第二章---数学模型微分方程

1、第二章 自动控制系统的数学模型,基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。 6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。 8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。,第二章 控制系统的数学模型 控制系统数学模型的建立、分类、应用等有关问题作一般性的（概括性）讨论，为后续各章的系统分析奠定基础。,二.

2、控制系统数学模型的分类及形式 分为：静态（导数为零）的和动态（导数不为零）的模型 ,下面为动态的数学模型为主。,1、时域模型,包括：微分方程（线性，非线性）， 状态空间方程（状态空间模型），（系统中各个变量都是时间t的函数）,2.1 引言,一. 控制系统的数学模型,数学模型描述系统中各变量之间相互关系的数学表达式（方程、图）。数学模型是系统分析过程和系统设计过程的重要基础,有了数学模型才可能对系统特性作定量分析、评价。,例如： 微分方程,例如状态方程,例 RLC电路 输入: u(t) 输出: uc(t),解 列方程,改写为,2、S域模型（传递函数）,包括：系统传递函数G(s)（经典控制论的核心

3、模型）、系统结构图(方块图)、信号流图,图21 S域模型及信号流图,3 .信号流图,4 . 频率特性（幅频特性，相频特性）也是一种数学模型。,三 .数学建模方法 1 分析法（解析法（机理分析法）对系统各部分 的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别写相应的运动方程（由工作模型导出数学模型），即变量间的数学表达式，并实验验证。 2 实验法（系统辨识方法）对系统加入适当的测试（激励）信号，记录输出响应，再用适当的数学关系模拟其特性。实验方法适用于复杂、非常见的系统。,四. 数学模型的简化性和精确性,一个物理系统的数学模型不是唯一的。数学模型是在一定的条件下，根据具体问题的要求建立

4、的，是有一定针对性和局限性的，都是有一定近似性的。因此，使用数学模型要注意其前提条件和局限性。要合理选择和应用不同的模型。,例 电阻模型,图22 电阻模型,2.2 系统的微分方程的建立方法,一 、 微分方程的建立的一般方法步骤： 1.分析各元件的工作原理，确定系统输入变量、输出变量； 2. 根据基本定律列原始方程； 3. 消去中间变量, 得输入、输出微分方程； 4. 微分方程标准化 ，均按微分级阶次从大到小排列。 左边（输出变量）=右边（输入变量）,微分方程的一般形式,式中 r(t)：输入量 c(t)：输出量 ai ，bj ：常量 m、n ：输入量、输出量导数的最高阶次,这是一个线性定常二阶微

5、分方程。,控制系统的微分方程,解：据基尔霍夫电路定理：,例1： 写出RLC串联电路的微分方程。,由： ，,代入得：,这是所谓时间常数形式的微分方程。,系统的数学模型的建立方法举例,2.2 系统数学模型的建立方法,二 、单个部件的数学模型（输入变量和输出变量之间的关系） 1.比较器 y=v1-v2 2.放大器 y=k *v 3.电阻 v=R*i 4.电感 5.电容 6.电位器 按长度计算,或者按旋转角度计算,7 发电机,图23 电枢控制直流电动机原理图,电枢控制直流电动机将输入的电能转换为机械能，拖动负载运动：,直流电动机运动方程满足三个方程式： 1.)电枢回路电压平衡方程：,8. 电动机,2-

6、1,2.)电磁转矩方程的转矩：扭转力矩，由电流引起,3.)电动机轴上的转矩平衡方程:,转动角频率导数,由电流或电压产生的电磁转动力矩,负载力矩,由以上三式消去中间变量:,2-3,2-2,工程应用中，电枢电路电感 较小，通常忽略不计,式中,是电动机机电时间常数,K1 和k2是电动机传递系数,如果电枢电阻 和 电动机的转动惯量 都很小，可忽略时，还可以简化为,电动机数学模型,输出变量,输入变量,可见,数学模型是由系统结构,元件参数以及基本运动规律所决定的。,根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：,这也是一个二阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m、f和k的单位分别为：,

7、控制系统的微分方程,例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分方程。设输入量为外力F，输出量为位移x。,阻尼器是一种产生粘性摩擦的装置，由活塞和充满油液的缸体组成。活塞和缸体之间的任何相对运动都将受到油液的阻滞。阻尼器用来吸收系统的能量并转变为热量而散失掉。,解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘滞阻尼系数，k为弹性系数。,（思考题：上述方程中为何没有受重力mg的影响？）,三 微分方程举例,控制系统的数学模型,例2-3：速度控制系统,加法器,设定部件,微分放大器,功放,传感器,R1,C,R2,分析步骤：,该系统的组成和原理； 该系统的输出量是 ，输

8、入量是 ，扰动量是,消去中间变量：推出 之间的关系： 显然，转速 既与输入量 有关，也与干扰 有关。,各环节微分方程： 运放： ， 运放： 功率放大： ，反馈环节： 电动机环节： 齿轮系环节： 测速发电机：,输出量项输入量项,左,右,上式可以用与研究在给定电压或有负载扰动转矩时，速度控制系统的动态性能,需要讨论的几个问题：,1、相似系统和相似量：,我们注意到RLC无源网络和弹簧质量阻尼机械系统的微分方程形式是完全 一样的。 这是因为：若令 （电荷），则例2-1式的结果变为：,可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。,相似系统和相似量,2. 定义具有相

9、同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。 例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 分别与 为相似量。,3. 作用利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。,四 非线性微分方程的线性化,在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。,于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。 对弱非线性的线性化 如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。 平衡位置附

10、近的小偏差线性化 输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。,在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。,可得 ，简记为 y=kx。 若非线性函数由两个自变量，如zf（x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）,经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。,叠加原理,叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性

11、）。,例： 设线性微分方程式为,若 时，方程有解 ，而 时，方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当 时，必存在解为 ，即为可叠加性。,上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。,若 时， 为实数，则方程解为 ，这就是齐次性。,线性定常微分方程求解,微分方程求解方法,复习拉普拉斯变换有关内容（1）,1 复数有关概念,（1）复数、复函数,复数,复函数,例1,（2）模、相角,（3）复数的共轭,（4）解析,若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。,模,相角,复

12、习拉普拉斯变换有关内容（2）,2 拉氏变换的定义,（1）阶跃函数,3 常见函数的拉氏变换,（2）指数函数,复习拉普拉斯变换有关内容（3）,（3）正弦函数,复习拉普拉斯变换有关内容（4）,（1）线性性质,4 拉氏变换的几个重要定理,（2）微分定理,证明：,0初条件下有：,复习拉普拉斯变换有关内容（5）,例2 求,解.,例3 求,解.,复习拉普拉斯变换有关内容（6）,（3）积分定理,零初始条件下有：,进一步有：,例4 求 Lt=?,解.,例5 求,解.,复习拉普拉斯变换有关内容（7）,（4）实位移定理(时滞定理）,证明：,例6,解.,令,复习拉普拉斯变换有关内容（8）,（5）复位移定理,证明：,令

13、,例7,例8,例9,复习拉普拉斯变换有关内容（9）,（6）初值定理,证明：由微分定理,例10,复习拉普拉斯变换有关内容（10）,（7）终值定理,证明：由微分定理,例11,（终值确实存在时）,例12,复习拉普拉斯变换有关内容（11）,用拉氏变换方法解微分方程,L变换,系统微分方程,L-1变换,课程小结 (2),1 拉氏变换的定义,（2）单位阶跃,2 常见函数L变换,（5）指数函数,（1）单位脉冲,（3）单位斜坡,（4）单位加速度,（6）正弦函数,（7）余弦函数,课程小结 (3),（2）微分定理,3 L变换重要定理,（5）复位移定理,（1）线性性质,（3）积分定理,（4）实位移定理 (时滞定理）,

14、（6）初值定理,（7）终值定理,复习拉普拉斯变换有关内容（12）,5 拉氏反变换,（1）反演公式,（2）查表法（分解部分分式法）,解.,复习拉普拉斯变换有关内容（13）,用L变换方法解线性常微分方程,: 特征根（极点）,: 相对于 的模态,复习拉普拉斯变换有关内容（14）,用留数法分解部分分式,一般有,其中：,设,I. 当 无重根时,复习拉普拉斯变换有关内容（15）,解.,解.,复习拉普拉斯变换有关内容（16）,解一.,解二：,复习拉普拉斯变换有关内容（17）,I. 当 有重根时,(设 为m重根，其余为单根),复习拉普拉斯变换有关内容（18）,复习拉普拉斯变换有关内容（19）,解.,定义：如果

15、有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定 义域t0，那么下式即是拉氏变换式： ,式中s为复数。记作,一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是： t0时，f(t)=0； t0时，f(t)分段连续； 。 F(s) 象函数，f(t) 原函数。 记 为反拉氏变换。,复习拉氏变换,四、复习拉氏变换,线性性质：,微分定理：,积分定理：（设初值为零）,时滞定理：,初值定理：,复习拉氏变换,性质：,终值定理：,卷积定理：,常用函数的拉氏变换： 单位阶跃函数： 单位脉冲函数： 单位斜坡函数： 单位抛物线函数： 正弦函数： 其他函数可以查阅相关表格获得。,复习拉氏变换,微分方程求解,举例: RLC串联电路，已知R

16、=1欧，L=1H,C=1F, Uc(0)=0.1v, i(0)=0.1A,Ur(t)=1V。求：电路突然接通时，电容上电压Uc(t)的变化规律。 解: 微分方程: 将LC= 1*1=1 , RC=1*1=1 代入上式，,令Uc(s)=L uc(t), Ur(s)=L Ur(t) ,且令 L d Uc(t)/dt =S Uc(s) uc(0)=S UC(S) 0.1， Ld2 uc(t)/dt2=S2Uc(s)-Suc(0)-uc(0) =S2Uc(s)-S*1-0.1= S2Uc(s)-0.1S-0.1 其中 uc(0)=duC(t)/dt|t=0=1/c i(t)|t=0=1/c i(0)=

17、0.1,微分方程求解,整理后： UC(S)=Ur(s)/(S2+S+1)+(0.1S+0.2)/ (S2+S+1) 设 Ur(t)=1,视为阶跃输入， 则 LUr(t)=Ur(s) =1/s 则网络微分方程的解为求象函数的原函数： UC(t)=LUc(S) =L1/S*1/(S2+S+1)+(0.1S+0.2)/ (S2+S+1) =L1/S-(S+1)/(S2+S+1)+ (0.1S+0.2)/(S2+S+1) =1+1.15e- 0.5t sin(0.886t-1200)+ 0.2 e -0.5t sin(0.886t+300),微分方程求解,式中：前两项称谓零初始条件响应 ，它与初始条件

18、无关，由网络的输入电压产生的输出分量。后一项称谓零输入响应，由网络的初始条件产生的输出分量，与输入电压无关。们统称为 网络的单位阶跃响应。,如果输入电压为单位脉冲量(t),Ur(s)=L(t)=1, 输出称谓单位脉冲响应，即为 Uc(t)= 1.15e- 0.5t sin(0.886t-1200) + 0.2 e -0.5tsin(0.886t+300),初值定理应用;Ur(t)=1(t)时： uc(0)=LimUc(t)=Lim s Uc(s)= Lim s 1/s(s2+s+1） t0 s s ( =0) +(1s+0.2)/(s2+s+1)=0.1 (=0.2),五、数学模型的求解： 研

19、究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化 情况。方法有经典法(可以查阅相应资料），拉氏变换法和数字求解。 经典解中系统的全响应可以分为自由响应和强迫响应，也可以分为零输入响应和零状态响应。在输入信号是阶跃函数或有始周期函数时，也可以分解为暂态响应和稳态响应。 在自动系统理论中主要使用拉氏变换法,拉氏变换求微分方程解的步骤： 考虑初始条件，对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。 有代数方程式求输出量拉氏变换函数的表达式。 求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。,解的运动模态,1.线性系统的特性：叠加定理的两层含义-可叠加性和均匀性（齐次性）。 a.当f(t)=f1(t)+f

20、2(t)时, 解必为c(t)=c1(t)+c2(t). 即如果有几个外作用同时作用于系统时，则可以将它们分别处理依次求出各个外作用分别单独加入时系统的输出，然后将它们相加。 b.当f(t)=Af(t) 时, 解必为c(t)=Ac (t) 即外作用数值增大若倍时，输出也增加同样的倍数。 2. 线性微分方程的解由齐次方程的通解和特解组成。通解由特征根决定，具有线性组合的。即 无重根时： y0(t)= C1e1t + C2 e2t+ C3e3t + 有多重根时：则解为 t et +t2 et + 有共轭复根时： =j 则解的模态为 e(j ),例求RCL控制系统微分方程的解。,解速度控制系统微分方程

21、为： 对上式各项进行拉氏变换，得： 即： 当输入已知时，求上式的拉氏反变换，即可求得输出的 时域解。,小结,元部件微分方程； 系统微分方程的列写； 相似量、相似系统； 线性定常微分方程的求解（用拉氏变换法）；,传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：,不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。,了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响 -分析,可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求-综合,2-3 传递函数,一、传递函数的基本概念,将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）,当传递函数和输入已知时Y(s)=G(s) X(s)。通过反变换可求出时域表

22、达式y(t)。,1. 传递函数的定义：线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。,称为环节的传递函数,这里，“初始条件为零”有两方面含义：,一指输入作用是t0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t= 时的值为零。,二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t= 时 ，系统的输出量及各阶导数为零。,许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的 。,传递函数的性质：,1）传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。M=n,且所有系数均为实数。 2）传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式。只取

23、决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。线形系统的输入量和输出量的因果关系可用传递函数联系起来。 3）传递函数与微分方程有相通性。传递函数的分子多项式系数和分母多项式系数分别与相应微分方程式的右端及左端微分算符多项式系数相对应。在零初始条件下，将微分方程的微分算符d/dt用复数s置换得到传递函数。反之，传递函数多项式中的变量s用d/dt置换，得到微分方程。 如G(s)=(b1s+b2)/(a0s2+a1s+a2) 4传递函数G(s)的拉氏变换式脉冲响应g(t).脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲(t)输入时的输出响应。R(S)=(t)=1,故， g(t)=-

24、1c(s)=-1c(s)=-1 G(s)。,关于传递函数的几点说明,传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。 传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。 传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。 传递函数忽略了初始条件的影响。

25、传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。,传递函数的几种表达形式：,2 表示成零点、极点形式：,首1标准型：,3 写成时间常数形式：,尾1标准型：,若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：,从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。,例7 已知,将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。,解.,首1标准型,尾1标准型,增益,例2-9电枢控制直流电动机的传递函数m(s)/Ua(s),K1和k2： 电动机的传递系数。 利用叠加原理：可k1Ua(t)和k2Mc(t)分别单

26、独作用，然后叠加。 G(S)=K1/(TmS+1） G m(S)=-K2/(TmS+1）,二 传递函数的零极点对输出的影响,传递函数的极点就是微分方程的特征根，决定了所描述系统自由运动的模态。传递函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态。 传递函数的零点并不形成模态，但他们却影响各模态响应中所占的比重。(P33-34),例如：G1(S)=(4S+2)/(S+1)(S+2) 零点 z1= -0.5 G1(S)=(1.5S+2)/(S+1)(S+2) 零点 z2=-1.33 极点相同：P1=-1 ,P2=-2 ，模态在两个系统中的比例不同 C1(t)= 1+2e-1-3e-2

27、 C2(t)= 1-0.5e-t-0.5e-2t,例8 已知某系统在0初条件下的阶跃响应为： 试求：（1） 系统的传递函数； （2） 系统的增益； （3） 系统的特征根及相应的模态； （4） 画出对应的零极点图； （5） 求系统的单位脉冲响应； （6） 求系统微分方程； （7） 当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。 解.（1）,传递函数的性质(1),传递函数的性质(2),(2),(4) 如图所示,(3),(5),(6),函数的性质(3),（7）,其中初条件引起的自由响应部分,典型元件的传递函数,1. 单个电位器 : u(t)=k1(t) 而 (S)=U(

28、S)/(S)=K1 2. 一对相同电位器：U(t)=u1(t)-u2(t)= k1(t) k2(t) =k1 (t) , G(S)=U(S)/ (S)=K1 3. 放大器(电阻）： UC(S)/UR(S)=K 4. 电感： G(S)=LS 5. 电容： G(S)=1/CS 6. 测速电机：G(S)=K1S=U(S)/ (S) 7. 电动机：G(S)=K1/(TmS+1)=m(s)/Ua(s) G(S)=K1/s(TmS+1)= m(s)/Ua(s),二、典型环节及其传递函数,典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。时域特征包括微

29、分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零极点分布。,比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动，发电机等。,发电机：,特 点： 输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。 K放大系数，通常都是有量纲的。,例： 输入：(t)角度 E恒定电压 输出：u(t)电压,时域方程： u(t)=K(t) 传递函数： K比例系数，量纲为伏/弧度。,其它一些比例环节,（二）微分环节,特 点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。 运动方程： 传递函数： 频率特性：,例1 RC电路 设：输入ur(t) 输出uc(t) 消去i(t)，得到： 时域方程： 传

30、递函数： （Tc=RC） 当Tc1时，又可表示成： 频率特性：G（j）=jTc此时可近似为纯微分环节。,例 ：测速发电机CF的数学描述,输 入： (t)电动机D转子（与测速发电机同轴）的转角 输 出： uf(t)测速发电机的电枢电压 运动方程： 传递函数： G（s）=K s 频率特性： G（j）=jK,其他微分环节举例,例：如积分电路,时域方程： 传递函数： （T=R1C） 频率特性：,输入为r(t)，输出为c(t),（四）惯性环节,当输入为单位阶跃函数时,有 ，可解得： ，式中：k为放大系数，T为时间常数。,求单位阶跃输入的输出响应：,可见，y(t)是非周期单调升的，所以惯性环节又叫作非周期环节。,下面介绍直流伺服电动机部件的传递函