高三数学（理数）总复习练习专题二 函数概念及其基本性质

1、1(2015课标，5，易)设函数 f(x)则 f(2)f(log212)() 1log2（2x）， x1， 2x1， x 1，) A3 B6 C9 D12 【答案】Clog2121， f(log212)2log212121log23236. 原式1log2469. 2(2015湖北，6，中)已知符号函数 sgn xf(x)是 R 上的增函数，g(x)f(x) 1，x 0， 0，x0， 1，x1)，则() Asgng(x)sgn x Bsgng(x)sgn x Csgng(x)sgnf(x) Dsgng(x)sgnf(x) 【答案】B当 xax， f(x)f(ax)0， sgng(x)1. 当

2、x0 时，xax， f(x)f(ax)0. sgng(x)0. 当 x0 时，a1，axx， f(x)f(ax) 0， 0，x0， 1，x 0. ) sgng(x)sgn x. 3(2015山东，10，中)设函数 f(x)则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是() 3x1， x 1， 2x， x 1.) A. B0，1 2 3，1 C. D1，) 2 3，) 【答案】C令 f(a)t.则由 f(f(a)2f(a)得 f(t)2t.由 f(x)可知 3x1，x 1， 2x，x 1) t1. f(a)1或 a1 或 a1a .故选 C. a 1， 3a1 1) a 1， 2a 1) 2

3、 3 2 3 4(2015浙江，7，难)存在函数 f(x)满足：对任意 xR 都有() Af(sin 2x)sin x Bf(sin2x)x2x Cf(x21)|x1| Df(x22x)|x1| 【答案】D方法一：f(x22x)|x1|， f(x22x).（x1）2x22x1 存在函数 f(x)，对任意 xR 都有 f(x22x)|x1|.x1 方法二：A，B，C 均举出反例不符合函数的概念，而 D 项，f(t21)t(t0)f(x)，符合题x1 意 5(2015湖北，10，难)设 xR，x表示不超过 x 的最大整数若存在实数 t，使得t1，t2 2，tnn 同时成立，则正整数 n 的最大值是

4、() A3 B4 C5 D6 【答案】B由题可知： 当 n1 时，1t2. 当 n2 时，2t23，即t满足条件23 当 n3 时，3t34，即t满足条件 3 3 3 4 当 n4 时，4t45，即t满足条件 4 4 4 5 当 n5 时，5t56，即t.所以正整数 n 的最大值为 4. 5 5 5 6 3 3 5 6 6(2015浙江，10，易)已知函数 f(x)则 f(f(3)_，f(x)的最小 x2 x3， x 1， lg（x21）， x1，) 值是_ 【解析】f(3)lg(3)211， f(f(3)f(1)1230. 当 x1 时，f(x)x 323， 2 x 2 当 x0，a1)的定

5、义域和值域都是1，0，则 ab _ 【解析】当 0a1 时，解得 b1， a 1b1， a0b0， ) 0，无解综上 ab . 1 a 3 2 【答案】3 2 1(2014江西，2，易)函数 f(x)ln(x2x)的定义域为() A(0，1) B0，1 C(，0)(1，) D(，01，) 【答案】C要使函数有意义，需满足 x2x0，解得 x1，故选 C. 2(2013陕西，1，易)设全集为 R，函数 f(x)的定义域为 M，则RM 为()1x2 A1，1 B(1，1) C(，11，) D(，1)(1，) 【答案】D由 1x20 得1x1，故RM(，1)(1，) 3(2012江西，3，易)若函数

6、 f(x)则 f(f(10)() x21，x 1， lg x，x 1，) Alg 101 B2 C1 D0 【答案】Bf(10)lg 101，f(f(10)f(1)1212，故选 B. 4(2014江西，3，易)已知函数 f(x)5|x|，g(x)ax2x(aR)若 f(g(1)1，则 a() A1 B2 C3 D1 【答案】A由已知条件可知 f(g(1)f(a1)5|a1|1，|a1|0，得 a1.故选 A. 5(2012安徽，2，易)下列函数中，不满足 f(2x)2f(x)的是() Af(x)|x| Bf(x)x|x| Cf(x)x1 Df(x)x 【答案】C选项 A，f(2x)|2x|2

7、|x|，2f(x)2|x|，故 f(2x)2f(x)； 选项 B，f(2x)2x|2x|2x2|x|，2f(x)2x2|x|，故 f(2x)2f(x)； 选项 C，f(2x)2x1，2f(x)2x2，故 f(2x)2f(x)； 选项 D，f(2x)2x，2f(x)2x，故 f(2x)2f(x) 6(2014福建，7，中)已知函数 f(x)则下列结论正确的是() x21，x 0， cos x，x 0，) Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数 Cf(x)是周期函数 Df(x)的值域为1，) 【答案】D方法一：由 x0 得，x211，当 x0 时，cos x1，1，故 f(x)1，)， 选 D.

8、方法二(数形结合法)：作出 f(x)的图象如图所示，可排除 A，B，C，故 D 正确 7 (2014上海， 18， 中)设 f(x)若 f(0)是 f(x)的最小值， 则 a 的取值范围为() （xa）2，x 0， x1 xa，x 0. ) A1，2 B1，0 C1，2 D0，2 【答案】D当 x0 时，f(x)(xa)2，又 f(0)是 f(x)的最小值，a0；当 x0 时，f(x)x1 x a2a，当且仅当 x1 时取“” 要满足 f(0)是 f(x)的最小值，需 2af(0)a2，即 a2a20， 解得1a2，a 的取值范围是 0a2.故选 D. 8(2014湖北，14，难)设 f(x)

9、是定义在(0，)上的函数，且 f(x)0，对任意 a0，b0，若经过点 (a，f(a)，(b，f(b)的直线与 x 轴的交点为(c，0)，则称 c 为 a，b 关于函数 f(x)的平均数，记为 Mf(a， b)例如，当 f(x)1(x0)时，可得 Mf(a，b)c，即 Mf(a，b)为 a，b 的算术平均数 ab 2 (1)当 f(x)_(x0)时，Mf(a，b)为 a，b 的几何平均数； (2)当 f(x)_(x0)时，Mf(a，b)为 a，b 的调和平均数. 2ab ab (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 【解析】设 P(a，f(a)，Q(b，f(b)， 则直线 PQ 的方程为

10、 yf(a)(xa) f（a）f（b） ab 令 y0 得 c. af（b）bf（a） f（a）f（b） (1)令几何平均数f(a)f(b)bf(a)af(b)，可取 f(x)(x0)； ab af（b）bf（a） f（a）f（b） ababx (2)令调和平均数，可取 f(x)x(x0) 2ab ab af（b）bf（a） f（a）f（b） abba ab af（b）bf（a） f（a）f（b） 【答案】(1)(2)x(或填(1)k1(2)k2x，其中 k1，k2为正常数均可)x x 考向 1求函数的定义域 常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零 (2)偶次根式函数的

11、被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 R. (4)yx0的定义域是x|x0 (5)yax(a0 且 a1)，ysin x，ycos x 定义域均为 R. (6)ylogax(a0 且 a1)的定义域为(0，) (7)ytan x 的定义域为. x|x k 2 ，k Z) (1)(2014山东，3)f(x)的定义域为() 1 （log2x）21 A. B(2，) (0， 1 2) C.(2，) D.2，) (0， 1 2) (0， 1 2 (2)(2015河南郑州一模，13)若函数 yf(x)的定义域为0，2，则函数 g(x)的定义域是 f（2x） x1 _ 【解析】(

12、1)要使函数有意义，必须 （log2x）21 0， x 0. ) 由得(log2x)21，即 log2x1 或 log2x2 或 0x .故选 C. 1 2 (2)02x2，0 x1，又 x10，即 x1， 0 x1 和 log2x1；解题(2) 时易误认为 0 x2，从而 02x4，出现 0 x1 或 1x4 的错误 求函数定义域的三种常考类型及求解策略 (1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解 (2)抽象函数： 若已知函数 f(x)的定义域为a，b，则复合函数 f(g(x)的定义域由 ag(x)b 求出 若已知函数 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为

13、g(x)在 xa，b时的值域 (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求 (1)求定义域时对于解析式先不要化简； (2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式 (1)(2012江西，2)下列函数中，与函数 y定义域相同的函数为() 1 3 x Ay By 1 sin x ln x x Cyxex Dysin x x (2)若典型例题 1(2)改为函数 f(x21)的定义域为0，2，则函数 g(x)f(2x)的定义域为_ (1)【答案】D函数 y的定义域为x|x0，xR，与函数 y的定义域相同，故选 1 3 x sin x x D. (2)【解析】0 x2，1x2

14、13， 从而函数 f(x)的定义域为1，3 由12x3，得 x ， 1 2 3 2 所以函数 f(2x)的定义域为. 1 2， 3 2 【答案】1 2， 3 2 考向 2求函数的解析式 函数的解析式 (1)函数的表示方法：解析法、列表法、图象法 (2)函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是 yf(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形 式 (3)求函数的解析式时，一定要注意函数的定义域的变化，特别是利用换元法求出的解析式，不注明 定义域往往导致错误 (1)(2014浙江， 6)已知函数 f(x)x3ax2bxc， 且 0f(1)f(2)f(3)3， 则() Ac3 B3c6 C69 (2)

15、(2013安徽，14)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则当 1x0 时，f(x)_. 【解析】(1)由 f(1)f(2)f(3)得，解得f(x) 1abc84a2bc， 1abc279a3bc，) a6， b11，) x36x211xc.由 0f(1)3，得 01611c3，即 6c9，故选 C. (2)1x0，0 x11， f(x) f(x1) (x1)1(x1) 1 2 1 2 x(x1) 1 2 【答案】(1)C(2) x(x1) 1 2 【点拨】解题(1)的关键是利用 f(1)f(2)f(3)求出 a， b 的值， 再结合

16、不等关系 0f(1)3 求解；解题(2)的关键是将所求函数解析式的定义域向已知函数解析式的定义域转化 求函数解析式的常见方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据 题设条件，列出方程组，解出待定系数即可 (2)换元法：已知 f(h(x)g(x)求 f(x)时，往往可设 h(x)t，从中解出 x，代入 g(x)进行换元，求出 f(t) 的解析式，再将 t 替换为 x 即可 (3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用 函数满足的等量关系间接获得其解析式 (4)解方程组法：已知关于 f(x)与 f

17、(或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构 ( 1 x) 成方程组求出 f(x) (2015四川成都检测，12)如果 f，则当 x0，且 x1 时，f(x)_ ( 1 x) x 1x 【解析】方法一：令 t，x ， 1 x 1 t f(t)，f(x). 1 t 1 1 t 1 t1 1 x1 方法二：f， ( 1 x ) x 1x 1 1 x 1 用 x 替换 ，f(x). 1 x 1 x1 【答案】 1 x1 考向 3分段函数及其应用 1分段函数的概念 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称 为分段函数分段函数虽由几个部分组

18、成，但它表示的是一个函数 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集 2解决分段函数问题的注意事项 分段函数是一个函数而不是几个函数， 处理分段函数问题时， 首先确定自变量的取值属于哪个区间， 再选取相应的对应法则，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的 分段函数是为了研究问题的需要而进行的分类讨论，相当于求“并集” ，不可与方程组或不等式组的 求“交集”相混淆 (1)(2014四川，12)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1，1)时，f(x) 则 f_ 4x22，1 x 0， x，0 x 1，)( 3 2) (2)(2014浙江，15)

19、设函数 f(x)若 f(f(a)2，则实数 a 的取值范围是_ x2x，x 0， x2， x 0. ) 【解析】(1)f(x)是周期为 2 的函数， fff421. ( 3 2 )( 1 22) ( 1 2) ( 1 2) 2 (2)由题意得或 f （a） 0， f2（a）f（a） 2) f （a） 0， f2（a） 2，) 解得 f(a)2. 由或 a 0， a2a 2) a 0， a2 2，) 解得 a. 2 【答案】(1)1(2)(，2 【点拨】解题(1)的关键是借助周期函数将求 f转化为求 f的值；解题(2)的关键是分清 ( 3 2 )( 1 2) 自变量的取值范围与所对应的函数关系

20、分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解 (2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围) 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量 的取值范围 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论 (2015山东临沂调研，5)已知函数 f(x)若 f(f(0)4a，则实数 a 等于 2x1，x 1， x2ax，x 1，) () A. B. C2 D9 1 2 4 5 【答案】C0 0， x1 1 ) x2 1或x2 1， x 1， x 2， ) 所以 x3，即定义

21、域为3，) 2 (2015河南南阳质检， 3)已知函数 f(x)若 f(a)f(1)0， 则实数 a 的值等于() 2x，x 0， x1，x 0，) A3 B1 C1 D3 【答案】A因为 f(1)212， 且 f(a)f(2)0， 所以 f(a)2.因为 x0 时， 2x1， 所以 f(a)a 12，解得 a3. 3(2015河北唐山统考，5)f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x3ln(1x)，则当 x0 时，f(x) () Ax3ln(1x) Bx3ln(1x) Cx3ln(1x) Dx3ln(1x) 【答案】C当 x0，f(x)(x)3ln(1x) f(x)是 R 上的奇

22、函数，当 x0 时，f(x)f(x)(x)3ln(1x)， f(x)x3ln(1x) 4(2014山东莱芜一模，8)已知函数 f(x)的定义域为3，6，则函数 y的定义域为 f（2x） log 1 2 （2x） () A. B. 3 2，) 3 2，2) C. D. ( 3 2，) 1 2，2) 【答案】B要使函数 y有意义， 需满足 f（2x） log1 2（2x） 3 2x 6， log1 2（2x）0) 3 2 x 3， 02x1 ) 3 2 x2.故选 B. 5(2014福建厦门一模，7)已知函数 f(x)则方程 f(x)1 的解是() 3x2，x 1，2， x3，x （2，5，) A

23、.或 2 B.或 3 C.或 4 D或 42222 【答案】C当 x1，2时，由 3x21x或(舍去)；22 当 x(2，5时，由 x31x4. 综上所述，f(x)1 的解为或 4.2 6(2015山东青岛质检，9)设函数 f(x)那么 f(2 015)() x3，0 x5， f（x5），x 5，) A27 B0 C3 D1 【答案】B由题意知 x5，f(x)f(x5) 令 x5t，x5t，f(5t)f(t)， f(x5)f(x)，f(x)的周期 T5， f(2 015)f(40350)f(0)， 而当 0 x5 时，f(x)x3， f(0)030，故 f(2 015)0，故选 B. 7(20

24、15湖北武汉质检，6)已知函数 f(x)若 f(a)f(a)0，则 a 的取值范围是 x22x，x 0， x22x，x 0.) () A1，1 B2，0 C0，2 D2，2 【答案】D依题意可得 a 0， a22a（a）22（a） 0) 或a 0， （a）22（a）a22a 0，) 解得 a2，2，故选 D. 8(2015安徽合肥二模，7)设集合 A，B，函数 f(x)若 x0 0， 1 2) 1 2，1 x1 2，x A， 2（1x），xB.) A，且 f(f(x0)A，则 x0的取值范围是() A. B. (0， 1 4( 1 4， 1 2 C. D. ( 1 4， 1 2)0， 3 8

25、【答案】C因为 x0A，即 0 x0 0，) _ 【解析】由题意知， 或 x 0， 1 2x 1 1) x 0， （x1）2 1，) 解得4x0 或 0x2，故 x 的取值范围是4，2 【答案】4，2 1(2015天津，7，中)已知定义在 R 上的函数 f(x)2|xm|1(m 为实数)为偶函数，记 af(log0.53)， bf(log25)，cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为() Aabc Bacb Ccab Dcba 【答案】Cf(x)为偶函数，f(x)f(x)， m0，f(x)2|x|1. 由函数的图象可知，函数 f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数 af(log

26、0.53)f(log23)，bf(log25)， cf(0)，又 log25log230，bac，故选 C. 2(2015湖南，5，中)设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则 f(x)是() A奇函数，且在(0，1)上是增函数 B奇函数，且在(0，1)上是减函数 C偶函数，且在(0，1)上是增函数 D偶函数，且在(0，1)上是减函数 【答案】Af(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，f(x)是奇函数 又f(x)，x(1，1)， 1 1x 1 1x 1x（1x） 1x2 2 1x2 f(x)在定义域内恒大于 0，f(x)在(0，1)上是增函数 1(2014陕西，7，易)下列函数中，满足“

27、f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是() Af(x)x Bf(x)x3 1 2 Cf(x) Df(x)3x ( 1 2) x 【答案】Df(xy)f(x)f(y)，f(x)为指数函数模型，排除 A，B.又f(x)为单调递增函数， 排除 C，故选 D. 2(2012广东，4，易)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是() Ayln(x2) Byx1 Cy Dyx ( 1 2) x 1 x 【答案】A(逐项验证法)函数 yln(x2)在(2，)上是增函数 ； 函数 y在1，x1 )上是减函数；函数 y在(0，)上是减函数；函数 yx 在(0，1)上是减函数，在(1， ( 1 2) x 1

28、 x )上是增函数综上可得，在(0，)上是增函数的是 yln(x2)，故选 A. 3(2012陕西，2，易)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为() Ayx1 Byx3 Cy Dyx|x| 1 x 【答案】D(逐项验证法)对于 A，注意到函数 yx1 不是奇函数 ； 对于 B，注意到函数 yx3 是在 R 上的减函数；对于 C，注意到函数 y 在其定义域上不是增函数；对于 D，注意到x|x|x|x| 1 x 0，即函数 yx|x|是奇函数，且当 x0 时，yx|x|x2是增函数，因此函数 yx|x|既是奇函数又是 R 上的增函数，故选 D. 4(2013安徽，4，易)“a0”是“函数 f(x)

29、|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C充分性：当 a0，则 f(x)|(ax1)x|ax2x 为开口向上的二次函数，且 对称轴为 x0，故在区间(0，)上为增函数；当 a0 时，f(x)x 在区间(0，)上为增函数 1 2a 必要性 ： 当 a0 时，f0，f(0)0，由 f(x)在(0，)上为增函数知， 0，即 a0，即 x .而 ylog5u 为(0，)上的增函数， 1 2 当 x 时，u2x1 也为增函数，故原函数的单调增区间是. 1 2 ( 1 2，) 【答案】(1 2，) 6(2011上

30、海，20，14 分，中)已知函数 f(x)a2xb3x，其中常数 a，b 满足 ab0. (1)若 ab0，判断函数 f(x)的单调性； (2)若 abf(x)时 x 的取值范围 解：(1)(定义法)a0，b0 时，任取 x1，x2R，令 x1x2，则 f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x1 3x2) 2x10a(2x12x2)0， 3x10b(3x13x2)0， f(x1)f(x2)0，函数 f(x)在 R 上是增函数 同理，当 a0，b0， 即 a2b. ( 3 2 ) x 当 a0 时， ( 3 2 ) x a 2b 则 xlog； 3 2( a 2b) 当 a0，b0 时，

31、( 3 2 ) x a 2b 则 xlog. 3 2( a 2b) 考向 1确定函数的单调性(单调区间) 1单调函数的定义 增函数减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1，x2 定义 当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么 就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1f(x2)， 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 从单调函数的定义可以看出，函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的有的函数 在其定义域的一个区间上是增函数，而在另一个区

32、间上不是增函数例如，函数 yx2，当 x0，) 时是增函数，当 x(，0时是减函数 2函数单调性的常用结论 (1)若 f(x)，g(x)均是区间 A 上的增(减)函数，则 f(x)g(x)也是区间 A 上的增(减)函数； (2)若 k0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k0)在公共定义域内与 yf(x)，y的单调性相反； 1 f（x） (4)函数 yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与 y的单调性相同；f（x） (5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相 反 (1)(2014北京，2)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是() Ay B

33、y(x1)2x1 Cy2x Dylog0.5(x1) (2)(2014天津，4)函数 f(x)log (x24)的单调递增区间为() 1 2 A(0，) B(，0) C(2，) D(，2) 【解析】(1)A 项，函数 y在1，)上为增函数，所以函数在(0，)上为增函数， x1 故符合；B 项，函数 y(x1)2在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数，故不符合；C 项，函 数 y2x在 R 上为减函数，故不符合；D 项，函数 ylog0.5(x1)在(1，)上为减函数， ( 1 2 ) x 故不符合 (2)因为 ylog t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调增区间，即求函数 yx24 的

34、单调减区 1 2 间，结合函数的定义域 x240，可知所求区间为(，2) 【答案】(1)A(2)D 判断函数单调性(单调区间)的常用方法 (1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论 (2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调 性(区间) (3)复合函数法：适用于形如 yf(x)的复合函数，具体规则如下表： 函数增减情况 内函数 t(x)增增减减 外函数 yf(t)增减增减 yf(x)增减减增 yf(x)的单调性可以利用口诀“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增 函数；单调性不同时为减函数 (4)导数法：先求导，

35、再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间) (5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性 (1)(2011课标全国，2)下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的函数是() Ayx3 By|x|1 Cyx21 Dy2|x| (2)(2015河南洛阳二模，6)函数 yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数 g(x)f(logax)(0a1)的单调 减区间是() A. B，1 0， 1 2 a C(，0) D， 1 2，) aa1 (1)【答案】Byx3是奇函数，yx21 和 y2|x|在(0，)上都是减函数，故选 B. (2)【答案】B由图象可知，函数 yf

36、(x)的单调递减区间为(，0)和，单调递增区间 ( 1 2，) 为. 0， 1 2 0ax11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac (2)(2015福建福州一模，6)如果函数 f(x)对任意的实数 x，都有 f(1x)f(x)，且当 x 时，f(x) 1 2 log2(3x1)，那么函数 f(x)在2，0上的最大值与最小值之和为() A2 B3 C4 D1 (3)(2012上海，7)已知函数 f(x)e|xa|(a 为常数)若 f(x)在区间1，)上是增函数，则 a 的取值 范围是_ 【思路导引】(1)利用图象的对称性，把问题转化为同一单调区间内比较大小；(

37、2)由 f(1x)f( x)得函数 f(x)关于 x 对称，进而求得 f(x)在各区间的单调性，可得函数 f(x)的最大值与最小值；(3)思路 1 2 一：先求出 f(x)的单调增区间，再根据已知条件找出已知区间与单调区间的关系，求字母的范围；思路 二：求出 f(x)的导数，利用 f(x)0 在1，)上恒成立，求 a 的范围 【解析】(1)根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，且在(1，)上是减函数因为 a ff，且 2 ac. ( 1 2) ( 5 2 ) 5 2 (2)根据 f(1x)f(x)，可知函数 f(x)的图象关于直线 x 对称又函数 f(x)在上单调递 1 2 1

38、 2， ) 增，故 f(x)在上单调递减，则函数 f(x)在2，0上的最大值与最小值之和为 f(2)f(0)f(1 (， 1 2 2)f(10)f(3)f(1)log28log224. (3)方法一：f(x)e|xa|e xa（x a）， exa（x a），) f(x)在a，)上为增函数， 则1，)a，)，a1. 方法二：f(x)e|xa|e xa（x a）， exa（x f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化 为具体的不等式(组)，此时要注意 g(x)与 h(x)的取值应在外层函数的定义域内 3利用函数的单调性求参数的取值范围 已知函数在区间 A 上是增函数，求相关参数的

39、取值范围，若函数是复合函数的形式，此类问题应理 解为区间 A 是函数增区间的子集，根据复合函数“同增异减” 的单调性结论来解决若函数的导数可求， 则可用函数的导数恒大于或等于 0 来解决如 f(x)在区间 A 上为增函数，求参数 a 的范围，则转化为： f(x)0 在 A 上恒成立且 f(x)0 在 A 的任意子区间不恒成立，若求得 a2，则需检验 a2 时是否符合 题意 (2014课标，15)已知偶函数 f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若 f(x1)0，则 x 的 取值范围是_ 【解析】由题知，f(2)0 且 f(x1)0，故 f(x1)f(2)，而函数 f(x)在0，)上单调递减且

40、为偶 函数，故满足|x1|2，解得1x3. 【答案】(1，3) 1(2015四川泸州三模，3)下列函数中，在(0，)上单调递减的是() Af(x)ln x Bf(x)(x1)2 Cf(x)x3 Df(x) 1 x1 【答案】D对于 A，yln x 在(0，)上是增函数，故 A 不满足； 对于 B，函数在(，1)上是减函数，(1，)上是增函数，故 B 不满足； 对于 C，函数在 R 上是增函数，故 C 不满足； 对于 D，函数在(1，)，(，1)上均为减函数，则在(0，)上是减函数，故 D 满足 2(2014安徽合肥检测，6)函数 y|x|(1x)在区间 A 上是增函数，那么区间 A 是() A

41、(，0) B.0，1 2 C0，) D.(1 2，) 【答案】B(数形结合法)y|x|(1x)x（1x），x 0， x（1x），x0) x 2x，x 0， x2x，x0) (x1 2) 2 1 4，x 0， (x 1 2) 2 1 4，x0. ) 画出函数的图象，如图 由图易知原函数在上单调递增故选 B. 0， 1 2 3(2015山西太原模拟，5)已知 f(x)x2cos x，则 f(0.6)，f(0)，f(0.5)的大小关系是() Af(0)f(0.6)f(0.5) Bf(0)f(0.5)f(0.6) Cf(0.6)f(0.5)f(0) Df(0.5)f(0)0. f(x)在(0，1)上是

42、增函数， f(0)f(0.5)f(0.6)， 即 f(0)f(0.5)f(0.6)，故选 B. 4(2015湖南株洲一模，7)定义新运算： 当 ab 时，aba； 当 ab 时，abb2，则函数 f(x) (1x)x(2x)，x2，2的最大值等于() A1 B1 C6 D12 【答案】C由已知得当2x1 时，f(x)x2； 当 1b.) 3，g(x)log2x，则函数 h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_ 【解析】依题意，h(x)log 2x，0 2. ) 当 02 时，h(x)3x 是减函数，则 h(x)在 x2 时，取得最 大值 h(2)1. 【答案】1 7(2015河南濮阳模拟，

43、16)函数 f(x)的定义域为 A，若 x1，x2A 且 f(x1)f(x2)时总有 x1x2，则称 f(x)为单函数例如，函数 f(x)2x1(xR)是单函数 给出下列命题： 函数 f(x)x2(xR)是单函数； 指数函数 f(x)2x(xR)是单函数； 若 f(x)为单函数，x1，x2A 且 x1x2，则 f(x1)f(x2)； 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中真命题是_(写出所有真命题的序号) 【解析】对于，若 f(x)x2，则 f(x1)f(x2)时 x1x2，或 x1x2，故错误； 对于，f(x)2x是 R 上的增函数，当 f(x1)f(x2)时总有 x1x2，故正确；

44、对于，由单函数的定义，可知其逆否命题：f(x)为单函数，x1，x2A，若 x1x2，则 f(x1)f(x2)为 真命题，故正确； 对于，假若 f(x1)f(x2)时，有 x1x2，这与单调函数矛盾，故正确 【答案】 8(2014河北石家庄质检，19，12 分)已知 f(x)是定义在1，1上的奇函数，且 f(1)1，若 a，b 1，1，ab0 时，有0 成立 f（a）f（b） ab (1)判断 f(x)在1，1上的单调性，并证明； (2)解不等式 ff； (x 1 2)( 1 x1) (3)若 f(x)m22am1 对所有的 a1，1恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)任取 x1，x21，

45、1，且 x1x2， 则x21，1f(x)为奇函数， f(x1)f(x2)f(x1)f(x2) (x1x2) f（x1）f（x2） x1（x2） 由已知得0，x1x20， f（x1）f（x2） x1（x2） f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， f(x)在1，1上单调递增 (2)f(x)在1，1上单调递增， 解得 x1. x 1 2 1 x1， 1 x1 2 1， 1 1 x1 1，) 3 2 (3)f(1)1，f(x)在1，1上单调递增， 在1，1上，f(x)1. 问题转化为 m22am11， 即 m22am0，对 a1，1成立 下面来求 m 的取值范围 设 g(a)2mam20

46、. 若 m0，则 g(a)00，对 a1，1恒成立 若 m0，则 g(a)为 a 的一次函数，若 g(a)0，对 a1，1恒成立，必须 g(1)0，且 g(1)0， m2 或 m2. m 的取值范围是 m0 或 m2 或 m2. 1(2015安徽，2，易)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是() Aycos x Bysin x Cyln x Dyx21 【答案】A由选项可知，A，D 为偶函数，但 D 中函数无零点 2(2015广东，3，易)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是() Ay Byx1x2 1 x Cy2x Dyxex 1 2x 【答案】DA 中函数 y为偶函数；B 中 f(x

47、)x f(x)，故为奇函数；C 中 f(x)1x2 1 x 2x2xf(x)，故为偶函数；D 中 f(x)xex，为非奇非偶函数，故选 D. 1 2x 1 2x 3(2015课标，13，易)若函数 f(x)xln(x)为偶函数，则 a_ax2 【解析】由于 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)，即xln(x)xln(x)， ax2ax2 即 xln(x)xln(x)0， ax2ax2 xln a0. 又x 不恒为 0，ln a0，a1. 【答案】1 1(2014课标，3，易)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下 列结论中正确的是() Af

48、(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 【答案】C若 f(x)为奇函数，则|f(x)|为偶函数；若 g(x)为偶函数，则|g(x)|为偶函数，且两函数相 乘奇偶性“同偶异奇” ，对照选项可知 C 正确 2(2013山东，3，易)已知函数 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)x2 ，则 f(1)() 1 x A2 B0 C1 D2 【答案】A因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(1)f(1)2.故选 A. 3(2012福建，7，中)设函数 D(x)则下列结论错误的是() 1，x为有理数， 0，x为无理数，) A

49、D(x)的值域为0，1 BD(x)是偶函数 CD(x)不是周期函数 DD(x)不是单调函数 【答案】CA 显然正确 D(x)当 xQ 时，xQ，而 D(x)D(x)1；当 x 为无理数时，x 也为无 1，x为有理数， 0，x为无理数，) 理数，此时 D(x)D(x)0，对任意的 xR，D(x)D(x)， B 正确不妨设 aQ 且 a0，当 x 为有理数时，D(xa)D(x)1，当 x 为无理数时，D(xa) D(x)0，D(x)为周期函数，C 不正确x11，D(1)1，x22，D(2)1，D(x1)D(x2)，D(x) 在定义域上不单调，故 D 正确，选 C. 4(2014湖北，10，难)已知

50、函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x) (|xa2|x2a2| 1 2 3a2)若xR，f(x1)f(x)，则实数 a 的取值范围为() A. B. 1 6， 1 6 6 6 ， 6 6 C. D. 1 3， 1 3 3 3 ， 3 3 【答案】B因为当 x0 时，f(x) (|xa2|x2a2|3a2)，所以当 0 xa2时，f(x) (a2x 1 2 1 2 2a2x3a2)x； 当 a2x2a2时，f(x) (xa22a2x3a2)a2； 1 2 当 x2a2时，f(x) (xa2x2a23a2)x3a2. 1 2 综上，函数 f(x) (|xa2|x2a2|3a

51、2)在 x0 时的解析式等价于 f(x) 1 2 x，0 xa2， a2，a2 x 0 时，f(x)x24x，则不等式 f(x)x 的解 集用区间表示为_ 【解析】(1)(定义法)根据奇、偶函数的定义可知，y2x为非奇非偶函数，yx21 为偶函数，y x3与 y2sin x 为奇函数 (2)令 x1 得，f(1)g(1)(1)3(1)211. f(x)，g(x)分别是偶函数和奇函数， f(1)f(1)，g(1)g(1)， 即 f(1)g(1)1. (3)f(x)为偶函数，f(x)f(x)， 则|xa|xa|.xR，a0. (4)f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(0)0. 又当 x0 时，

52、x0， f(x)x24x. 又 f(x)为奇函数，f(x)f(x)， f(x)x24x(x0)， f(x) x24x，x0， 0，x0， x24x，x0.) 当 x0 时，由 f(x)x 得 x24xx，解得 x5； 当 x0 时，f(x)x 无解； 当 x0 时，由 f(x)x 得x24xx，解得5x0. 综上，不等式 f(x)x 的解集用区间表示为(5，0)(5，) 【答案】(1)C(2)C(3)0(4)(5，0)(5，) 1.判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价 性 所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个

53、函数一定不具有奇偶性 (2)图象法 2应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 (2)求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于 f(x) 的方程(组)，从而得到 f(x)的解析式 (3)求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解， 根据 f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式， 由系数的对等性得方程(组)， 进而得出参数的值 (1)(2011湖北，6)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)g(x)axax 2(a0，且 a1)若 g(2)a，则

54、 f(2)() A2 B. C. Da2 15 4 17 4 (2)(2013四川， 14)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数， 当 x0 时， f(x)x24x， 那么， 不等式 f(x2)5 的解集是_ (1)【答案】Bg(x)为偶函数，f(x)为奇函数， g(2)g(2)a，f(2)f(2)， f(2)g(2)a2a22， f(2)g(2)f(2)g(2)a2a22， 联立解得 g(2)2a，f(2)a2a22222.故选 B. 15 4 (2)【解析】当 x0 时，由 f(x)x24x5，解得 0 x5.因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数，所以 f(x)5 的解集为5x5.所以

55、 f(x2)5 的解集即是5x25，即7x3. 【答案】(7，3) 考向 2函数的周期性及其应用 1周期函数的定义 对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)， 那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 2常见的几个结论 周期函数 yf(x)满足： (1)若 f(xa)f(xa)，则函数的周期为 2a； (2)若 f(xa)f(x)，则函数的周期为 2a； (3)若 f(xa)，则函数的周期为 2a； 1 f（x） (4)函数 f(x)关于直线 xa 与 xb 对称，那么函数 f(x)的周期为 2|ba|； (

56、5)若函数 f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则函数 f(x)的周期是 2|ba|； (6)若函数 f(x)关于直线 xa 对称，又关于点(b，0)对称，函数 f(x)的周期是 4|ba|； (7)若函数 f(x)是偶函数，其图象关于直线 xa 对称，则其周期为 2a； (8)若函数 f(x)是奇函数，其图象关于直线 xa 对称，则其周期为 4a. (1)(2012山东，8)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)，当3x1 时，f(x) (x2)2，当1x3 时，f(x)x.则 f(1)f(2)f(3)f(2 012)() A335 B338 C1 678

57、D2 012 (2)(2014安徽，6)设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)sin x当 0 x时，f(x)0，则 f ( 23 6) () A. B. C0 D 1 2 3 2 1 2 【解析】(1)由 f(x6)f(x)可知，函数 f(x)的周期为 6，所以 f(3)f(3)1，f(2)f(4)0， f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有 f(1)f(2)f(6)121 0101，所以 f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338. (2)因为 f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x

58、)，所以 f(x)的周期 T2. 又因为当 0 x时，f(x)0，所以 f0， ( 5 6 ) 即 ffsin0， ( 6 ) ( 6 )( 6 ) 所以 f ， ( 6 ) 1 2 所以 fff . ( 23 6 )(4 6) ( 6 ) 1 2 【答案】(1)B(2)A 【点拨】解题(1)的关键是求出一个周期内的自变量对应的函数的函数值，找出其中的规律；解题 (2)的关键是判断出 f(x)是以 2为周期的周期函数 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期只需证明 f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为 T，函数的周期 性常与函数的其他性质综合命题 (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未 知区间上的问题转化到已知区间的功能 在解决具体问题时， 要注意结论 ： 若 T 是函数的周期， 则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期 (2012江苏，10)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1上，f(x) 其中 a，bR.若 ff，则 a3b 的值为_ ax1，1 x 0， bx2 x1 ，0 x