高三数学总复习学案16

1、学案学案 16定积分及其简单的应用定积分及其简单的应用 导学目标： 1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概 念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释 定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使 F(x)f(x)的 F(x)，并运用牛顿莱布 尼茨公式求 f(x)的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能 熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功 自主梳理 1定积分的几何意义：如果在区间a，b上函数 f(x)连续且恒有 f(x)0，那么函数 f(x) 在区间a

2、，b上的定积分的几何意义是直线_所围成的曲边梯形的 _ 2定积分的性质 (1) kf(x)dx_ (k 为常数)； b a (2) f1(x)f2(x)dx_； b a (3) f(x)dx_. b a 3微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么 f(x)dxF(b) b a F(a) ， 这 个 结 论 叫 做 _ ， 为 了 方 便 ， 我 们 常 把 F(b) F(a) 记 成 _，即 f(x)dxF(x)| F(b)F(a) b ab a 4定积分在几何中的应用 (1)当 xa，b且 f(x)0 时，由直线 xa，xb (ab)，y0

3、 和曲线 yf(x)围成的曲边 梯形的面积 S_. (2)当 xa，b且 f(x)g(x)0 时，由直线 xa，xb (ab)和曲线 yf(x)，yg(x)围成 的平面图形的面积 S_. (4)若 f(x)是偶函数，则f(x)dx2 f(x)dx；若 f(x)是奇函数，则f(x)dx0. aaa 0aa 5定积分在物理中的应用 (1)匀变速运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程 s， 等于其速度函数 vv(t)v(t)0在时间区间a， b 上的定积分，即_ (2)变力做功公式 一物体在变力 F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同的方向从 x a 移动到 xb

4、 (ab)(单位：m)，则力 F 所做的功 W_. 自我检测 1计算定积分 3xdx 的值为 () 5 0 A.B75 75 2 C.D25 25 2 2定积分 xdx 等于 () 1 0 1x12 A.B. 1 2 4 2 C.D. 1 4 1 2 3如右图所示，阴影部分的面积是 () A2B233 C.D. 32 3 35 3 4(2010湖南)dx 等于 () 4 21 x A2ln 2B2ln 2 Cln 2Dln 2 5若由曲线 yx2k2与直线 y2kx 及 y 轴所围成的平面图形的面积 S9，则 k _. 探究点一求定积分的值 例 1 计算下列定积分： (1)； 2 1 11 (

5、) e xdx xx (2)； 2 0 sin2cos )xx dx （ (3) (2sin x3ex2)dx； 0 (4) |x21|dx. 2 0 变式迁移 1计算下列定积分： (1) |sin x|dx；(2) sin2xdx. 2 0 0 探究点二求曲线围成的面积 例 2 计算由抛物线 y x2和 y3(x1)2所围成的平面图形的面积 S. 1 2 变式迁移 2计算曲线 yx22x3 与直线 yx3 所围图形的面积 探究点三定积分在物理中的应用 例 3 一辆汽车的速度时间曲线如图所示，求此汽车在这 1 min 内所行驶的路程 变式迁移 3A、B 两站相距 7.2 km，一辆电车从 A

6、站开往 B 站，电车开出 t s 后到达途 中 C 点，这一段速度为 1.2t m/s，到 C 点时速度达 24 m/s，从 C 点到 B 点前的 D 点以匀速行 驶，从 D 点开始刹车，经 t s 后，速度为(241.2t)m/s，在 B 点恰好停车，试求： (1)A、C 间的距离； (2)B、D 间的距离； (3)电车从 A 站到 B 站所需的时间 函数思想的应用 例 (12 分)在区间0,1上给定曲线 yx2.试在此区间内确定点 t 的值，使图中的阴影部 分的面积 S1与 S2之和最小，并求最小值 【答题模板】 解S1面积等于边长为 t 与 t2的矩形面积去掉曲线 yx2与 x 轴、直线

7、 xt 所围成的面 积，即 S1tt2 x2dx t3.2 分 t 0 2 3 S2的面积等于曲线 yx2与 x 轴，xt，x1 围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为 t2,1t，即 S2 x2dxt2(1t) t3t2 .4 分 1 t 2 3 1 3 所以阴影部分面积 SS1S2 t3t2 (0t1)6 分 4 3 1 3 令 S(t)4t22t4t0 时，得 t0 或 t .8 分 (t 1 2) 1 2 t0 时，S ；t 时，S ；t1 时，S .10 分 1 3 1 2 1 4 2 3 所以当 t 时，S 最小，且最小值为 .12 分 1 2 1 4 【突破思维障碍】 本题既不是

8、直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定 积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小 值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识 1定积分 f(x)dx 的几何意义就是表示由直线 xa，xb (ab)，y0 和曲线 yf(x)围 b a 成的曲边梯形的面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分 的值，如dx (半径为 2 的 个圆的面积)，dx2. 2 0 4x2 1 4 22 4x2 2 运用定积分的性质可以化简定积分计算， 也可以把一个函数的定积分化成几个简单函 数定积分

9、的和或差 3计算一些简单的定积分问题，解题步骤是 ： 第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦 函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；第二步，把定积分用定积分性质变形为求被 积函数为上述函数的定积分 ； 第三步， 分别用求导公式找到一个相应的使 F(x)f(x)的 F(x)； 第四步，再分别用牛顿莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1下列值等于 1 的积分是 () A xdxB (x1)dx 1 01 0 CdxD 1dx 1 01 2 1 0 2(2011汕头模拟)设函数 f(x)Error!则 f(x)dx 等于

10、() 2 0 A.B. 1 3 17 6 C6D17 3已知 f(x)为偶函数且 f(x)dx8，则f(x)dx 等于 () 6 066 A0B4C8D16 4(2011深圳模拟)曲线 ysin x，ycos x 与直线 x0，x 所围成的平面区域的面积 2 为 () A 0(sin xcos x)dx 2 B2 0(sin xcos x)dx 4 C 0(cos xsin x)dx 2 D2 0(cos xsin x)dx 4 5(2011临渭区高三调研)函数 f(x) t(t4)dt 在1,5上 () x 0 A有最大值 0，无最小值 B有最大值 0，最小值32 3 C有最小值，无最大值

11、32 3 D既无最大值也无最小值 题号12345 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6若 1 N 的力使弹簧伸长 2 cm，则使弹簧伸长 12 cm 时克服弹力做的功为 _J. 7 (2xk1)dx2，则 k_. 1 0 8(2010山东实验中学高三三诊)若 f(x)在 R 上可导，f(x)x22f(2)x3，则 f(x)dx 3 0 _. 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)计算以下定积分： (1)dx；(2) 2dx；2 1(2x21 x) 3 2( x 1 x) (3) 0(sin xsin 2x)dx；(4) |32x|dx. 3 2 1 10(12 分)设 yf

12、(x)是二次函数，方程 f(x)0 有两个相等的实根，且 f(x)2x2. (1)求 yf(x)的表达式； (2)求 yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积 11(14 分)求曲线 yex1 与直线 xln 2，ye1 所围成的平面图形的面积 答案答案 自主梳理 1xa，xb (ab)，y0 和曲线 yf(x)面积 2(1)k f(x)dx(2) f1(x)dx f2(x)dx(3) f(x)dx f(x)dx(其中 ac0 时，S (x2k22kx)dx k 0 (xk)2dx (xk)3| 0 (k)3 ， k 0 1 3 k 0 1 3 k3 3 由题意知 9，k3. k3 3 由图

13、象的对称性可知 k3 也满足题意，故 k3. 课堂活动区 例 1 解题导引(1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数 分段函数在区间a，b上的积分可分成几段积分的和的形式 分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分 得过细 (2)f(x)是偶函数，且在关于原点对称的区间a，a上连续，则f(x)dx2 f(x)dx. aaa 0 解(1)dx e 1(x1 x 1 x2) xdxdxdx e 1e 11 x e 11 x2 x2| ln x| | 1 2 e 1e 1 1 x e 1 (e21)(ln eln 1) 1 2 ( 1 e 1 1) e2 . 1 2 1

14、 e 3 2 (2) 0(sin x2cos x)dx 2 0sin xdx2 0cos xdx 2 2 (cos x)| 02sin x|0 2 2 cos (cos 0)2 2 (sin 2sin 0) 1. (3) (2sin x3ex2)dx 0 2 sin xdx3 exdx 2dx 0 0 0 2(cos x)| 3ex| 2x| 0 0 0 2(cos )(cos 0)3(ee0)2(0) 73e2. (4)0 x2， 于是|x21|Error! |x21|dx (1x2)dx (x21)dx 2 01 02 1 | | 2. (x 1 3x 3)1 0 ( 1 3x 3x)2

15、1 变式迁移 1解(1)(cos x)sin x， |sin x|dx |sin x|dx |sin x|dx 2 0 02 sin xdx sin xdx 02 cos x| cos x| 02 (cos cos 0)(cos 2cos )4. (2) sin2xdxdx 0 0(1 2 1 2cos 2x) dx cos 2xdx 01 2 1 2 0 x| | 1 2 0 1 2( 1 2sin 2x) 0 ( 20) 1 2( 1 2sin 2 1 2sin 0) . 2 例 2 解题导引求曲线围成的面积的一般步骤为：(1)作出曲线的图象，确定所要求的 面积；(2)联立方程解出交点坐标

16、；(3)用定积分表示所求的面积；(4)求出定积分的值 解作出函数 y x2和 y3(x1)2的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积 S 为图 1 2 中阴影部分的面积 解方程组Error!得Error!或Error! 所以两曲线交点为 A，B(2,2) ( 2 3， 2 9) 所以 S2 3(x1)2dx2x2dx 2 3 2 3 1 2 2 (x22x2)dx2x2dx 2 3 2 3 1 2 Error!2 Error!2 2 3 2 3 ( 8 344) ( 8 81 4 9 4 3) 1 6 (8 8 27) 4. 20 27 变式迁移 2解 如图， 设 f(x)x3， g(x)x2

17、2x3， 两函数图象的交点为 A，B， 由Error! 得Error!或Error! 曲线 yx22x3 与直线 yx3 所围图形的面积 S f(x)g(x)dx 3 0 (x3)(x22x3)dx 3 0 (x23x)dx 3 0 | . ( 1 3x 33 2x 2)3 0 9 2 故曲线与直线所围图形的面积为 . 9 2 例 3 解题导引用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学 问题是关键变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其 分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案s(t)求导后得到速度，对速度积分则得到 路程 解方法一由速度时间曲

18、线易知 v(t)Error! 由变速直线运动的路程公式可得 s 3tdt 30dt (1.5t90)dt 10 040106040 t2| 30t| | 1 350 (m) 3 2 10 04010 ( 3 4t 290t)6040 答此汽车在这 1 min 内所行驶的路程是 1 350 m. 方法二由定积分的物理意义知， 汽车 1 min 内所行驶的路程就是速度函数在0,60上的 积分，也就是其速度曲线与 x 轴围成梯形的面积， s (ABOC)30 (3060)301 350 (m) 1 2 1 2 答此汽车在这 1 min 内所行驶的路程是 1 350 m. 变式迁移 3解(1)设 v(

19、t)1.2t，令 v(t)24，t20. A、C 间距离|AC| 1.2tdt 20 0 (0.6t2)| 0.6202240 (m) 20 0 (2)由 D 到 B 时段的速度公式为 v(t)(241.2t) m/s，可知|BD|AC|240 (m) (3)|AC|BD|240 (m)， |CD|7 20024026 720 (m) C、D 段用时280 (s) 6 720 24 又 A、C 段与 B、D 段用时均为 20 s， 共用时 2802020320 (s) 课后练习区 1D2.B3.D4.D5.B 60.36 解析设力 F 与弹簧伸长的长度 x 的关系式为 Fkx， 则 1k0.0

20、2，k50， F50 x，伸长 12 cm 时克服弹力做的功 W50 xdxx2|0.1220.36(J) 0.120 50 2 0.120 50 2 71 解析 (2xk1)dxError! 1 01 0 12，k1. 2 k1 818 解析f(x)2x2f(2)，f(2)42f(2)， 即 f(2)4，f(x)x28x3， f(x)dx 334323318. 3 0 1 3 9解(1)函数 y2x2 的一个原函数是 y x3ln x， 1 x 2 3 所以dxError! 2 1(2x21 x) 2 1 ln 2 ln 2.(3 分) 16 3 2 3 14 3 (2) 2dx dx 3 2( x 1 x) 3 2(x1 x2) Error!3 2 (2ln 24) ( 9 2ln 36) ln .(6 分) 3 2 9 2 (3)函数 ysin xsin 2x 的一个原