高三数学（理数）总复习练习专题四 函数的图象、函数的应用

1、1(2015课标，10，中)如图，长方形 ABCD 的边 AB2，BC1，O 是 AB 的中点点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记BOPx.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 yf(x)的图 象大致为() 【答案】B当 0 x时，f(x)tan x； 当x时，f(x) 4 4tan2x 4 3 4 1(1 1 tan x) 2 ；当x时，f(x)tan x，由此可知当 x和 x时函数有1(1 1 tan x) 2 3 4 4tan2x 4 3 4 最大值，排除 C，D；由函数解析式知，函数的图象每段应是曲线，故应选 B. 2(2015北京，7，中)如

2、图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)log2(x1)的解集是() Ax|1x0 Bx|1x1 Cx|1x1 Dx|1x2 【答案】C如图，线段 BC 的解析式为 xy2， 当 x1 时，f(x)log2(x1) f(x)log2(x1)的解集是x|1x1 3(2015北京，8，中)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程下图描述了甲、 乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是() A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10

3、升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D由题图可知，消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶的里程大于 5 千米，故 A 错误 ； 消耗 1 升汽油甲走最远，则反过来路程相同，甲最省油，故 B 错误；甲车此时行驶了 80 千米，消耗 8 升汽油， 故 C 错误；80 千米/小时以下丙“燃油效率”更高，更省油 4(2015安徽，9，难)函数 f(x)的图象如图所示，则下列结论成立的是() axb （xc）2 Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0 【答案】C由图可知， 当 x0 时，y0，b0； b c2

4、 当 y0 时，即 axb0. 又根据选项知 a0， x 0，a0； b a 根据函数定义域可得 c0.综上选 C. 1 (2011陕西， 3， 易)设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)， f(x2)f(x)， 则 yf(x)的图象可能是() 【答案】B(排除法)由 f(x)f(x)知，f(x)为偶函数，排除 A，C； 由 f(x2)f(x)知，f(x)的周期 为 2，排除 D.故选 B. 2(2012课标全国，10，中)已知函数 f(x)，则 yf(x)的图象大致为() 1 ln（x1）x 【答案】B令 g(x)ln(x1)x，则 g(x)1，当1x0； 1 x1 x x1 当 x

5、0 时，g(x)0，g(x)maxg(0)0. f(x)0，排除 A，C.又由 f(x)的定义域为x|x0，可排除 D，故选 B. 3(2013安徽，8，中)函数 yf(x)的图象如图所示，在区间a，b上可找到 n(n2)个不同的数 x1， x2，xn，使得，则 n 的取值范围是() f（x1） x1 f（x2） x2 f（xn） xn A3，4 B2，3，4 C3，4，5 D2，3 【答案】B， 即 yf(x)的图象与 ykx 的交点的坐标满足上述等 f（x1） x1 f（x2） x2 f（xn） xn 式又交点至少要有两个，至多有四个，故 n 可取 2，3，4. 4(2013江西，10，难

6、)如图，半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1，l2之间，l l1，l 与半圆相交于 F，G 两点，与三角形 ABC 两边相交于 E，D 两点设弧的长为 x(0x)，yEBFG BCCD，若 l 从 l1平行移动到 l2，则函数 yf(x)的图象大致是() 【答案】D当 x 逐渐增大时，y 也逐渐增大，故 y 随 x 的增大而增大，故排除 B.下面定量分析： 当 x时，弧长所对的圆心角为FOG.可求得 l 向上移动的距离为 11cos1，故此时 2 2 4 2 2 BE.又易知 BC，故 yBEBCCD2BEBC2 1 2 2 sin 60 2 3 6 3 1 sin

7、 60 2 3 3 2 3 6 3 . 2 3 3 6 32 6 3 因为， 6 32 6 3 2 3 3 2 3 2 4 3 3 所以函数 f(x)的图象是下凹型故选 D. 5(2014湖南，10，难)已知函数 f(x)x2ex (x0)与 g(x)x2ln(xa)的图象上存在关于 y 轴对 1 2 称的点，则 a 的取值范围是() A. B. (， 1 e) (， e) C. D. ( 1 e ， e )( e， 1 e) 【答案】B由题意知，设 x0(，0)， 使得 f(x0)g(x0)， 即 x ex0 (x0)2ln(x0a)， 2 0 1 2 ex0ln(x0a) 0. 1 2 令

8、 y1ex ，y2ln(xa)，要使得函数图象的交点 A 在 y 轴左侧，如图，则 ln a ln e ，ae 1 2 1 2 1 2 . 1 2 方法点拨 ： 首先由存在关于 y 轴对称的点，建立 f(x)与 g(x)之间的联系，然后将函数的零点转化为两 个函数图象的交点 6(2012山东，12，难)设函数 f(x) ，g(x)ax2bx(a，bR，a0)若 yf(x)的图象与 yg(x) 1 x 的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是() A当 a0 时，x1x20 B当 a0，y1y20 时，x1x20，y1y20 时，x1x20，y1y2

9、0 【答案】B方法一：由题意知满足条件的两函数图象只有图(1)与图(2)两种情况， 图(1)中，作 B 关于原点的对称点 B，据图可知：当 a0，y1y20 时，x1x20，C，D 均错 方法二： ax2bxaxb， 1 x 1 x2 分别作出 y和 yaxb 的图象，如下： 1 x2 不妨设 x10， 当 a0 时，x1x20. 1 x1 1 x2 x1x2 x1x2 当 a0，y1y20)的图象，可由 yf(x)的图象沿 x 轴方向向左(a)或向右(a)平移 a 个单位得到； yf(x)b(b0)的图象，可由 yf(x)的图象沿 y 轴方向向上(b)或向下(b)平移 b 个单位得到 (2)

10、对称变换 yf(x)与 yf(x)的图象关于 y 轴对称； yf(x)与 yf(x)的图象关于 x 轴对称； yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称 (3)伸缩变换 ykf(x)(k0)的图象，可由 yf(x)的图象上每一个点的纵坐标伸长(k1)或缩短(0k0)的图象， 可由 yf(x)的图象上每一个点的横坐标伸长(0k1)为原来的 而 1 k 得到 (4)翻折变换 要得到 y|f(x)|的图象，可先画出 yf(x)的图象，然后“上不动，下翻上”即可得到； 由于 yf(|x|)是偶函数，要得到 yf(|x|)的图象，可先画出 yf(x)的图象，然后“右不动，左去掉， 右翻左”即可得到 进行

11、图象变换时， 要合理选择变换的顺序， 并进行适当的转化变形 例如， 要得到 y2|x1|的图象， 由于 y2|x1|，可将 y的图象先通过对称翻折得到 y的图象，再通过 ( 1 2 ) |x1| ( 1 2 ) x ( 1 2 ) |x| 平移得到 y的图象 ( 1 2 ) |x1| 2利用函数的性质确定函数图象的一般步骤 (1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)和图象上的特殊点线(如渐近线、对称轴等)； (4)利用基本函数的图象确定所给函数的图象 (1)(2013四川，7)函数 y的图象大致是() x3 3x1 (2)(2014课标

12、，6)如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 yf(x)在0，上的图象大致为() 【解析】(1)(排除法)由已知得，3x10 x0，排除 A； 又x0 时，3x10，x30，故排除 B； x3 3x1 又 y，当 3xln 30，y0，排除 A，故选 D. 考向 2函数图象的应用 利用函数图象研究的几个方面 (1)利用函数的图象研究函数的性质：从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图 象的对称性，分析函数的奇

13、偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性 (2)利用函数的图象研究不可解方程的根的个数、求不等式的解集以及求参数的取值范围等 (1)(2011课标全国，12)已知函数 yf(x)的周期为 2，当 x1，1时，f(x)x2，那么 函数 yf(x)的图象与函数 y|lg x|的图象的交点共有() A10 个 B9 个 C8 个 D1 个 (2)(2014山东，8)已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是() A. B. (0， 1 2)( 1 2，1) C(1，2) D(2，) 【解析】(1)在同一平面直角坐标系中分别

14、作出 yf(x)和 y|lg x|的图象，如图又 lg 101，由 图象知选 A. (2)f(x)如图，作出 yf(x)的图象，其中 A(2，1)，则 kOA . x 1，x2， 3x，x 2. ) 1 2 要使方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则函数 f(x)与 g(x)的图象有两个不同的交点，由图可知，1 2 k 1， x1，1 x 1 时与直线 yx1 平行，此时有一个公共点，k(0，1)(1，4) 时，两函数图象恰有两个交点 【答案】(0，1)(1，4) 1(2015湖南株洲一模，6)函数 yxsin x 在，上的图象是() 【答案】A函数 yxsin x 是偶函数，所以其图象

15、关于 y 轴对称，排除 D；由 x时，y0， 排除 C；由 x时，y，排除 B，故选 A. 2 2 2 (2015福建三明调研， 3)函数 yax2bx 与函数 yxab(a0)在同一坐标系中的图象可能为() 【答案】Cyax2bxa.对 A，由二次函数图象可知，a0，0，所以 b0， (x b 2a) 2 b2 4a b 2a 函数 yxab 不符合要求，同理 B 不符合要求；对于 C，D，由二次函数图象可知，a0，所 b 2a 以 b0，比较选项 C，D 可知 C 符合要求 3(2015山西晋城二模，5)设奇函数 f(x)在(0，)上为增函数，且 f(1)0，则不等式 0 的解集为() f

16、（x）f（x） x A(1，0)(1，) B(，1)(0，1) C(，1)(1，) D(1，0)(0，1) 【答案】Df(x)为奇函数，所以不等式0 化为0，即 xf(x)0，f(x)的大 f（x）f（x） x f（x） x 致图象如图所示 所以 xf(x)0 的解集为(1，0)(0，1) 4(2015江西南昌二模，5)现有四个函数：yxsin x，yxcos x，yx|cos x|，yx2x的图 象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是() A B C D 【答案】D由于函数 yxsin x 是偶函数，由图象知，函数对应第一个图象；函数 yxcos x

17、 为 奇函数，且当 x时，y 1.) 2)(x1)，xR.若函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是() A(1，1(2，) B(2，1(1，2 C(，2)(1，2 D2，1 【答案】B令(x22)(x1)1，得1x2， f(x)若函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，画出函数 f(x)的 x22，1 x 2， x1，x 2.) 图象知，实数 c 的取值范围是(2，1(1，2 7(2015河南洛阳模拟，9)已知函数 f(x)若 a，b，c 互不相等，且 f(a) sin x，0 x 1， log2 015x，x 1.) f(b)f(c)，则 a

18、bc 的取值范围是() A(1，2 015) B(1，2 016) C2，2 016 D(2，2 016) 【答案】D作出函数的图象， 直线 ym 交函数图象如图， 不妨设 abc， 由正弦曲线的对称性， 可得 A(a，m)与 B(b，m)关于直线 x 对称，因此 ab1，当直线 ym1 时，由 log2 015x1，解得 x 1 2 2 015.若满足 f(a)f(b)f(c)，且 a，b，c 互不相等，由 abc 可得 1c2 015，因此可得 2abca.) 点，则 a 的取值范围是_ 【解析】令 g(x)f(x)b0， f(x)b. 在同一坐标系下，作出 yf(x)，yb 的图象 当

19、a1 时，如图(1) 由图象可知，存在实数 b，使 g(x)f(x)b 有两个零点 当 a0 时，如图(2) 由图象可知，存在实数 b，使 g(x)f(x)b 有两个零点 当 0a1 时，如图(3) 由图象可知，g(x)f(x)b 最多有一个零点 综上可得 a 的取值范围为(，0)(1，) 【答案】(，0)(1，) 4(2015江苏，13，难)已知函数 f(x)|ln x|，g(x)则方程|f(x)g(x)|1 实 0， 0 1，) 根的个数为_ 【解析】|f(x)g(x)|1， g(x)f(x)1 或 g(x)f(x)1， 当 g(x)f(x)1 时， 由图可知，此时 yg(x)与 yf(x

20、)1 的图象有两个交点， 即 g(x)f(x)1 有 2 个实根 当 g(x)f(x)1 时， 由图可知，此时 yg(x)与 yf(x)1 的图象有两个交点 即 g(x)f(x)1 有 2 个实数 综合，可知方程有 4 个实根 【答案】4 5(2015北京，14，难)设函数 f(x)2 xa， x 1， 4（xa）（x2a），x 1.) (1)若 a1，则 f(x)的最小值为_； (2)若 f(x)恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是_ 【解析】(1)若 a1， 则 f(x)2 x1，x 1， 4（x1）（x2），x 1，) 当 x1 时，f(x)2x1， f(x)无最小值； 当 x1

21、时，f(x)4(x1)(x2)41， (x 3 2) 2 当 x 时，f(x)取得最小值， 3 2 即 f(x)minf1. ( 3 2 ) f(x)的最小值为1. (2)若 f(x)在 x1 时恰有 1 个零点，则0a2. a 0， 2a0.) f(x)在 x1 时恰有 1 个零点， 2a1 且 a1，即 a1. 1 2 综上所述， a1. 1 2 若 f(x)在 x0，sin x0， 1 2x x f(x)0，故 f(x)在0，1上单调递增，且 f(0)10，f(1)1cos 10，所以 f(x)在0，1内有 唯一零点当 x1 时，f(x)cos x0，故函数 f(x)在0，)上有且仅有一

22、个零点，故选 B.x 3(2012辽宁，11，中)设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当 x0，1时，f(x) x3.又函数 g(x)|xcos(x)|，则函数 h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为() 1 2， 3 2 A5 B6 C7 D8 【答案】Bf(x)f(x)，f(x)f(2x)， f(x)f(2x)，f(x)的周期为 2.如图画出 f(x)与 g(x)的图象，它们共有 6 个交点，故 h(x)在 上的零点个数为 6.故选 B. 1 2， 3 2 4(2011山东，10，中)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2

23、时，f(x)x3x， 则函数 yf(x)的图象在区间0，6上与 x 轴的交点的个数为() A6 B7 C8 D9 【答案】B当 0 x2 时，令 f(x)x3x0，得 x0 或 x1 或 x1(舍去)又 f(x)的最小正 周期为 2，f(0)f(2)f(4)f(6)0，f(1)f(3)f(5)0，yf(x)的图象在区间0，6上与 x 轴的交点 个数为 7，故选 B. 5(2014天津，14，难)已知函数 f(x)|x23x|，xR.若方程 f(x)a|x1|0 恰有 4 个互异的实数 根，则实数 a 的取值范围为_ 【解析】在同一坐标系中，分别作出 y1|x23x|，y2a|x1|的图象，将方

24、程根的个数问题转化 为两图象交点的个数问题求解 设 y1f(x)|x23x|，y2a|x1|， 在同一直角坐标系中作出 y1|x23x|，y2a|x1|的图象如图所示 由图可知 f(x)a|x1|0 有 4 个互异的实数根等价于 y1|x23x|与 y2a|x1|的图象有 4 个不同 的交点，且 4 个交点的横坐标都小于 1， 所以有两组不同解 yx23x， ya（1x）) 消去 y 得 x2(3a)xa0 有两个不等实根， 所以 (3a)24a0， 即 a210a90， 解得 a9. 又由图象得 a0，0a9. 【答案】(0，1)(9，) 6(2011山东，16，难)已知函数 f(x)log

25、axxb(a0，且 a1)当 2a3b4 时，函数 f(x) 的零点 x0(n，n1)，nN*，则 n_. 【解析】方法一 ： 2a3，f(x)logaxxb 为定义域上的增函数，f(2)loga22b，f(3) loga33b. 2a，lg 2lg a，loga21. lg 2 lg a 又b3， b3，2b1，loga22b0， 即 f(2)0.a3，lg alg 3， 1loga3. lg 3 lg a 又3b4，13b0，loga33b0，f(3)0，即 f(2)f(3)0. 由 x0(n，n1)，nN*，可知 n2. 方法二：(数形结合法)由 f(x)0，得 logaxxb0，log

26、axxb. 令 g(x)logax，(x)xb. 在同一坐标系下画出 g(x)，(x)的图象，由图象可以看出两图象交点的横坐标 x0(2，3)，n2. 【答案】2 考向 1函数零点的判断与求解 1函数零点的等价关系 2零点存在性定理 条件yf（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线端点值满足f（a）f（b） 0结论 存在x0 （a，b），使得f（x0）0 零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点，并不能判断零点的个数，但如果函数在区 间上是单调函数，则该函数在区间上至多有一个零点 (1)(2013重庆，6)若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa

27、)的两 个零点分别位于区间() A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内 C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内 (2)(2013天津，7)函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为() A1 B2 C3 D4 【解析】(1)易知 f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)又 ab0，f(b)0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别在(a，b)和(b，c) 内 (2)方法一：f(x)2x|log0.5x|1 2 xlog0.5x1，0 1 ) 2 xlog2x1，0 1. ) f(x)2xlog2x1 在(0，1

28、上递减且 x 接近于 0 时，f(x)接近于正无穷大，f(1)10， f(x)在(1，)上有 1 个零点， 故 f(x)共有 2 个零点 方法二：易知函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数方程|log0.5x|的根的个数函数 y1 1 2x ( 1 2 ) x |log0.5x|与 y2的图象的交点个数作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有 2 个 ( 1 2 ) x 交点 【答案】(1)A(2)B 【点拨】解题(1)的依据是零点存在性定理；解题(2)方法一的依据是零点存在性定理，方法二的关 键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，数形结合求解 1.判断函数

29、在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上； (2)利用零点存在性定理进行判断； (3)画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断 2判断函数零点个数的方法 (1)直接法：解方程 f(x)0，方程有几个解，函数 f(x)就有几个零点； (2)图象法：画出函数 f(x)的图象，函数 f(x)的图象与 x 轴的交点个数即为函数 f(x)的零点个数； (3)将函数 f(x)拆成两个常见函数 h(x)和 g(x)的差， 从而 f(x)0h(x)g(x)0h(x)g(x)， 则函数 f(x) 的零点个数即为函数

30、 yh(x)与函数 yg(x)的图象的交点个数； (4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式 来判断 (1)(2015山东威海一模，4)函数 f(x)x3的零点所在的区间为() ( 1 2) x2 A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4) (2)(2015安徽黄山质检，8)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x0，1时，f(x) x，则方程 f(x)log3|x|的解的个数是() A0 B2 C4 D6 (1)【答案】Bf(1)10， f(1)f(2)0)零点的分布 根的分布(mnp 为常数) 图象满足条件 x1x2 0， b 2a 0)

31、mx1 0， b 2a m， f（m） 0) x1mx2f(m)0 mx1x2 0， m b 2a 0， f（n） 0 ) mx1nx2 0， f（n） 0 ) 只有一根在(m， n) 之间 0， m b 2a n) 或 f(m)f(n)0 在解决有关问题时，一定要充分利用这三者的关系，观察、分析函数的图象，找函数的零点，判断 各区间上函数值的符号，使问题得以解决 (2014江苏，13)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3)时，f(x) .若函数 yf(x)a 在区间3， 4上有 10 个零点(互不相同)， 则实数 a 的取值范围是 |x 22x1 2| _ 【解析

32、】当 x0，3)时，f(x)，由 f(x)是周期为 3 的函数，作出 f(x) |x 22x1 2| |（x1） 21 2| 在3，4上的图象，如图 由题意知方程 af(x)在3，4上有 10 个不同的根 由图可知 a. (0， 1 2) 【答案】(0，1 2) 【点拨】解题的关键是转化为两个函数图象的交点个数问题，数形结合求解 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，

33、然后数形结合求 解 (2014广东中山模拟，10)定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对xR，有 f(x2)f(x)f(1)， 且当 x2，3时，f(x)2x212x18.若函数 yf(x)loga(x1)在(0，)上至少有三个零点，则 a 的取值范围是() A. B. (0， 3 3)(0， 2 2) C. D. (0， 5 5)(0， 6 6) 【答案】A在方程 f(x2)f(x)f(1)中，令 x1 得 f(1)f(1)f(1)，再根据函数 f(x)是偶函 数可得 f(1)0，由此得 f(x2)f(x)f(x)，所以函数 f(x)是周期为 2 的周期函数，且其图象关于直线 x 1 对称又

34、当 x0，1时，x22，3，所以当 x0，1时，f(x)f(x2)2(x2)212(x2) 182x24x22(x1)2，根据对称性可知函数 f(x)在1，2上的解析式也是 f(x)2(x1)2，故 函数 f(x)在0，2上的解析式是 f(x)2(x1)2，根据其周期性画出函数 f(x)在0，)上的部分图象(如 图) 结合函数图象， 只要实数 a 满足 0a1 且2loga(21)0 即可满足题意， 故 0a1 且 log3a log3，即 0a. 1 2 3 3 3 3 1(2014山东莱芜一模，5)已知函数 f(x)则函数 f(x)的零点为() 2x1，x 1， 1log2x，x1，) A

35、. ，0 B2，0 C. D0 1 2 1 2 【答案】D当 x1 时，由 f(x)2x10，解得 x0； 当 x1 时，由 f(x)1log2x0，解得 x .又因为 x1，所以此时方程无解综上，函数 f(x)的零点只有 0. 1 2 2(2015安徽芜湖模拟，6)函数 f(x) ln的零点所在的大致区间是() 2 x 1 x1 A(1，2) B(2，3) C(3，4) D(1，2)与(2，3) 【答案】Bf(x) ln ln(x1)，当 1x2 时，ln(x1)0，所以 f(x)0，故函数 2 x 1 x1 2 x 2 x f(x)在(1，2)上没有零点f(2)1ln 11，f(3) ln

36、 2.22.828e， 2 3 23ln 2 3 2ln 8 3 82 8e2，即 ln 82，即 f(3)0.又 f(4) ln 30，f(x)在(2，3)内存在一个零点 1 2 3(2015山东临沂一模，6)若函数 f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1，0)和 区间(1，2)内，则 m 的取值范围是() A. B. ( 1 2， 1 4)( 1 4， 1 2) C. D. ( 1 4， 1 2) 1 4， 1 2 【答案】C依题意，结合函数 f(x)的图象分析可知 m 需满足 m 2， f（1）f（0） 0， f（1）f（2） 0， ) 即 m 2， m2m（2m1）

37、（2m1） 0， m2m（2m1）4（m2） 2m（2m1） 0， ) 解得 m 0，) 个数的判断正确的是() A当 k0 时，有 3 个零点；当 k0 时，有 4 个零点；当 k0 时，令 f(f(x)1，结合图(1)分析，则 f(x)t1或 f(x)t2(0， (， 1 k) 1)对于 f(x)t1，存在两个零点 x1，x2；对于 f(x)t2，存在两个零点 x3，x4.此时存在 4 个零点；当 k1，blog321，令 f(x)0，得 axxb.在同一平面直角坐标系中画出函数 y ax和 yxb 的图象，如图所示， 由图可知， 两函数的图象在区间(1， 0)内有交点， 所以函数 f(x

38、)在区间(1， 0)内有零点， 所以 n 1. 【答案】1 7(2015河北唐山模拟，15)已知 f(x)且函数 yf(x)ax 恰有 3 个不同的 1 2x 22x，x 0， f（x1），x 0，) 零点，则实数 a 的取值范围是_ 【解析】当 x0 时，f(x)(x1)2 ，把函数 f(x)在1，0)上的图象向右平移一个单位，即得函 1 2 数 yf(x)在0，1)上的图象，继续右移可得函数 f(x)在0，)上的图象如果函数 yf(x)ax 恰有 3 个不同的零点，即函数 yf(x)，yax 的图象有三个不同的公共点，实数 a 应满足a . 1 2 1 2 【答案】(1 2，) 8(201

39、4江西南昌质检，13)已知函数 f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1 的零点分别为 x1，x x2，x3，则 x1，x2，x3的大小关系是_ 【解析】令 x2x0，得 2xx； 令 xln x0，得 ln xx； 在同一坐标系内画出 y2x，yln x，yx 的图象如图可知 x10 x21. 令 h(x)x10， x 则()210， xx 所以，即 x31. x 1 5 2 3 5 2 所以 x1x2x3. 【答案】x1x2x3 思路点拨：解题关键是构造函数画出 y2x，yln x，yx 的图象，观察图象，可得 x1，x2的大 小关系 (2015江苏，17，14 分，中)某山区外围

40、有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通 现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界 曲线为 C，计划修建的公路为 l.如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1，l2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1，l2的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 l2，l1所在的直线分别为 x，y 轴， 建立平面直角坐标系 xOy.假设曲线 C 符合函数 y(其中 a，b 为常数)模型 a x2b (1)求 a，b 的值； (2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t. 请写出公路 l

41、 长度的函数解析式 f(t)，并写出其定义域； 当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度 解：(1)由题意知，点 M，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5) 将其分别代入 y， a x2b 得解得 a 25b 40， a 400b 2.5，) a 1 000， b0. ) (2)由(1)知，y(5x20)，则点 P 的坐标为， 1 000 x2 (t， 1 000 t2 ) 设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A，B 点，y， 2 000 x3 则 l 的方程为 y(xt)，由此得 A，B. 1 000 t2 2 000 t3 ( 3t 2 ，0) (0， 3

42、000 t2 ) 故 f(t) ( 3t 2 ) 2 (3 000 t2 ) 2 ，t5，20 3 2 t2 4 106 t4 设 g(t)t2，则 g(t)2t.令 g(t)0，解得 t10. 4 106 t4 16 106 t5 2 当 t(5，10)时，g(t)0，g(t)是减函数； 2 当 t(10，20)时，g(t)0，g(t)是增函数 2 从而，当 t10时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，所以 g(t)min300， 2 此时 f(t)min15. 3 1(2014湖南，8，易)某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平

43、均增长率为() A. B. pq 2 （p1）（q1）1 2 C. D.1pq（p1）（q1） 【答案】D设这两年的平均增长率为 m， 则有(1p)(1q)(1m)2， m1.（1p）（1q） 2(2011北京，6，易)根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为 f(x) (A，c 为常数)已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15 分钟，那 c x，x A， c A，x A) 么 c 和 A 的值分别是() A75，25 B75，16 C60，25 D60，16 【答案】D由条件可知，xA 时所用时间为常数，所以组装第 4 件产品用时必然满

44、足第一个分 段函数，即 30，解得 c60.组装第 A 件产品用时 15 分钟，则15，A16，故选 D. c 2 60 A 3(2011江苏，17，14 分，中)请你设计一个包装盒如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形 硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重 合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F 在 AB 上，是被切去一个等腰直角三角形 斜边的两个端点设 AEFBx(cm) (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大， 试问

45、x 应取何值？并求出此包装盒的高与底面边长的比值 解：设包装盒的高为 h cm，底面边长为 a cm. 由已知得 ax， 2 h(30 x)，0x30. 602x 2 2 (1)S4ah8x(30 x)8(x15)21 800， 所以当 x15 时，S 取得最大值 (2)Va2h2(x330 x2)(0x0；当 x(20，30)时，V0)，雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(cR)E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|vc|S 成正比，比例系数为；其他面的淋 1 10 雨量之和，其值为 .记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量当移动距

46、离 d100，面积 S 时， 1 2 3 2 (1)写出 y 的表达式； (2)设 0v10，0c5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度 v，使总淋雨量 y 最少 解：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为|vc| ， 3 20 1 2 故 y100 v ( 3 20 |v c|1 2) (3|vc|10) 5 v (2)由(1)知，当 0vc 时，y (3c3v10)15； 5 v 5（3c10） v 当 cv10 时，y (3v3c10) 5 v 15. 5（103c） v 故 y 5（3c10） v 15，0 v c， 5（103c） v 15，cv10.) 当 0c时，y

47、 是关于 v 的减函数， 10 3 故当 v10 时，ymin20. 3c 2 当c5 时，在(0，c上，y 是关于 v 的减函数 ； 在(c，10上，y 是关于 v 的增函数故当 vc 10 3 时，ymin. 50 c 考向 1分段函数模型的应用 分段函数模型 y图象特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同可以先将其当作几个问 f1（x），xD1， f2（x），xD2， fn（x），xDn，) 题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特别是端点 (2015河南郑州质检，18，12 分)某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门 的支持下，进行技术攻关

48、，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算， 该 项 目 月 处 理 成 本 y( 元 ) 与 月 处 理 量 x( 吨 ) 之 间 的 函 数 关 系 可 近 似 地 表 示 为 y 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元， 1 3x 380 x25 040 x，x 120，144）， 1 2x 2200 x80 000，x 144，500），) 若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿 (1)当 x200，300时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【解

49、析】(1)当 x200，300时，设该项目获利为 S，则 S200 x(1 2x 2200 x80 000) x2400 x80 000 (x400)2， 1 2 1 2 当 x200，300时，S0， 因此该项目不会获利 当 x300 时，S 取得最大值5 000； 当 x200 时，S 取得最小值20 000. 国家每月补偿数额的范围是5 000，20 000 (2)由题意可知，二氧化碳的每吨处理成本为 y x 1 3x 280 x5 040，x 120，144）， 1 2x 80 000 x 200，x144，500），) 当 x120，144)时， x280 x5 040 (x120)

50、2240，当 x120 时， 取得最小值 240； y x 1 3 1 3 y x 当 x144，500)时， x200 y x 1 2 80 000 x 2200200，当且仅当x， 1 2x 80 000 x 1 2 80 000 x 即 x400 时， 取得最小值 200. y x 200240，当每月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 【点拨】解题(1)的关键是准确建立获利与月处理量之间的函数关系式 ； 解题(2)时需注意不同 “段” 上求最值的方法 有关二次函数、分段函数模型求最值的注意点 (1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范

51、围，需根据函数 图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解 (2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小 (3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最 值 (2011湖北，17，12 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一 般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密 度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时研究表明：当 20 x200 时，车流

52、速度 v 是车流密度 x 的一次函数 (1)当 0 x200 时，求函数 v(x)的表达式； (2)当车流密度 x 为多大时， 车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数， 单位 ： 辆/小时)f(x)xv(x) 可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时) 解：(1)由题意，当 0 x20 时，v(x)60； 当 20x200 时，设 v(x)axb， 再由已知得解得 200a b0， 20ab60，) a1 3， b 200 3 .) 故函数 v(x)的表达式为 v(x) 60， 0 x 20， 1 3 （200 x）， 20 x 200.) (2)依题意及(1)可得 f(x) 60

53、 x， 0 x 20， 1 3x （200 x）， 20 x 200.) 当 0 x20 时，f(x)为增函数，故当 x20 时，f(x)取得最大值，其最大值为 60201 200； 当 201)ylogax(a1)yxn(n0) 在(0，)上的 单调性 单调增函数单调增函数单调增函数 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化随 x 的增大逐渐随 x 的增大逐渐随 n 值变化而各 表现为与 y 轴平行表现为与 x 轴平行有不同 联系存在一个 x0，当 xx0时，有 logaxxnax 2解决应用问题的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型； (2)建模：

54、将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实 际问题化为数学问题； (3)求解：求解数学问题，得出数学结论； (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的答案 解函数应用题常见的错误：不会将实际问题抽象转化为函数模型，或转化不全面；在求解过程 中忽略实际问题对变量参数的限制条件 (2015山东省实验中学月考， 18， 12 分)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙， 研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为：vablog3 (其中 a，b 是实数)据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为

55、30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位 Q 10 时，其飞行速度为 1 m/s. (1)求出 a，b 的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 【解析】(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，故有 ablog30， 30 10 即 ab0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s，故 ablog31，整理得 a2b1. 90 10 解方程组得 a b0， a2b1，) a1， b1. ) (2)由(1)知， vablog31log3.所以要使飞行速度不低于 2 m/s， 则有 v2，

56、即1log3 Q 10 Q 10 Q 10 2，即 log33，解得 Q270. Q 10 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位 【点拨】解题的关键是分析函数模型，利用待定系数法确定 a，b，进而解对数不等式 三种函数模型的应用技巧 (1)与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模 型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、银行利 率有关的问题都属于指数函数模型 (2)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，

57、再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数 (2015江苏徐州模拟，17，14 分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资 债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正 比已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元 (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系； (2)若该家庭有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最 大收益是多少万元？ 解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为 f(x)k1x，g(x)k2. x 由已知得 f(1) k1，g(1) k2， 1

58、 8 1 2 所以 f(x) x(x0)， 1 8 g(x)(x0) 1 2 x (2)设投资债券产品为 x 万元，则投资股票类产品为(20 x)万元 依题意得 yf(x)g(20 x) (0 x20) x 8 1 2 20 x 令 t(0t2)， 20 x5 则 y t (t2)23， 20t2 8 1 2 1 8 所以当 t2，即 x16 时，收益最大，ymax3 万元 1(2015山东日照模拟，4)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定 菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0，各 种方案的运输总量 Q 与时间

59、t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐 步提高的是() 【答案】B由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故 函数的图象应一直是下凹的，故选 B. 2(2015广东广州模拟，4)在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表： x0.500.992.013.98 y0.990.010.982.00 则对 x，y 最适合的拟合函数是() Ay2x Byx21 Cy2x2 Dylog2x 【答案】D根据 x0.50，y0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x2.01，y0.98，代入计 算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 ylog2x，可知满足题意