工程信号与系统（第2版）课件 第七章 z变换分析

第七章离散系统z变换分析7.1z变换基本理论Z7.1z变换定义及收敛域Z7.2常用序列的z变换Z7.3z变换的性质-线性、移序、反折Z7.4z变换的性质-z域尺度特性、微分Z7.5z变换的性质-时域卷积Z7.6z变换的性质-部分和Z7.7z变换的性质-初值和终值定理Z7.8逆z变换方法：幂级数和部分分式展开Z7.9

z变换的计算机仿真求解Z7.10z变换与拉普拉斯变换的关系7.2离散时间系统的z变换分析法Z7.11差分方程的变换解Z7.12系统函数H(z)

Z7.13系统函数与系统特性Z7.14离散系统稳定性判据7.3信号流图与系统模拟Z7.15离散系统的方框图Z7.16离散系统的信号流图和梅森公式Z7.17离散系统的模拟7.4频率响应特性Z7.18系统对正弦序列的响应Z7.19LTI离散系统的频率响应Z7.20计算机仿真绘制零极点图

Z7.21应用案例：处理连续时间信号的离散时间系统*7.5数字滤波器设计及分析Z7.22系统函数零极点的配置实现滤波系统Z7.23数字滤波器的分类Z7.24冲激响应不变法设计IIR滤波器Z7.25双线性变换法设计IIR滤波器Z7.26窗函数法设计FIR滤波器Z7.27应用案例：计算机仿真设计低通滤波器Z7.28应用案例：简化物种增值模型Z7.29应用案例：连续时间信号的离散处理模型Z7.30应用案例：语音合成模型第七章离散系统z变换分析思考问题：

问题1:差分方程如何进行变化域求解?问题2：离散系统如何分析?问题3：如何设计数字滤波器?连续离散取样还原(有条件)7.1z变换基本理论知识点Z7.1z变换定义及收敛域主要内容：1.z变换的定义2.z变换的收敛域基本要求：理解z变换的定义及其收敛域的概念7.1z变换基本理论Z7.1

z变换定义及收敛域对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号。取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得：连续系统拉氏变换把微分方程转换为代数方程，同样地，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。1、z变换定义7.1z变换基本理论令z

=esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；f(kT)→f(k)，得称为序列f(k)的双边z变换称为序列f(k)的单边z变换若f(k)为因果序列，则单边、双边z变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。F(z)=Z[f(k)],f(k)=Z-1[F(z)]；f(k)←→F(z)7.1z变换基本理论2、收敛域当幂级数收敛时，z变换才存在，即绝对可和条件：它是序列f(k)的z变换存在的充分条件。收敛域的定义：对于序列f(k)，满足所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。7.1z变换基本理论例2

求有限长序列

f(k)=ε(k+1)-ε(k-2)的双边z变换。解：

其单边、双边z变换相等，其收敛域为整个z平面。解：例1

求δ(k)的

z变换。根据绝对可和条件：收敛域为：整个z平面收敛7.1z变换基本理论例3求因果序列f(k)=akε(k)的z变换(式中a为常数)。解：仅当az-1<1，即z>a

时，其z变换存在。收敛域为|z|>|a|收敛边界收敛域7.1z变换基本理论例4求反因果序列f(k)=bkε(-k-1)的z变换。

解:可见，当|b-1z|<1，即|z|<|b|时，其z变换存在。收敛域为|z|<|b|7.1z变换基本理论例5

求如下双边序列的z变换。

解:其收敛域为a<z<b

部分z平面收敛7.1z变换基本理论例6求如下双边序列的z变换。

解:整个z平面均不收敛7.1z变换基本理论序列的收敛域大致分类情况序列特性收敛域特性有限长序列常为整个平面因果序列某个圆外区域反因果序列某个圆内区域双边序列(若存在)环状区域7.1z变换基本理论注意：双边z变换必须标明收敛域！例如对单边z变换，其收敛域是某个圆外的区域，可省略。双边Fb(z)+收敛域f(k)单边F(z)

f(k)结论：7.1z变换基本理论知识点Z7.2常用序列的z变换主要内容：常用序列的z变换基本要求：熟练掌握常用序列的z变换7.1z变换基本理论Z7.2常用序列的z变换

(k)，z>1，z<1–(–k–1)←→7.1z变换基本理论7.1z变换基本理论知识点Z7.3z变换性质-线性、移序、反折主要内容：z变换的线性、移序、反折性质基本要求：熟练运用z变换的移序性质z变换性质，若无特殊说明，对单边和双边z变换适用。1、线性注：其收敛域至少是F1(z)与F2(z)收敛域的公共部分。Z7.3

z变换的性质-线性、移序、反折a1,a2为任意常数7.1z变换基本理论2、移位（移序）特性双边z变换的移位：若f(k)←→F(z),

<z<

，且对整数m>0，则单边z变换的移位：若f(k)←→F(z),|z|>

，且有整数m>0,则7.1z变换基本理论设则3、k域反转(仅适用双边z变换）特例：若f(k)为因果序列，则即：7.1z变换基本理论例1：例2：，求f(k)的双边z变换F(z)。解：7.1z变换基本理论例3：求如下周期为N的有始周期性单位序列的z变换。解:例4：，求双边z变换。解：7.1z变换基本理论7.1z变换基本理论知识点Z7.4z变换性质-z域尺度特性、微分主要内容：z域尺度特性、微分的性质基本要求：熟练运用z域尺度和微分性质1、z域尺度变换：序列乘则设,且有常数aZ7.4

z变换的性质-z域尺度特性、微分7.1z变换基本理论2、序列乘k（z域微分）设则7.1z变换基本理论例1：解:例2：解:7.1z变换基本理论利用齐次性，k域和z域同时乘以a得：例3：求的z变换。解：7.1z变换基本理论解法2:解法1：例4：求f(k)=kε(k)的z变换F(z)。两边取z变换：7.1z变换基本理论7.1z变换基本理论知识点Z7.5z变换性质-时域卷积主要内容：z变换的时域卷积性质基本要求：理解时域卷积性质设则说明:(1)收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的公共部分；(2)对单边z变换，要求：f1(k)、f2(k)为因果序列。Z7.5

z变换的性质-时域卷积7.1z变换基本理论例：求f(k)=kε(k)的双边z变换F(z)。

解：7.1z变换基本理论7.1z变换基本理论知识点Z7.6z变换性质-部分和主要内容：z变换的部分和性质基本要求：熟练运用部分和性质若f(k)←→F(z),

<z<

,max(

,1)<z<

证明：

例：求序列(a为实数)(k≥0)的z变换。解：，|z|>max(|a|,1)Z7.6

z变换的性质-部分和7.1z变换基本理论7.1z变换基本理论知识点Z7.7初值定理和终值定理主要内容：初值定理和终值定理基本要求：熟练求解初值和终值Z7.7初值定理和终值定理初值定理适用于右边序列，即适用于k<M(M为整数)时f(k)=0的序列。由象函数直接求序列的初值f(M),f(M+1),…而不必求得原序列。1、初值定理：如果序列在k<M时，f(k)=0，f(k)←→F(z)，

<|z|<∞则序列的初值对因果序列f(k)，7.1z变换基本理论证明：两边乘zM，得上式取z→∞，得7.1z变换基本理论2、终值定理：如果序列存在终值，即：注意：收敛域要求含单位圆。则序列的终值7.1z变换基本理论知识点Z7.8逆z变换：幂级数和部分分式展开主要内容：1.幂级数展开法2.部分分式结合性质求逆z变换基本要求：1.了解幂级数法2.掌握部分分式法7.1z变换基本理论Z7.8幂级数和部分分式展开F(z)的逆z变换:

z逆变换的计算方法：（1）反演积分法（留数法）；（2）幂级数展开法；有局限性（3）部分分式展开法；（4）用z

变换性质求逆z

变换。组合使用7.1z变换基本理论一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)两部分，即其中相应地，其z变换也分为两部分7.1z变换基本理论

已知象函数F(z)时，根据给定收敛域，不难由F(z)求得F1(z)和F2(z)，分别求对应的原序列f1(k)和f2(k)，根据线性性质，将两者相加原序列f(k)。1、幂级数展开法根据z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z的幂级数；其系数就是相应的序列值。例1：已知象函数其收敛域如下，分别求其对应的原序列f(k)。7.1z变换基本理论解:

(1)收敛域在半径为2的圆外，故f(k)为因果序列。将F(z)(分子分母按z

的降幂排列)展开为z-1的幂级数：则：7.1z变换基本理论(2)收敛域在半径为1的圆内，故f(k)为反因果序列。将F(z)(分子分母按z

的升幂排列)展开为z

的幂级数。于是，得原序列：7.1z变换基本理论(3)收敛域为1<|z|<2的环形，其原序列f(k)为双边序列。将F(z)展开为部分分式，有上式第一项属于因果序列的象函数F1(z)，第二项属于反因果序列的象函数F2(z)，即7.1z变换基本理论将它们分别展开为z-1及z的幂级数，有说明：上述方法求逆z变换，原序列难以写出解析形式。于是，得原序列：7.1z变换基本理论2、部分分式展开法(1)F(z)均为单极点，且不为0其中所以：7.1z变换基本理论根据收敛域，将上式划分为F1(z)(

z

>

)和F2(z)(

z

<

)两部分，由如下已知变换对，来求原函数。

7.1z变换基本理论例2已知象函数，根据收敛域求f(k)。解：(1)|z|>2，因果序列(2)|z|>1，反因果序列(3)1<|z|<2，双边序列7.1z变换基本理论例3求f(k)。解：由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足|z|>1

，后两项满足|z|<2

。7.1z变换基本理论(2)F(z)有共轭单极点令，得若，则若，则7.1z变换基本理论例4：(1)，求f(k)；(2)，求f(k)。解：7.1z变换基本理论（1）为因果序列（2）为反因果序列7.1z变换基本理论(3)F(z)有重极点F(z)展开式中含项(r>1)，则逆变换为：若

z

>a

，对应原序列为因果序列：7.1z变换基本理论以z>a

为例：当r=3时，为当r=2时，为可这样推导记忆：两边对a求导得:再对a求导得:7.1z变换基本理论例5：已知象函数，z>1。求原函数。解:7.1z变换基本理论例6，求原函数f(k)。解：3、用性质求逆z变换方法1：7.1z变换基本理论方法2：由移位性质：7.1z变换基本理论例7因果周期信号fN(k)如图，求fN(k)的单边z变换F(z)。设第一周期内信号为，则fN

(k)可表示为解：7.1z变换基本理论知识点Z7.9z变换的计算机仿真求解主要内容：仿真计算正反z变换基本要求：了解正反z变换的仿真计算方法7.1z变换基本理论Z7.9

z变换的计算机仿真计算计算机仿真内置了符号函数ztrans和iztrans函数分别对应z变换和逆z变换。例：求函数的z变换，求的逆z变换。解：f=sym('cos(a*k)');F=ztrans(f)运行结果为：F=(z-cos(a))*z/(z^2-2*z*cos(a)+1)F=sym('1/(1+z)^2');f=iztrans(F)运行结果为：f=Delta(n)+(-1)^n*n-(-1)^n7.1z变换基本理论7.1z变换基本理论知识点Z7.10z变换和拉普拉斯变换的关系主要内容：z变换与拉普拉斯变换的关系基本要求：理解z变换与拉普拉斯变换的关系1、z平面与s平面的映射关系于是，得到为了说明s与z的映射关系，将s表示成直角坐标形式，而把z表示成极坐标形式，即：式中T是序列的时间间隔，重复频率。7.1z变换基本理论上式表明s平面与z平面有如下的映射关系：(1)s平面上的虚轴(σ=0，s=jω)映射到z平面是单位圆

r=1，其右半平面σ>0映射到z平面的单位圆外r>1，而左半平面映射到

z平面的单位圆内r<1。(2)s平面的实轴(s=σ，ω=0)

映射到z平面的正实轴；原点（s=0）映射到z平面的正实轴上一点(r=1,θ=0)。(3)由于ejθ

是以ωs为周期的周期函数，因此在s平面上沿虚轴移动对应于z平面上沿单位圆周期旋转，每平移ωs，则沿单位圆转一圈。所以

s~z映射并不是单值的。7.1z变换基本理论z变换的定义式是通过理想取样信号的拉普拉斯变换引出的，由此，离散序列的z变换和理想取样信号的拉普拉斯变换之间具有如下关系：

表明:z变换式中令

，则变换式就成为相应理想取样信号的拉普拉斯变换。2、s变换与z变换的转换公式得与序列相对应的理想取样信号的傅里叶变换。进一步地，令拉普拉斯变换中的变量s=jω，则7.1z变换基本理论7.2离散系统的z变换分析法知识点Z7.11差分方程的变换解主要内容：差分方程的z域解基本要求：1.掌握差分方程的z域求解方法2.熟练求解零输入和零状态响应单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，故可求系统的零输入、零状态响应和全响应。Z7.11差分方程的变换解

设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),…y(-n)。取单边z变换得：7.2离散系统的z变换分析法系统函数h(k)←→H(z)例1：若某系统的差分方程为

y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)+2f(k–2)

已知y(–1)=2，y(–2)=–1/2，f(k)=

(k)。求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。7.2离散系统的z变换分析法解：方程两边取单边z变换，得：整理得：Yzi(z)Yzs(z)7.2离散系统的z变换分析法例2

：

(独立求LTI系统差分方程的3种响应)已知：离散系统的差分方程为：求：(1)求完全响应y(k)：由单边z变换的右移性质：解：7.2离散系统的z变换分析法对差分方程两边取单边z变换，得：7.2离散系统的z变换分析法(2)求零输入响应根据右移性质，对方程两边取单边z变换，得：7.2离散系统的z变换分析法(3)求零状态响应由右移性质，对方程两边取单边z变换，得7.2离散系统的z变换分析法说明：前向差分方程的解法：方法1：用左移性质：初始条件：y(0)，y(1)，∙∙∙

方法2：转变为后向差分方程，用右移性质求解初始条件：y(-1)，y(-2)，∙∙∙

若初始条件不适用，则用递推法由相应的差分方程递推得到需要的初始条件。7.2离散系统的z变换分析法7.2离散系统的z变换分析法知识点Z7.12离散系统的系统函数主要内容：系统函数H(z)的定义基本要求：掌握系统函数H(z)的求解方法Z7.12系统函数H(z)1、定义：2、物理意义：3、计算方法：（1）（2）（3）由系统差分方程求H(z)7.2离散系统的z变换分析法例

某LTI系统输入

，零状态响应为求该系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。解：(1)先求系统函数：

7.2离散系统的z变换分析法(3)求差分方程：(2)求h(k)：由z变换的移序特性可得差分方程：7.2离散系统的z变换分析法4、系统函数H(z)的应用：（4）表示系统特性：频率特性、稳定性等。（1）求（2）求（3）求7.2离散系统的z变换分析法7.2离散系统的z变换分析法知识点Z7.13系统函数与系统特性主要内容：1.系统函数的极点与零点2.极点与时域特性基本要求：1.掌握系统函数的零极点定义2.掌握极点与时域特性的关系Z7.13系统函数与系统特性1、离散系统的零点和极点：其中：称H(z)的零点；称H(z)的极点。零/极点的种类：实数、复数(复数零、极点必共轭)一阶、二阶及二阶以上极点7.2离散系统的z变换分析法2、离散系统H(z)的极点与h(k)的关系：（1）单位圆内的极点：在实轴上：二阶极点：不在实轴上：二阶极点：一阶极点：一阶极点：7.2离散系统的z变换分析法（2）单位圆上的极点：在实轴上：不在实轴上：二阶极点：二阶极点：一阶极点：一阶极点：7.2离散系统的z变换分析法（3）单位圆外的极点：在实轴上：不在实轴上：7.2离散系统的z变换分析法结论：(2)H(z)的极点在单位圆上:一阶极点对应h(k)为稳态分量；二阶及二阶以上极点对应h(k)增长。(3)H(z)的极点在单位圆外，对应h(k)按指数规律增长。(1)H(z)的极点在单位圆内，对应h(k)按指数规律衰减；7.2离散系统的z变换分析法7.2离散系统的z变换分析法知识点Z7.14离散系统稳定性判据主要内容：1.稳定性含义2.离散系统稳定性判据基本要求：掌握离散系统稳定性判据Z7.14离散系统稳定性判据(1)离散系统稳定的时域条件：(2)离散系统稳定性的Z域充要条件：若LTI离散系统的系统函数H(z)的收敛域包含单位圆，则系统为稳定系统。若LTI因果离散系统稳定，要求其系统函数H(z)的极点全部在单位圆内。7.2离散系统的z变换分析法例

某离散系统的差分方程为（1）求系统函数H(z)；（2）讨论因果系统H(z)的稳定性；（3）求单位样值响应h(k)；（4）求单位阶跃响应g(k)。解：(1)将差分方程两边取

z变换，得7.2离散系统的z变换分析法7.2离散系统的z变换分析法(3)将H(z)/z进行部分分式展开，得到(4)求阶跃响应(2)H(z)极点是0.4和-0.6，在单位圆内，故系统稳定。第七章离散系统z变换分析7.1z变换基本理论Z7.1z变换定义及收敛域Z7.2常用序列的z变换Z7.3z变换的性质-线性、移序、反折Z7.4z变换的性质-z域尺度特性、微分Z7.5z变换的性质-时域卷积Z7.6z变换的性质-部分和Z7.7z变换的性质-初值和终值定理Z7.8逆z变换方法：幂级数和部分分式展开Z7.9

z变换的计算机仿真求解Z7.10z变换与拉普拉斯变换的关系7.2离散时间系统的z变换分析法Z7.11差分方程的变换解Z7.12系统函数H(z)

Z7.13系统函数与系统特性Z7.14离散系统稳定性判据7.3信号流图与系统模拟Z7.15离散系统的方框图Z7.16离散系统的信号流图和梅森公式Z7.17离散系统的模拟7.4频率响应特性Z7.18系统对正弦序列的响应Z7.19LTI离散系统的频率响应Z7.20计算机仿真绘制零极点图

Z7.21应用案例：处理连续时间信号的离散时间系统*7.5数字滤波器设计及分析Z7.22系统函数零极点的配置实现滤波系统Z7.23数字滤波器的分类Z7.24冲激响应不变法设计IIR滤波器Z7.25双线性变换法设计IIR滤波器Z7.26窗函数法设计FIR滤波器Z7.27应用案例：计算机仿真设计低通滤波器Z7.28应用案例：简化物种增值模型Z7.29应用案例：连续时间信号的离散处理模型Z7.30应用案例：语音合成模型第七章离散系统z变换分析7.3信号流图与系统模拟知识点Z7.15离散系统的方框图主要内容：离散系统的方框图基本要求：掌握框图和差分方程的关系Z7.15

离散系统的方框图1.简单的方框图表示：2.系统的级联：7.3信号流图与系统模拟7.3信号流图与系统模拟3.系统的并联：4.用基本运算器表示系统：7.3信号流图与系统模拟7.3信号流图与系统模拟例

LTI离散系统的框图，列出其差分方程。解：设左边延迟器输入为X(z)，如图X(z)z-1X(z)z-2X(z)X(z)=F(z)–a1z-1X(z)–a0z-2X(z)→

Y(z)=b0z-2X(z)+b1z-1X(z)→

差分方程y(k)+a1y(k-1)+a0y(k-2)=b1f(k-1)+b0f(k-2)7.3信号流图与系统模拟知识点Z7.16离散系统的信号流图与梅森公式主要内容：系统的z域流图基本要求：掌握系统的z域流图和梅森公式Z7.16

离散系统的信号流图与梅森公式1.框图与信号流图对应关系：7.3信号流图与系统模拟2.信号流图规则：同连续系统信号流图规则7.3信号流图与系统模拟3.由框图到信号流图方法：选输入、输出、加法器输出、单位延迟器输出为变量，用点表示；传递函数在箭头处标注。例1

LTI离散系统的框图如下，画出系统的信号流图。7.3信号流图与系统模拟4.梅森公式：流图行列式（特征行列式）：除去第i条开路后剩余流图的行列式；：第i条开路的开路传输函数；m：从F(z)到的开路数。7.3信号流图与系统模拟7.3信号流图与系统模拟例2由离散系统的信号流图，写出其系统函数H(z)。解：流图的环传输函数

：两个不接触环的环传输函数：7.3信号流图与系统模拟计算流图的特征行列式：流图的开路传输函数Pi

及Δi

:由梅森公式求H(z):

7.3信号流图与系统模拟知识点Z7.17离散系统的模拟主要内容：离散系统的模拟基本要求：掌握离散系统的直接形式1流图1.直接形式例1画出如下系统的流图根据梅森公式，系统信号流图有3个相互接触的环和两条开路组成。开路传输函数为:解：7.3信号流图与系统模拟Z7.17离散系统的模拟环传输函数为:（直接形式2）（直接形式1）7.3信号流图与系统模拟2.级联形式例2画出如下系统的级联形式流图7.3信号流图与系统模拟解：3.并联形式例37.3信号流图与系统模拟解：7.4离散系统频率响应特性知识点Z7.18系统对正弦序列的响应主要内容：LTI离散系统对正弦序列的响应基本要求：掌握正弦稳态响应的求解方法Z7.18

LTI离散系统对正弦序列的响应问题：设系统输入为初始时刻，求响应y(k)。f(k)表示为：(1)系统对的响应：设输入，响应为则7.4离散系统频率响应特性即设的收敛域含单位圆，令z为：则7.4离散系统频率响应特性其中，H(z)的收敛域含单位圆。(2)系统对的响应：设输入，响应为则(3)系统对正弦序列的响应：系统输入7.4离散系统频率响应特性由系统的线性性质，得：设则y(k)称LTI离散系统的正弦稳态响应。7.4离散系统频率响应特性7.4离散系统频率响应特性知识点Z7.19LTI离散系统的频率响应主要内容：离散系统的频率响应基本要求：掌握离散系统的频率响应Z7.19

LTI离散系统的频率响应若LTI因果离散系统的系统函数H(z)的收敛域包含单位圆，，则称为频率响应。称为系统的幅频响应；称为系统的相频响应；7.4离散系统频率响应特性说明：表示系统对不同频率ΩT的正弦序列的稳态响应特性；是ΩT的连续周期函数，周期为2π。例1求出系统函数H(z)：系统差分方程为：解：7.4离散系统频率响应特性如图系统，f(k)为因果信号，，求收敛域含单位圆，系统的频率响应为：7.4离散系统频率响应特性幅频响应曲线：（称为数字角频率，可记为θ）7.4离散系统频率响应特性系统函数为例2已知离散系统的输入f(k)为求稳态响应y(k)。因为，所以H(z)收敛域包含单位圆。解：(1)7.4离散系统频率响应特性(2)7.4离散系统频率响应特性(3)7.4离散系统频率响应特性(4)

系统对f(k)的响应为y(k)

7.4离散系统频率响应特性知识点Z7.20计算机仿真绘制零极点图主要内容：1.计算机仿真绘制零极点图2.计算机仿真求频率响应基本要求：1.了解零极点图的仿真绘制2.了解频率响应的仿真求解函数7.4离散系统频率响应特性Z7.20

计算机仿真绘制零极点图7.4离散系统频率响应特性例

已知系统函数为试用计算机仿真画零极点分布图，求单位序列响应h(k)和频率响应，并判断系统是否稳定。解：b=[1,2,1];a=[1,-0.5,-0.005,0.3];figure(1);zplane(b,a);%绘制零极点分布图num=[0,1,2,1];den=[1,-0.5,-0.005,0.3];h=impz(num,den);figure(2);stem(h,‘.’)%绘制h(k)[H,w]=freqz(num,den);%求频率响应figure(3);plot(w/pi,abs(H))程序运行结果如图所示，该因果系统的极点全在单位圆内，故系统是稳定的。(a)零极点图(b)单位序列响应(c)频率响应7.4离散系统频率响应特性知识点Z7.21应用案例：处理连续时间信号的离散时间系统主要内容：连续时间信号的离散时间系统的频率响应计算基本要求：掌握处理连续信号的离散系统的频率响应计算7.4离散系统频率响应特性Z7.21应用案例7.4离散系统频率响应特性例

一个处理连续时间信号的离散时间系统如图所示。Ha(jɷ)的截止频率为10π，画出该系统在下列系数下的频率响应。(1)(2)(3)解：系统的响应函数为(1)响应函数曲线为7.4离散系统频率响应特性(2)频率响应函数曲线如右图(3)频率响应函数曲线如右图7.4离散系统频率响应特性7.5数字滤波器设计及分析知识点Z7.22系统函数零极点的配置实现滤波系统主要内容：系统函数零极点的配置实现滤波系统基本要求：了解滤波系统的零极点配置方法7.5数字滤波器设计与分析Z7.22系统函数零极点的配置实现滤波系统系统的频率响应体现该系统的滤波能力，取决于系统函数H(z)的零极点分布。计算系统函数在某个复频率z=ejΩT处的值为：1.频率响应的计算方程中的因式均为复数，转换为极坐标形式，得到：因此7.5数字滤波器设计与分析如图所示，通过选取在单位圆上一点，能够计算任何频率值的频率响应。H(z)各因式的向量表示7.5数字滤波器设计与分析为增强频率ΩT处的幅度响应，应该放置一个极点尽可能靠近z=ejΩT；同理，为了抑制ΩT处的幅度响应，应该放置一个零点尽可能靠近z=ejΩT。对一个稳定的系统配置零极点，全部极点都必须位于单位圆内，零点可以位于任何地方。低通滤波器在ΩT=0有最大增益，则在单位圆内接近z=1处放置更多极点，其幅度响应逼近理想低通特性。(1)低通滤波器的零极点配置7.5数字滤波器设计与分析2.零极点配置方法在z=-1配置一个零点，对于

ΩT=π

提供零增益，从而使得幅度响应在较高频率衰减更陡峭。在ΩT=π

有最大增益，接近单位圆上z=-1点处，应配置极点，在z=1配置一个零点，来进一步抑制增益。(2)高通滤波器的零极点配置7.5数字滤波器设计与分析7.5数字滤波器设计及分析知识点Z7.23数字滤波器的分类主要内容：数字滤波器的分类基本要求：了解两种分类方法7.5数字滤波器设计与分析Z7.23数字滤波器的分类理想数字滤波器的频率特性如图所示，这些频率特性都是以2π

为周期的连续函数。对数字滤波器频率特性只要给出ΩT在0~π区间内H(ejΩT)的变化情况即可，即寻求系统函数H(z)，满足或者逼近性能要求。LTI离散系统的系统函数H(z)是z-1的有理函数，写成:7.5数字滤波器设计与分析(1)若ak不全为零，则对应的单位序列响应h(k)是无限长的，这种数字滤波器称为无限冲激响应滤波器(IIR)；(2)若ak全为零，其对应的单位序列响应

h(k)是有限长的，仅在给定时间区间[0,N]内有非零值，此时称为有限冲激响应滤波器(FIR)。7.5数字滤波器设计及分析知识点Z7.24冲激响应不变法设计IIR滤波器主要内容：冲激响应不变法设计IIR滤波器基本要求：了解冲激响应不变法设计IIR滤波器7.5数字滤波器设计与分析Z7.24冲激响应不变法设计IIR滤波器基本思想：(1)假设模拟系统的冲激响应

ha(t)的拉普拉斯变换，即模拟滤波器的系统函数Ha(s)

是一个有理真分式，具有单极点，则部分分式展开的结果为:(2)求逆变换，可得:(3)对其进行均匀采样并求其z变换：IIR滤波器的设计：把Ha(s)部分分式展开式

替换成7.5数字滤波器设计与分析与模拟系统函数比较：7.5数字滤波器设计与分析例

试用冲激响应不变法设计一个能够实现如下传输函数的离散时间系统，并比较原系统和数字滤波器系统在区间

内的频谱。解：极点为-1，-2，则设计的数字滤波器的系统函数为：7.5数字滤波器设计与分析为了比较原模拟滤波器和设计数字滤波器的性能，给出两者的频率特性如下：给出T=1,0.1,0.2s下连续系统和数字滤波器的频率响应；同时给出对数坐标下的频谱。7.5数字滤波器设计与分析(a)滤波器频谱可以看到，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，其周期为取样角频率2π/T

。7.5数字滤波器设计与分析事实上，大多数系统的系统函数都具有收敛性，当频率达到一定程度时，幅频特性近似为0，频谱的混叠可以忽略。

另外，频率响应的周期化会导致频谱混叠。取样间隔

T越大，混叠越严重，失真也就越大。由取样定理，若信号的截止频率为ωm

，则只要2π/T≥2ωm

，就不会发生频谱混叠现象。原因：h(k)是ha(t)的取样，数字滤波器的频率响应自然是连续系统频率响应的周期化。7.5数字滤波器设计与分析(b)对数坐标下的频谱当

T=0.1时，离散系统的频率响应与原连续系统的频率响应非常接近，可以认为滤波器达到了设计要求。7.5数字滤波器设计及分析知识点Z7.25双线性变换法设计IIR滤波器主要内容：双线性变换法设计IIR滤波器基本要求：了解双线性变换法设计IIR滤波器7.5数字滤波器设计及分析Z7.25双线性变换法设计IIR滤波器双线性变换法的基本思路：将连续系统微分方程通过数值积分近似，导出相近的差分方程，从而完成离散系统的设计。则其系统函数为假设一个连续的一阶系统，其微分方程是冲激响应不变法s域和z域的映射具有多值性，出现频谱混叠，只适用于低通或带限的高通、带通情况。令数值采样步长为

T，t=kT，t0=(k-1)T，代入上式:7.5数字滤波器设计及分析将y(t)用

y′(t)

的积分表示假设T很小，上式用梯形法逼近积分项(面积)：7.5数字滤波器设计及分析根据微分方程y′(t)+ay(t)=bf(t)：代入，可得：7.5数字滤波器设计及分析该式是个一阶差分方程，两边取z变换：可得系统函数：与连续系统函数对比进一步研究，令

，

，可以得到：7.5数字滤波器设计及分析双线性变换法：通过s和z的映射关系，可以直接由模拟滤波器的系统函数Ha(s)得到数字滤波器的系统函数H(z)。这种映射关系属于双线性变换映射。故表明，s平面的虚轴映射到z平面的单位圆，而且

Ω=±∞映射为

ω=±π，可以避免混叠。知识点Z7.26窗函数法设计FIR滤波器主要内容：窗函数法实现FIR滤波器设计基本要求：了解窗函数法实现FIR滤波器设计7.5数字滤波器设计与分析7.26窗函数法实现FIR滤波器设计7.5数字滤波器设计与分析假定目标系统的频率特性为Ha(jω)

，则相应的数字滤波器的频率响应为Hd(ejΩT)，其单位序列响应为hd(k)。求傅里叶反变换hd(k)，可能是无限长且非因果，为此要寻找一个因果的有限长序列

h(k)，7.5数字滤波器设计与分析窗函数设计的要求是：设计的滤波器频率特性

H(ejΩT)与要求的

Hd(ejΩT)，在频域均方误差最小的意义下进行逼近，即：化简上式得到：只要将无限长的序列hd(k)截断，取有限项h(k),k=0,1,…,N-1，即可使得误差达到最小。HN(k)称为矩形窗函数：通过长度为N的窗口截取目标系统的单位序列响应的一部分，故称为窗函数法。7.5数字滤波器设计与分析简单N点平滑和加权平滑的低通FIR滤波器比较：由幅频响应图看出，加权平滑低通滤波器(实线)的滤波特性优于简单平滑滤波器(虚线)，更接近理想低通滤波器。7.5数字滤波器设计及分析知识点Z7.27应用案例：计