定系数法不易证明时，可以考虑采用因式定理来证明，即 的充分必要条件是,证 可求得 的根为,所以 ，又由,知 ，从而,设,则有,故由因式定理知 且 ，又因为,且 互素，从而,即,注 本例证明中， 是指在复数域C上，而命题本身可理解为在一般数域P上讨论整除问题。这是因为整除的概念是在带余除法基础上定义的，而带余除法所得的商及余式不随系数域的扩大而改变，因此，上述多项式在P上与在C上整除是一致的。,四、最大公因式的计算与证明,1、最大公因式的概念,设 ，如果 满足 且 ，则称 为 与 的一个公因式；又如果 与 的任一公因式都能整除 ，则称 为 与 的一个最大公因式。,1、最大公因式的概念,设 ，

9、如果 满足 且 ，则称 为 与 的一个公因式； 又如果 与 的任一公因式都能整除 ，则称 为 与 的一个最大公因式。,四、最大公因式的计算与证明,2、最大公因式的性质,（1） 中任意两个多项式 与 一定有最大公因式。两个零多项式的最大公因式是零多项式，它是唯一确定的。两个不全为零的多项式的最大公因式总是非零多项式，它们之间只有常数因子的差别；最高次项系数为1的最大公因式是唯一确定的。,（2）设 如果有,则 与 的最大公因式一定是 与 的最大公因式，而 与 的最大公因式也一定是 与 的最大公因式。特别地，有 。（这也是用辗转相除法求最大公因式的根据）,（3）设 ，如果 是 与 的最大公因式，则必

10、有 ，使,（4）最大公因式不因数域P的扩大而改变。,2、求最大公因式的方法,（1）辗转相除法；,（2）因式分解法 如果求得 与 的典型分解式,其中 是首项系数为1的不可约多项式， 为常数， 为非零整数，令 ，则,不唯一,例、设 不全为0，求证：,（ 为正整数）,证 法1 令 ，即证,因为,所以,于是,此即,再由式有,从而存在 ，使得,两边乘 得,由上式知,故,法2 令 ，则,且,从而,故有,五、互素多项式的判定与证明,1、互素多项式的概念,注 零多项式与任一多项式都不互素。, 若多项式 互素，并不要求其中任意两个多项式都互素。,2、互素多项式的性质,（1）设 ，则 与 互素的充分必要条件是，存

11、在 ，使,（2）如果 ，且 ，则,（3）如果 ，且 ，则,（4）如果 ，则,3、判定互素多项式的方法,主要利用互素的充分必要条件，即,例1 设 与 为数域F中两个次数大于零的多项式， 证明：若 ，则 使,六、不可约多项式的判定与证明,1、不可约多项式的概念,如果数域P上次数大于零的多项式 不能表示成数域P上两个次数比它低的多项式的乘积，则称 是数域P上的不可约多项式。,注 零多项式与零次多项式既不能说是可约的，也不能说是不可约的。, 多项式的可约性与多项式所在的数域密切相关。, 互素多项式指的是 上的两个多项式之间的一种关系，而不可约多项式是某个多项式本身的一种特性，这是完全不同的两个概念，但

12、在讨论问题时，互素多项式与不可约多项式的性质又是互相利用的，要学会灵活运用。,2、不可约多项式的性质,（1）如果 是数域P上的不可约多项式，则 也是P上的不可约多项式，其中 是P中的非零数。,（2）如果 是数域P上的不可约多项式，则对P上的任一多项式 ，必有 或,3、不同数域上的不可约多项式,在复数域上，不可约多项式只能是一次式；在实数域上，不可约多项式只能是一次式或判别式小于零的二次式；在有理数域上，存在任意次的不可约多项式。,（2）爱森斯坦判别法；,（1）对于2次和3次有理多项式 ，如果 没有有 理根，则 在有理数域上不可约，但当次数大于3 时，结论不再成立。如 没有有理根，但它 在有理数

13、域上是可约的。,4、有理系数多项式可约性判别,设 是一个整系数多项式,如果存在素数 ，使,则 在有理数域上不可约。,注意：爱森斯坦判别法只是给出了一个有理系数多项式不可 约的充分条件，所以，如果找不到满足条件的素数 ，则 不能确定定多项式是否可约。 为了扩大爱森斯坦判别法的使用范围，有以下两个结论,结论1：令 ，则整系数多项式 在有理数域上有相同的可约性。,结论2：令 ，,则整系数多项式,在有理数域上有相同的可约性，其中,证 必要性 已知 不可约，假设 在有理数域上可约，即,其中 是有理系数多项式，且次数小于 的,有理系数多项式，次数不变，且有,次数，在上式中用 代 ，所得各多项式仍为,这说明

14、 在有理数域上可约，矛盾。故 在有理数域上不可约。,其中 是有理数域上次数小于 的多项式，由此可得,这与 不可约矛盾。故 在有理数域上不可约。,充分性 已知 不可约。假设 可约，设,例2、设 是素数， 为整数，而 且 ，证明： 没有有理根。,证 令 ，则,其中,因为 ，即 ，则 。且由,，得,将 代入整理得,矛盾。,故,否则 ，即 ，利用,，得 ，矛盾。,七、重因式的判定与证明,1、重因式的概念,注意：1） 当 时，称 为 的单因式，当 称 为 的重因式。 2）重因式是不可约多项式。,2、重因式的有关结论,（1）如果不可约多项式 是 的 重因式，则它是 的 重因式。,（2）如果不可约多项式 是

15、 的 重因式，则它是 的因式，但不是 的因式。,（3）不可约多项式 是 的重因式的充分必要条件是， 是 与 的公因式，即,（4）多项式 没有重因式的充分必要条件是 与 互素。即,（5）单因式化,设,则 与 有完全相同的不可约因式，且没有重因式。,3、判断多项式有无重因式的方法,第一步 由 求 ，利用辗转相除法求出,则比 次数低且较简单的 的所有不可约因式即是 的所有互异不可约因式。,第三步 为确定 的不可约因式 的重数 只需累次（ 次）用带余除法以 除 及其商式，直至不能整除，便知重数 了。,例1、设复系数非零多项式 没有重因式，证明：,证 因为 无重因式，所以,任取 与 的公因式 ，则,且,

16、于是,即,即 是 与 的公因式，从而 。故,例2、设 ，判断 是 否有重因式,八、多项式函数与多项式的根,1、多项式函数的概念,设 若 由多项式 确定P中唯一的数 与之对应，则称 为P上的一个多项式函数。,数域P上的两个多项式相等的充分必要条件是在它们所定义的数域上的多项式函数相等。,注 在讨论多项式时，无论采用形式观点，还是函数观点是统一的。采用形式观点对统一处理多项式比较方便；采用函数观点对研究多项式的根和方程理论比较直观。,2、多项式的根,设 ，如果 ，则称 为 的一个根。如果 是 的 重因式，则称 是 的 重根。,注 多项式的根是用函数观点来定义的。, 根据多项式根的定义，数域P上的每

17、一个数都是零多项式的根，而零次多项式没有根。,3、多项式函数的性质,（1）余数定理 设 ，用一次多项式 去除 所得的余式是一个常数，并等于函数值,注 余数定理表明可以采用综合除法确定多项式 在 时的值 或验证 是 的单根或重根，这比直接将 代入 计算要方便得多。,（2）因式定理 设 的充分必要条件是,（3） 中 次多项式在数域P的根不可能多于个（重根按重数计算）。,4、代数基本定理,（1）定理 每个次数 的复系数多项式在复数域中至少有一个根。,（2） 次复系数多项式在复数域内恰有 个复根（重根按重数计算）。,5、根与系数的关系,设 是一元 次多项式,（ ）,的 个根，则根与多项式的系数之间有关

18、系,6、实系数多项式的根,如果 是实系数多项式 的一个非实复数根，则它的共轭数 也是 的根，并且 与 有同一重数。由此可知，奇数次实系数多项式必有实根。,7、有理系数多项式的根,设 是一个整系数,多项式，而 是它的一个有理根，其中 互素，则,必有 。特别地，如果 的首项系数 则 的有理根都是整数，而且是 的因子。,注 当有理系数多项式 在有理数域上不可约，且 时， 没有有理根。这里 是必须的，如 有有理根, “有理系数多项式 没有有理根，则 在有理数域上不可约。”这一命题当 时是成立的，但当 时，命题不再成立，如 没有有理根，但它在有理数域上可约。,8、关于单位根,（1）若 是方程 的解，即满足 ，则称 为一个 次单位根。,（2）由于 与它的微商 互素，所以 无重根，故对任意自然数 ，恰有 个不同的 次单位根,（3）利用复数的开方易知， 个 次单位根为,证 因为 ，故设,于是 ，这表明 的根一定是都是 的根。,反之，任取 的一个根 ，即 ，则有,若 不是 的根，则由上式有,此即,这与 矛盾。,故 也是 的根，综上两步即证结论。,九、重要数域上多项式的因式分解,1、复数域上多项式的因式分解,（1）复系数 次多项式在复数域上都可以唯一分解成一次因式的乘积。换句话说，复数域上任一次数大于1的多项式都是可约的。,（2）复数域上 次多项式 具有典型分解式,