高三数学总复习学案9

1、学案学案 9幂函数幂函数 导学目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数 yx，yx2，yx3，y ，yx 的图象， 1 x 1 2 了解它们的变化情况 自主梳理 1幂函数的概念 形如_的函数叫做幂函数，其中_是自变量，_是常数 2幂函数的性质 (1)五种常见幂函数的性质，列表如下： 定义域值域奇偶性单调性过定点 yxRR奇 yx2R0，)偶 0，) (，0 yx3RR奇 y 2 1 x 0，)0，) 非奇 非偶 0，) yx1 (，0) (0，) (，0) (0，) 奇 (，0) (0，) (1,1) (2)所有幂函数在_上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第_象限无图 象 (3)0

2、时，幂函数的图象通过点_，并且在区间(0，)上是 _，g(x)；f(x)g(x)；f(x)g(x) 变式迁移 1若点(，2)在幂函数 f(x)的图象上，点(2， )在幂函数 g(x)的图象上，2 1 4 定义 h(x)Error! 试求函数 h(x)的最大值以及单调区间 探究点二幂函数的单调性 例 2 比较下列各题中值的大小 (1)，；(2)，； 8 . 0 3 7 . 0 3 3 21 . 0 3 23 . 0 (3)，；(4)，和. 2 1 2 3 1 8 . 1 5 2 1 . 4 3 2 8 . 3 5 3 )9 . 1( 变式迁移 2(1)比较下列各组值的大小： _； 3 1 8 3

3、 1 ) 9 1 ( 0.20.5_0.40.3. (2)已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则 m 的取值范围是_ 探究点三幂函数的综合应用 例 3 (2011葫芦岛模拟)已知函数 f(x)(mN*)的图象关于 y 轴对称， 且在(0， 32 2 mm x )上是减函数，求满足f(a1)的实数 a2 的取值范围 1幂函数 yx(R)，其中 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数 为 常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准 2在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低” )，在(1， )上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴

4、幂函数的图象一定会出现在第一象限内， 一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性 ； 幂函数 的图象最多只能同时出现在两个象限内 ； 如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原 点 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1 右 图 是 函 数 y (m ， n N*， m 、 n 互 质 ) 的 图 象 ， 则 n m x () Am，n 是奇数，且 1 m n Cm 是偶数，n 是奇数，且 1 m n 2(2010陕西)下列四类函数中，具有性质“对任意的 x0，y0，函数 f(x)满足 f(xy) f(x)f(y)”的是() A幂函数

5、B对数函数 C指数函数D余弦函数 3下列函数图象中，正确的是() 4(2010安徽)设 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系是 () 5 2 ) 5 3 ( 5 3 ) 5 2 ( 5 2 ) 5 2 ( AacbBabc CcabDbca 5下列命题中正确的是() 幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； 幂函数的图象不可能在第四象限； 当 n0 时，函数 yxn的图象是一条直线； 幂函数 yxn当 n0 时是增函数； 幂函数 yxn当 n0 时在第一象限内函数值随 x 值的增大而减小 A和B和 C和D和 题号12345 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6(2011

6、邯郸模拟)若幂函数 y的图象不经过原点，则实数 m 的 22 ) 332( mm x mm 值为_ 7已知 ax，b，c，x(0,1)，(0,1)，则 a，b，c 的大小顺序是 2 a x a x 1 _ 8 已知函数 f(x)x(01， 则 f(x)1； 若 0x1， 则 0f(x)0 时，若 f(x1)f(x2)，则 x1x2；若 0x1x2，则. fx1 x1 fx2 x2 其中正确的命题序号是_ 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为最小正周期的周期函数当1xf(x3) 11(14 分)(2011荆州模拟)已知函数 f(x)(kZ)满足 f(2

7、)0，使函数 g(x)1qf(x)(2q1)x 在 区间1,2上的值域为4，？若存在，求出 q；若不存在，请说明理由 17 8 答案答案 自主梳理 1yxx2.(2)(0，)四(3)(0,0)，(1,1)增函数不过 自我检测 1B方法一由幂函数的图象与性质，nn(C2)n(C3)n(C4) 故 C1，C2，C3，C4的 n 值依次为 2， ，2. 1 2 1 2 方法二作直线 x2 分别交 C1，C2，C3，C4于点 A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐 标显然为 22,，22，故 n 值分别为 2， ，2. 2 1 22 1 2 1 2 1 2 2D第一个图象过点(0,0)，与对应 ；

8、第二个图象为反比例函数图象，表达式为 y ，yx1恰好符合， k x 第二个图象对应； 第三个图象为指数函数图象，表达式为 yax，且 a1，y2x恰好符合，第三个图 象对应； 第四个图象为对数函数图象，表达式为 ylogax，且 a1，ylog2x 恰好符合，第四 个图象对应. 四个函数图象与函数序号的对应顺序为. 3A4.C5.B 课堂活动区 例 1 解(1)设 f(x)x， 图象过点(，2)，故 2()，22 解得 2，f(x)x2. 设 g(x)x，图象过点(2， )， 1 4 2，解得 2. 1 4 g(x)x2. (2)在同一坐标系下作出 f(x)x2与 g(x)x2的图象，如图所

9、示 由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(1，1)和(1,1) 当 x1，或 xg(x)； 当 x1，或 x1 时，f(x)g(x)； 当1x1 且 x0 时，f(x)30.7. (2)函数 yx3是增函数，0.2130.233. (3)， 3 1 2 1 2 1 8 . 18 . 12 . 3 1 2 1 8 . 12 (4)1；01； 5 2 5 2 11 . 4 3 2 3 2 18 . 3 0，. 5 3 )9 . 1( 5 2 3 2 5 3 1 . 48 . 3)9 . 1( 变式迁移 2(1)0 解析根据幂函数 yx1.3的图象， 当 0x1 时，0y1，00.71.31

10、时，y1，1.30.71. 于是有 0.71.31.30.7. 对于幂函数 yxm，由(0.71.3)m0 时，随着 x 的增大，函数值也增大， m0. 例 3 解函数 f(x)在(0，)上递减， m22m30，解得1m3. mN*，m1,2. 又函数的图象关于 y 轴对称， m22m3 是偶数， 而 222233 为奇数， 122134 为偶数， m1. 而 y在(，0)，(0，)上均为减函数， 3 1 x 32a0， 3 1 ) 1( a 3 1 )23( a 或 0a132a，或 a1032a， 解得 a1 或 a . 2 3 3 2 故 a 的范围为a|a1 或 af(a1)得Erro

11、r! 解得 1a . 3 2 a 的取值范围为1， ) 3 2 课后练习区 1C由图象知，函数为偶函数， m 为偶数，n 为奇数 又函数图象在第一限内上凸， 1，可知 A、B 图象不正确； D 中由 yxa 知 0ac， 5 2 5 2 ) 5 2 () 5 3 ( y( )x在 x(，)递减， 2 5 ，即 cb， 5 3 5 2 ) 5 2 () 5 2 ( acb. 5D 61 或 2 解析由Error!解得 m1 或 2. 经检验 m1 或 2 都适合 7ca . 1 2 又x(0,1)，x，即 cab. a x 1 2 a x 8 解析作出 yx(01)在第一象限内的图象，如图所示， 可判定正确， 又表示图象上的点与原点连线的斜率， fx x 当 0x1，故错 fx1 x1 fx2 x2 9解设在1,1)中，f(x)xn， 由点( ， )在函数图象上，求得 n3.(4 分) 1 2 1 8 令 x2k1,2k1)，则 x2k1,1)， f(x2k)(x2k)3.(8 分) 又 f(x)周期为 2，f(x)f(x2k)(x2k)3. 即 f(x)(x2k)3(kZ)(12 分) 10解由条件知0， 1 n22n3 n22n30，解得1nf(x3)转化为 x2xx3. 解得 x3. 原不等式的解集为(，1)(3，)(12 分) 11解(1)f(2)0，解得1k0