高三数学总复习学案64

1、学案学案 64排列与组合排列与组合 导学目标： 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公 式.3.能解决简单的实际问题 自主梳理 1排列的定义：_，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 排列数的定义 ： _， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 A 表示 m n 2排列数公式的两种形式：(1)A n(n1)(nm1)，(2)A ，其中公式 m nm n n！ nm！ (1)(不带阶乘的)主要用于计算；公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程 说明：n！_，叫做 n 的阶乘；规定 0！_； 当 mn 时的排列叫做全排列，全排列

2、数 A _. n n 3 组 合 的 定 义 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(mn) 个 元 素 合 成 一 组 ， 叫 做 _从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的_，用_表示 4组合数公式的两种形式： (1)C ； m n Am n Am m nn1n2nm1 mm1321 (2)C ，其中公式(1)主要用于计算，尤其适用于上标是具体数且 m 的 m n n！ m！nm！ n 2 情况，公式(2)适用于化简、证明、解方程等 5C C _，m、kN，nN*. m nk n 6组合数的两个性质：(1)C _，(

3、2)C_. m nmn1 自我检测 1(2010北京)8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为() AA A BA C CA A DA C 8 82 98 82 98 82 78 82 7 2(2011广州期末七区联考)2010 年上海世博会某国展出 5 件艺术作品，其中不同书法 作品 2 件、不同绘画作品 2 件、标志性建筑设计 1 件，在展台上将这 5 件作品排成一排，要 求 2 件书法作品必须相邻，2 件绘画作品不能相邻，则该国展出这 5 件作品的不同方案有 () A24 种 B48 种 C72 种 D96 种 3从 4 台甲型与 5 台乙型电视机中任选 3 台

4、，其中至少要有甲、乙型电视机各一台， 则不同的取法共有() A140 种 B84 种 C70 种 D35 种 4 (2011烟台期末)2008 年 9 月 25 日晚上 4 点 30 分， “神舟七号” 载人飞船发射升空， 某校全体师生集体观看了电视实况转播，观看后组织全体学生进行关于“神舟七号” 的论文 评选，若三年级文科共 4 个班，每班评出 2 名优秀论文(其中男女生各 1 名)依次排成一列进 行展览，若规定男女生所写论文分别放在一起，则不同的展览顺序有() A576 种 B1 152 种 C720 种 D1 440 种 5(2010全国)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片

5、放入 3 个不同的信封中，若每个信封 放 2 张，其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有() A12 种 B18 种 C36 种 D54 种 6(2010重庆)某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日(端午节假期)值班，每 天安排 2 人，每人值班 1 天若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不同的安排方 法共有() A30 种 B36 种 C42 种 D48 种 探究点一含排列数、组合数的方程或不等式 例 1 (1)求等式3 中的 n 值； C 5n1C3n3 C 3n3 4 5 (2)求不等式6A. x 9x26 探究点二排列应用题

6、例 2 (2011莆田模拟)六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端；(2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰间隔两人； (5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站右端 变式迁移 2用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶 性不同，且 1 和 2 相邻，求这样的六位数的种数 探究点三组合应用题 例 3 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名，选派 5 人外出比赛，在 下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员 3 名，女运动员 2 名； (2)至少有 1 名女运动员； (3)

7、队长中至少有 1 人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员 变式迁移 312 名同学合影， 站成前排 4 人后排 8 人， 现摄影师从后排 8 人中抽 2 人调 整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法总数是() AC A BC A 2 82 32 86 6 CC A DC A 2 82 62 82 5 1解排列、组合应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发 生的过程进行分步 2对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑， 即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置 的要求，再考虑其他位置；(3)

8、先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不 合要求的排列数或组合数 3关于排列组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2) 合理分类与准确分步；(3)排列组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相 邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列 问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2009湖南)从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选， 而丙没有入选的不同选法的种数为() A85

9、B56 C49 D28 2(2010全国)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有() A30 种 B35 种 C42 种 D48 种 3(2010重庆)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天安排一人，每人值班 1 天若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则 不同的安排方案共有() A504 种 B960 种 C1 008 种 D1 108 种 4(2011济宁月考)6 条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为 1,1,2,2,3,

10、4，现从中 任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于 6 的方法共有() A13 种 B14 种 C15 种 D16 种 5五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是() A24 B36 C48 D60 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6(2011北京)用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有 _个(用数字作答) 78 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各 4 人，分别进行单循环赛， 每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军， 败者角逐 3、4 名，则大师赛共有_场比赛

11、 8(2011马鞍山调研)参加海地地震救援的中国救援队一小组共有 8 人，其中男同志 5 人，女同志 3 人现从这 8 人中选出 3 人参加灾后防疫工作，要求在选出的 3 人中男、女同 志都有，则不同的选法共有_种(用数字作答) 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)(1)计算 CC199200； 98100 (2)求 CC的值； 28n3n2n21n (3)求证：C CC. m n m1 n1 m1n1 n nm mn1 10(12 分)有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表，求分别 符合下列条件的选法数 (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生

12、一定担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任语文课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表 11(14 分)从 1,3,5,7,9 五个数字中选 2 个，0,2,4,6,8 五个数字中选 3 个，能组成多少个 无重复数字的五位数？ 学案学案 64排列与组合排列与组合 自主梳理 1从 n 个不同元素中取出 m (mn)个元素，按照一定的顺序排成一列从 n 个不同元 素中取出 m (mn)个元素的所有不同排列的个数2.n(n1)211n！3.从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数C 5.mk 或 mkn6.(1)C(2)C C

13、m nnmnm nm1n 自我检测 1A不相邻问题用插空法，先排学生有 A 种排法，老师插空有 A 种方法，所以共 8 82 9 有 A A 种排法 8 82 9 2A2 件书法作品看作一个元素和标志性建筑设计进行排列有 A 种不同排法，让两 2 2 件绘画作品插空有 A 种插法，两件书法作品之间的顺序也可交换，因此共有 2A A 2 32 22 3 24(种) 3C从 4 台甲型机中选 2 台，5 台乙型机中选 1 台或从 4 台甲型机中选 1 台，5 台乙 型机中选 2 台，有 C C C C 70(种)选法 2 41 51 42 5 4B女生论文有 A 种展览顺序，男生论文也有 A 种展

14、览顺序，男生与女生论文可 4 44 4 以交换顺序，有 A 种方法，故总的展览顺序有 A A A 1 152(种) 2 24 44 42 2 5B先将 1,2 捆绑后放入信封中，有 C 种方法，再将剩余的 4 张卡片放入另外两个 1 3 信封中，有 C C 种方法， 2 42 2 所以共有 C C C 18(种)方法 1 32 42 2 6C若甲在 16 日值班，在除乙外的 4 人中任选 1 人在 16 日值班有 C 种选法，然后 1 4 14 日、15 日有 C C 种安排方法，共有 C C C 24(种)安排方法； 2 42 21 42 42 2 若甲在 15 日值班，乙在 14 日值班，

15、余下的 4 人有 C C C 种安排方法，共有 12(种)； 1 41 32 2 若甲、乙都在 15 日值班，则共有 C C 6(种)安排方法 2 42 2 所以总共有 2412642(种)安排方法 课堂活动区 例 1 解题导引(1)在解有关 A 、 C 的方程或不等式时要注意运用 nm 且 m、 nN* m nm n 的条件；(2)凡遇到解排列、组合的方程式、不等式问题时，应首先应用性质和排列、组合 的意义化简，然后再根据公式进行计算注意最后结果都需要检验 解(1)原方程可变形为 1，CC， C 5n1 C 3n3 19 5 5n1 14 5 3n3 即n1n2n3n4n5 5！ ， 14

16、5 n3n4n5 3！ 化简整理得 n23n540， 解得 n9 或 n6(不合题意，舍去)， n9. (2)由 6 nn1n2 24 nn1n2n3 ， 240 nn1n2n3n4 可得 n211n120，解得1n12. 又 nN*且 n5， n5,6,7,8,9,10,11 变式迁移 1解(1)根据原方程，x (xN*)应满足Error! 解得 x3.根据排列数公式， 原方程化为(2x1)2x(2x1)(2x2) 140 x(x1)(x2)， 因为 x3，两边同除以 4x(x1)， 得(2x1)(2x1)35(x2)， 即 4x235x690， 解得 x3 或 x (xN*，应舍去) 23

17、 4 所以原方程的解为 x3. (2)根据原不等式，x (xN*)应满足Error! 故 26A， x 9x26 得6，所以1， 9！ 9x！ 6！ 8x！ 84 9x 所以75x9. 故 2x8，所以 x3,4,5,6,7,8 例 2 解题导引(1)求排列应用题最基本的方法有直接法：把符合条件的从正面考虑 解决，直接列式计算 ； 间接法 ： 根据正难则反的解题原则，如果问题从正面考虑情况比较多， 容易重或漏，那么从整体中去掉不符合题意的情况，就得到满足题意的排列种数(2)相邻 问题，一般用捆绑处理的方法(3)不相邻问题，一般用插空处理的方法(4)分排问题，一 般用直排处理的方法(5)“小集团

18、”排列问题中，先整体后局部的处理方法 解(1)方法一要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个，有 A 种站 1 4 法，然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列，有 A 种站法，根据分步乘法计数原理，共 5 5 有 A A 480(种)站法 1 45 5 方法二若对甲没有限制条件共有 A 种站法，甲在两端共有 2A 种站法，从总数中减 6 65 5 去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有 A 2A 480(种)站法 6 65 5 (2)先把甲、乙作为一个“整体” ，看作一个人，有 A 种站法，再把甲、乙进行全排列， 5 5 有 A 种站法，根据分步乘法计数原理，共有

19、A A 240(种)站法 2 25 52 2 (3)因为甲、乙不相邻，所以可用“插空法” 第一步，先让甲、乙以外的 4 个人站队， 有 A 种站法；第二步，再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中，有 A 种站法， 4 42 5 故共有 A A 480(种)站法 4 42 5 (4)先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上，有 A 种；然后 2 4 把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列，有 A 种站法；最后对甲、 3 3 乙进行排列，有 A 种站法， 2 2 故共有 A A A 144(种)站法 2 43 32 2 (5)首先考虑

20、特殊元素，甲、乙先站两端，有 A 种站法，再让其他 4 人在中间位置作全 2 2 排列，有 A 种站法，根据分步乘法计数原理，共有 A A 48(种)站法 4 42 24 4 (6)甲在左端的站法有 A 种站法，乙在右端的站法有 A 种，且甲在左端而乙在右端的 5 55 5 站法有 A 种站法，共有 A 2A A 504(种)站法 4 46 65 54 4 变式迁移 2解依题意先排列除 1 和 2 外的剩余 4 个元素有 2A A 8(种)方案，再 2 22 2 向这排好的 4 个元素中选 1 空位插入 1 和 2 捆绑的整体，有 A 种插法， 1 5 不同的安排方案共有 2A A A 40(

21、种) 2 22 21 5 例 3 解题导引(1)区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序” ，无序的问题， 用组合解答，有序的问题属排列问题 (2)解组合问题时，常遇到“至多” 、“至少” 问题，解决的方法常常用间接法比较简单， 计算量也较小；用直接法也可以解决，但分类要恰当，特别对限制条件比较多的问题 解(1)第一步：选 3 名男运动员，有 C 种选法 3 6 第二步：选 2 名女运动员，有 C 种选法 2 4 共有 C C 120(种)选法 3 62 4 (2)“至少 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员” 从 10 人中任选 5 人，有 C种选法，其中全是男运动员的选法有 C 种 5

22、 105 6 所以“至少有 1 名女运动员”的选法有 C C 246(种) 5 105 6 (3)从 10 人中任选 5 人，有 C种选法 5 10 其中不选队长的方法有 C 种 5 8 所以“至少 1 名队长”的选法有 C C 196(种) 5 105 8 (4)当有女队长时，其他人选法任意，共有 C 种选法不选女队长时，必选男队长，共 4 9 有 C 种选法 其中不含女运动员的选法有 C 种， 所以不选女队长时共有 C C 种选法 故 4 84 54 84 5 既要有队长，又要有女运动员的选法有 C C C 191(种) 4 94 84 5 变式迁移 3C从后排 8 人中选 2 人有 C

23、种，这 2 人插入前排 4 人中且前排人的顺 2 8 序不变，则先从 4 人中的 5 个空位插一人有 5 种 ； 余下的一人则要插入前排 5 人的空档有 6 种，故为 A .所求总数为 C A . 2 62 82 6 课后练习区 1C丙不入选的选法有 C 84(种)， 3 9 9 8 7 3 2 1 甲乙丙都不入选的选法有 C 35(种) 3 7 7 6 5 3 2 1 所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有 843549(种) 2A方法一可分两种互斥情况 ： A 类选 1 门，B 类选 2 门或 A 类选 2 门，B 类选 1 门，共有 C C C C 181230(种)选法 1 32

24、 42 31 4 方法二总共有 C 35(种)选法，减去只选 A 类的 C 1(种)，再减去只选 B 类的 C 3 73 33 4 4(种)，故有 30 种选法 3C不考虑丙、丁的情况共有 A A 1 440(种)排法 2 26 6 在甲、乙相邻的条件下，丙排 10 月 1 日有 A A 240(种)排法，同理，丁排 10 月 7 日 2 25 5 也有 240 种排法丙排 10 月 1 日，丁排 10 月 7 日也有 A A 48(种)排法，则满足条件的排 2 24 4 法有 A A 2A A A A 1 008(种) 2 26 62 25 52 24 4 4 C当选用信息量为 4 的网线时

25、有 C 种 ； 当选用信息量为 3 的网线时有 C C 1 种， 2 51 21 2 共 C C C 115(种) 2 51 21 2 5B五人中不排甲、乙、丙，另 2 人排列有 A 种方法，这两人中有 3 个空，按甲 2 2 在两头和中间分为两类，当甲在两头中的一头时，乙有 2 种插空法，乙插入后有 3 个空供丙 插，因此有 A C C C 24(种)，当甲在中间时，乙有 2 种插法，乙插入后也有 3 个空供丙 2 21 21 21 3 插，所以共有 A C C 12(种)，由分类加法计数原理得：共有 241236(种) 2 21 21 3 614 解析数字 2,3 至少都出现一次，包括以下

26、情况： “2”出现 1 次，“3”出现 3 次，共可组成 C 4(个)四位数 1 4 “2”出现 2 次，“3”出现 2 次，共可组成 C 6(个)四位数 2 4 “2”出现 3 次，“3”出现 1 次，共可组成 C 4(个)四位数 3 4 综上所述，共可组成 14 个这样的四位数 716 解析每组有 C 场比赛，两组共有 2C 场，每组的第一名与另一组的第二名比赛有 2 2 42 4 场，决出冠军和第 3 名各 1 场，所以共有 2C 21116(场) 2 4 845 解析从 3 名女同志和 5 名男同志中选出 3 人， 分别参加灾后防疫工作， 若这 3 人中男、 女同志都有，则从全部方案中减去只选派女同志的方案数 C ，再减去只选派男同志的方案 3 3 数 C ，合理的选派方案共有 C C C