高三数学总复习学案18

1、学案学案 18同角三角函数的基本关系式及诱导公式同角三角函数的基本关系式及诱导公式 导学目标： 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ， 的正弦、余弦、正切的诱 2 导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tan x. sin x cos x 自主梳理 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：_. (2)商数关系：_. 2诱导公式 (1)sin(2k)_，cos(2k)_，tan(2k)_，k Z. (2)sin()_，cos()_，tan()_. (3)sin()_，cos()_，tan()_. (4)sin()_，cos()_，tan()_. (5)sin_，c

2、os_. ( 2) ( 2) (6)sin_，cos_. ( 2) ( 2) 3诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为： 上述过程体现了化归的思想方法 自我检测 1(2010全国)cos 300等于 () A B 3 2 1 2 C. D. 1 2 3 2 2(2009陕西)若 3sin cos 0，则的值为 () 1 cos2sin 2 A. B. 10 3 5 3 C. D2 2 3 3(2010福建龙岩一中高三第三次月考) 是第一象限角，tan ，则 sin 等于() 3 4 A. B. 4 5 3 5 C D 4 5 3 5 4cos()sin()的值是 ()

3、 17 4 17 4 A. B22 C0D. 2 2 5(2011清远月考)已知 cos( ) ，则 sin()_. 6 2 3 2 3 探究点一利用同角三角函数基本关系式化简、求值 例 1 已知 x0，sin xcos x . 2 1 5 (1)求 sin2xcos2x 的值； (2)求的值 tan x 2sin xcos x 变式迁移 1已知 sin(3)2sin，求下列各式的值 ( 3 2 ) (1)；(2)sin2sin 2. sin 4cos 5sin 2cos 探究点二利用诱导公式化简、求值 例 2 (2011合肥模拟)已知 sin，(0，) ( 2) 5 5 (1)求的值； si

4、n( 2)cos( 3 2 ) sincos3 (2)求 cos的值 (2 3 4) 变式迁移 2设 f() (12sin 0)，则 f_. 2sincoscos 1sin2cos(3 2 )sin2( 2) ( 23 6) 探究点三综合应用 例 3 在ABC 中， 若 sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)， 求ABC232 的三个内角 变式迁移 3(2011安阳模拟)已知ABC 中，sin Acos A ， 1 5 (1)求 sin Acos A； (2)判断ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求 tan A 的值 转化与化归思想的应用 例 (12 分)已知 是三角形的

5、内角，且 sin cos . 1 5 (1)求 tan 的值； (2)把用 tan 表示出来，并求其值 1 cos2sin2 多角度审题 由 sin cos 应联想到隐含条件 sin2cos21，要求 tan ，应当 1 5 切化弦，所以只要求出 sin ，cos 即可 【答题模板】 解(1)联立方程Error! 由得 cos sin ，将其代入，整理得 25sin25sin 120.2 分 1 5 是三角形的内角，Error!，4 分 tan .6 分 4 3 (2)，8 分 1 cos2sin2 sin2cos2 cos2sin2 sin2cos2 cos2 cos2sin2 cos2 t

6、an21 1tan2 tan ，10 分 4 3 1 cos2sin2 tan21 1tan2 .12 分 ( 4 3 ) 21 1(4 3 ) 2 25 7 【突破思维障碍】 由 sin cos 及 sin2cos21 联立方程组，利用角 的范围，应先求 sin 再求 1 5 cos .(1)问切化弦即可求(2)问应弦化切，这时应注意“1”的活用 【易错点剖析】 在求解 sin ，cos 的过程中，若消去 cos 得到关于 sin 的方程，则求得两解，然后 应根据 角的范围舍去一个解，若不注意，则误认为有两解 1由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围 2注意公式的变形使用

7、，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量 少开方运算，慎重确定符号注意“1”的灵活代换 3应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2011荆州模拟)已知ABC 中，则 cos A 等于 () cos A sin A 12 5 A.B. 12 13 5 13 CD 5 13 12 13 2已知 tan ，且 为第二象限角，则 sin 的值等于 () 5 12 A.B 1 5 1 15 C.D 5 13 5 13 3(2011许昌月考)已知 f()，则 f()的值为 () sincos2 costan

8、 31 3 A.BCD. 1 2 1 3 1 2 1 3 4设 f(x)asin(x)bcos(x)，其中 a、b、 都是非零实数，若 f(2 002) 1，则 f(2 003)等于 () A1B0C1D2 5(2010全国)记 cos(80)k，那么 tan 100等于 () A.B 1k2 k 1k2 k C.D k 1k2 k 1k2 题号12345 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6(2010全国)已知 是第二象限的角，tan ，则 cos _. 1 2 7sin21sin22sin23sin289_. 8(2010东北育才学校高三第一次模拟考试)若 tan 2，则c

9、os2 sin cos sin cos _. 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)已知 f(). sincos2tan tansin (1)化简 f()； (2)若 是第三象限角，且 cos() ，求 f()的值 3 2 1 5 10(12 分)化简： (kZ) sinkcosk1 sink1cosk 11(14 分)(2011秦皇岛模拟)已知 sin ，cos 是关于 x 的方程 x2axa0(aR)的 两个根 (1)求 cos3( )sin3( )的值； 2 2 (2)求 tan()的值 1 tan 答案答案 自主梳理 1(1)sin2cos21(2)tan 2.(1)sin cos

10、 tan (2)sin cos sin cos tan (3)sin cos tan (4)sin cos tan (5)cos sin (6)cos sin 自我检测 1Ccos 300cos(36060)cos 60 . 1 2 2A3sin cos 0，sin2cos21， sin2， 1 10 1 cos2sin 2 1 cos22sin 3sin . 1 17sin2 10 3 3B 4 Acos()sin()cos(4 )sin(4 )cos( )sin( )cos 17 4 17 4 4 4 4 4 4 sin . 4 2 52 3 解析sin()sin() 2 3 2 3 si

11、n( ) 6 2 cos( ) . 6 2 3 课堂活动区 例 1 解题导引学会利用方程思想解三角函数题，对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号 的判断 解由 sin xcos x 得， 1 5 12sin xcos x，则 2sin xcos x. 1 25 24 25 x0，sin x0， 2 即 sin xcos x0. 则 sin xcos x sin2x2sin xcos xcos2x .124 25 7 5 (1)sin2xcos2x(sin xcos x)(sin xcos x) . 1

12、5 ( 7 5 ) 7 25 (2)由Error!， 得Error!，则 tan x . 3 4 即. tan x 2sin xcos x 3 4 6 5 4 5 15 8 变式迁移 1解sin(3)2sin， ( 3 2 ) sin 2cos . sin 2cos ，即 tan 2. 方法一(直接代入法)： (1)原式 . 2cos 4cos 5 2cos 2cos 1 6 (2)原式 . sin22sin cos sin2cos2 sin2sin2 sin21 4sin 2 8 5 方法二(同除转化法)： (1)原式 . tan 4 5tan 2 24 5 22 1 6 (2)原式sin2

13、2sin cos . sin22sin cos sin2cos2 tan22tan tan21 8 5 例 2 解题导引三角诱导公式记忆有一定规律：的本质是：奇变偶不变(对 k ( k 2) 而言，指 k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把 看成是锐角)诱导公式的应 用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成 2k，02；(2) 转化为锐角三角函数 解(1)sin，(0，)， ( 2) 5 5 cos ，sin . 5 5 2 5 5 . sin( 2)cos( 3 2 ) sincos3 cos sin sin cos 1 3 (2)cos ，sin ， 5

14、5 2 5 5 sin 2 ，cos 2 ， 4 5 3 5 coscos 2sin 2. (2 3 4) 2 2 2 2 2 10 变式迁移 2 3 解析f()2sin cos cos 1sin2sin cos2 ， 2sin cos cos 2sin2sin cos 12sin sin 12sin 1 tan f ( 23 6) 1 tan(23 6) . 1 tan(4 6) 1 tan 6 3 例 3 解题导引先利用诱导公式化简已知条件， 再利用平方关系求得 cos A 求角时， 一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角诱导公式在三角形中常 用结论有：ABC； . A

15、 2 B 2 C 2 2 解由已知得Error! 22得 2cos2A1，即 cos A. 2 2 (1)当 cos A时，cos B， 2 2 3 2 又 A、B 是三角形的内角， A ，B ，C(AB). 4 6 7 12 (2)当 cos A时，cos B. 2 2 3 2 又 A、B 是三角形的内角， A ，B ，不合题意 3 4 5 6 综上知，A ，B ，C. 4 6 7 12 变式迁移 3解(1)sin Acos A ， 1 5 两边平方得 12sin Acos A， 1 25 sin Acos A. 12 25 (2)由(1)sin Acos A0，且 0A， 12 25 可知

16、 cos A0，cos A0， sin Acos A ， 7 5 由，得 sin A ，cos A ， 4 5 3 5 tan A . sin A cos A 4 3 课后练习区 1DA 为ABC 中的角， cos A sin A 12 5 sin Acos A，A 为钝角，cos A0. 5 12 代入 sin2Acos2A1，求得 cos A. 12 13 2C已知 tan ，且 为第二象限角， 5 12 有 cos ，所以 sin . 1 1tan2 12 13 5 13 3Cf()cos ，f() sin cos cos tan 31 3 cos()cos(10 )cos . 31 3

17、 3 3 1 2 4Cf(2 002)asin(2 002)bcos(2 002) asin bcos 1， f(2 003)asin(2 003)bcos(2 003) asin2 002()bcos2 002() asin()bcos()(asin bcos )1. 5Bcos(80)cos 80k， sin 80.1cos2801k2 tan 100tan 80. 1k2 k 6 2 5 5 解析tan ， ， 1 2 sin cos 1 2 又sin2cos21， 是第二象限的角， cos . 2 5 5 7.89 2 解析sin21sin22sin23sin289 sin21sin2

18、2sin245sin2(902) sin2(901) sin21sin22 2cos22cos21 ( 2 2 ) (sin21cos21)(sin22cos22)(sin244cos244) 44 . 1 2 1 2 89 2 8.16 5 解析原式 tan 1 tan 1 cos2 sin2cos2 33 . 1 tan21 1 5 16 5 9解(1)f()sincos2tan tansin cos .(5 分) sin cos tan tan sin (2) 是第三象限角，且 cos()sin ， 3 2 1 5 sin ，(8 分) 1 5 cos ，1sin211 5 2 2 6 5 f()cos .(12 分) 2 6 5 10解当 k 为偶数 2n (nZ)时， 原式sin2ncos2n1 sin2n1cos2n sincos sincos 1；(6 分) sin cos sin cos cos cos 当 k 为奇数 2n1 (nZ)时， 原式 sin2n1cos2n sin2n2cos2n1 1. sincos sin2cos sin cos sin cos