新课标版高考数学复习题库考点19点、直线、平面之间的位置关系

1、 考点 19 点、直线、平面之间的位置关系 考点 19 点、直线、平面之间的位置关系 1.（2010山东高考理科3）在空间，下列命题正确的是（ ） （A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一直线的两个平面平行 （C）垂直于同一平面的两个平面平行 （D）垂直于同一平面的两条直线平行 【命题立意】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，考查了考生的空间想 象能力、推理论证能力. 【思路点拨】 可利用特殊图形进行排除. 【规范解答】选 D.在正方体 1111 ABCD-A BC D中， 1111 ABC D，但它们在底面ABCD上的投影仍平行， 故 A 选项不正确；平面 1

2、 AD与平面 1 AB都平行于直线 1 C C，但平面 1 AD与平面 1 AB相交，故 B 选项 不正确；平面 1 AD与平面 1 AB都垂直于平面ABCD，但平面 1 AD与平面 1 AB相交，故 C 选项不正确； 而由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以证明选项 D 正确. 2.（2010浙江高考理科6）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ） （A）若lm，m，则l （B）若l，lm/ /，则m （C）若l/ /，m，则lm/ / （D）若l/ /，m/ /，则lm/ / 【命题立意】本题考查空间中的线线、线面位置关系，考查空间想象能力.

3、【思路点拨】利用线面平行、线面垂直的判定定理. 【规范解答】选 B.如图（1） ，选项 A 不正确；如图（2） ，选项 B 正确；如图（3）选项 C 不正确；如图 （4）选项 D 不正确. 3.（2010福建高考理科6）如图，若是长方体 1111 ABCDABC D被平面 EFCH 截去几何体 11 EFGHBC后得到的几何体，其中 E 为线段 11 AB上异于 1 B的点，F 为线段 1 BB上异于 1 B的点，且 EH/ 11 AD，则下列结论中不正确的是（ ） m l l m l m lm (1) (2) (3) (4) (A)EH/FG (B)四边形 EFGH 是矩形 (C)是棱柱 (

4、D)是棱台 【命题立意】本题考查考生对立体几何体的理解程度、空间想像能力. 灵活，全面地考查了考生对知识的理解. 【规范解答】选 D，若FG不平行于EH，则FG与EH相交，交点必 然在 B1C1上，而EH平行于B1C1，矛盾，所以FG/EH；由EH面 11ABB A，得到EFEH ，可以得到四边形 EFGH为矩形，将从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台与这个图形. 【方法技巧】线线平行，线面平行，面面平行是空间中的三种重要的平行关系，他们之间可以进行相互的 转化，他们之间的转化关系就是我们学习的判定定理和性质定理，我们要熟练掌握这些定理并利用这些定 理进行转化.我们

5、以上面的题目进行变式训练： （1）证明：AD/平面EFGH. （2）若E,F分别为 A1B1，B1B 的中点，证明：平面EFGH/平面 11 ABCD. 证明 ： (1) 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， 11 / /ADAD， 又 11 / /EHAD，/ /ADEH， 又AD 平面EFGH， 所以AD/ /平面EFGH； (2) EF 、 E,F分别为111 ABB B、的中点， 1 / /,EFAB又 EH/A1D1， 1111 ,EHEFE ABADA， 1 / /,EFAB平 面EFGH/ /平面 11 ABCD； 4.（2010广东高考理科18）如图，是 AEC 半径为a的

6、半圆，AC为直径，点 E 为AC的中点，点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点.平面 AEC 外一点 F 满足 FB=FD=5a，FE=6a (1)证明：EBFD. (2)已知点 Q,R 分别为线段 FE,FB 上的点，使得 FQ= 2 3 FE,FR= 2 3 FB,求平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正 弦值. 【命题立意】本题考察空间点、线、面之间的关系以及空间几何体的相关计算. 【思路点拨】 （1）点 E 为AC的中点，B 为 AC 的中点，AC为直径EBAC2ECaCEF 是直角三角形FCEC，又FCADFC 面BED EBFD. (2)作出二面角的棱证明RDB为所求二面

7、角的平面角求RD，BR，sinRBDsin.RDB 【规范解答】 （1）连结CF ,CE.因为 ABC是半径为a的半圆，AC为直径，点 E 为AC的中点，B 为 AC 中点，所以EBAC，在Rt BCE中， 2222 2ECBCBEaaa，在BDF中， 5BFDFa， 所以BDF是等腰三角形， 且点C是底边BD的中点， 所以.CFBD 在 RtECF 中， 在CEF中， 2222 6EFaCECF，所以CEF是直角三角形，所以 22 FCBFBC2a, CFEC. 由.CFBD，CFEC，且CEBDC，所以FC 面BED， 又 EB 面BED，所以FCEB， 所以BE 平面BDF，而FD 平面

8、BDF，所以.EBFD （2）过点D作/DGQR， FQ= 2 3 FE,FR= 2 3 FB， /QREB， /EBDG， DG与QR共面且与EB共面， DG为平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的棱. 由（1）知，BE 平面BDF， DG 平面BDF，而RD 平面BDF，BD 平面BDF， DGDR，DGDB，RDB是平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的平面角. 在Rt BCF中， 2222 ( 5 )2CFBFBCaaa， 22 5 sin 55 FCa RBD BFa ， 2 cos1 sinRBDRBD= 5 5 . 由余弦定理得： 222 2cosRDBDBRBD BRR

9、BD 2 29 9 a， 29 . 3 RDa 又由正弦定理得： sinsin BRRD RDBRBD ，即 sin sin BRRBD RDB RD 52 5 35 29 3 a a 2 29 . 29 所以平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值为 2 29 . 29 【方法技巧】求无棱二面角，往往需先作出二面角的棱，并证明之，然后再作（证）二面角的平面角. 5.（2010浙江高考文科20）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=2BC，ABC=120.E 为线段 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻折成 ADE，使平面 ADE平面 BCD， F 为线段 AC 的中点. （）

10、求证：BF平面 ADE； （）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM 与平面 ADE 所成角的余弦 值. 【命题立意】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力 和推理论证能力. 【思路点拨】 （1）可以在面A DE内找一条直线与 BF 平行， 从而证明线面平行；（2）求线面角的关键是找到对应的平面角. 【规范解答】 ()取 AD的中点G，连结GF，CE，EG,由条件易 知FGCD，FG= 1 2 CD. BECD,BE 1 2 CD.所以FGBE,FG=BE. 故四边形BEGF为平行四边形, 所以BFEG, 因为EG 平面A DE，BF平面A DE，

11、所以 BF/平面A DE. （）在平行四边形 ABCD 中，设 BC=a，则 AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 连结 CE,AM. 因为 0 120ABC120，在BCE中，可得CE=3a, 在ADE中，可得DE =a, 在CDE中，因为CD 2=CE 2+DE 2，所以CEDE, 在正三角形ADE中，M为DE中点， 所以AMDE.由平面ADE平面BCD, 可知AM平面BCD, AMCE.取AE的中点N， 连结NM，NF，所以NFDE,NFAM.因为DEAM = M, 所以NF平面ADE,则FMN为直线FM与平面ADE所成的角. 在 RtFMN中，NF= 3 2 a, MN= 1 2

12、 a, FM=a,则 cosFMN= 1 2 . 所以直线 FM与平面ADE所成角的余弦值为 1 2 . 【方法技巧】找线面所成角时，可适当的作一条面的垂线，从而把线面角转化为线线夹角. 6.（2010陕西高考文科8）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是 矩形，PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点. (1)证明：EF平面PAD； (2)求三棱锥EABC的体积 V. 【命题立意】 本题考查了空间几何体的的线线、线面平行及线面垂直、以及几何体的 体积计算问题，考查了考生的空间想象能力以及空间思维能力. 【思路点拨】 （1）E，F分别是PB,PC的中点.

13、EFBC EFAD 结论； （2）EGPA交AB于点G EG平面ABCD EG= 1 2 PA VE-ABC. 【规范解答】 (1)在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC. 又BCAD,EFAD, 又AD平面PAD,EF平面PAD, EF平面PAD. (2)连接AE,AC,EC,过E作EGPA交AB于点G, 则 EG平面 ABCD，EG= 1 2 PA. 在PAB中，AP=AB,PAB=90,BP=2,AP=AB=2,EG= 2 2 . SABC= 1 2 ABBC= 1 2 22=2, VE-ABC= 1 3 SABCEG= 1 3 2 2 2 = 1 3 . 7.（2010北京

14、高考理科6）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在 的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=2，CE=EF=1. （1）求证：AF平面BDE； （2）求证：CF平面BDE； （3）求二面角A-BE-D的大小. 【命题立意】本题考查了线面平行、线面垂直及二面角的求法.一般的，运用几何法（方法一）对空间想 象能力，空间运算能力要求较高，关键是寻找二面角的平面角；运用向量法（方法二）思路简单，但运算 量较大，熟练掌握向量的线性运算及数量积是解决问题的关键. 【思路点拨】解决立体几何问题一般有两种方法：几何法与向量法.几何法：（1）证明 AF 与平面 BDE 内 的某条线平行；（2）证明 CF 垂

15、直于平面 BDE 内的两条相交直线；（3）由第（2）问的结论，可过 A 作一 直线与 CF 平行，从而垂直于平面 BDE，找到二面角的平面角.向量法：利用三个垂直关系建立空间直角坐 标系，利用向量的垂直和数量积求二面角的大小. 【规范解答】方法一： （1） 设 AC 与 BD 交于点 G.因为 EF/AG，且 EF=1，AG= 1 2 AC=1.所以四边形 AGEF 为平行四边形. 所以 AF/EG，因为EG 平面 BDE，AF平面 BDE，所以 AF/平面 BDE. (2)连接 FG，/ /,1EFCG EFCG，CEFG四边形 CEFG 为平行四边形， 又1CEEF， CEFG 为菱形，E

16、GCF. 在正方形 ABCD 中，ACBD. 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，BD BCCEFG 平面， BDCF，又EGBDG，CFBDE 平面. （3）设 EG 交 FC 于点 K，在平面 ACEF 内，过 A 作AHEG，垂足为 H，连接 HB，则 AH/CF. AH平面 BDE，AHBE，AHBH. 又面 ABCD面 ACEF，CEAC，CE 面 ABCD，CEAB. A BC D E F 又,ABBC BCCEC，AB 面 BCE，ABBE.BE面 ABH. BEBH.ABH为所求的二面角 A-BE-D 的平面角. 由 2 ,2 2 AHFKAB得， 2 1

17、 2 sin 22 AH ABH AB ， ABH为锐角， 6 ABH . 方法二： （1）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，且 CEAC，所以 CE平面 ABCD.如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系，则 C（0，0，0） ，( 2,2,0)A，B（0，2，0） ，( 2,0,0)D， (0,0,1)E， 22 (,1) 22 F，所以(0,2,1)BE ，(2,0,1)DE ， 22 (,1) 22 AF .设 ( , , )nx y z 为平面 BDE 的法向量，则 0 0 n BE n DE ，即 20 20 yz xz ，令1x ，得1,2yz， (1

18、,1,2)n . 22 1 () 1 ()2 10 22 n AF ，nAF ， 又AF 平面 BDE，AF/平面 BDE. （2）由（1）知 22 (,1) 22 CF ，所以0 1 10CF BE ,1 0 10CF DE ， 所以CFBE,CFDE.又因为BEDEE，所以CF 平面 BDE. (3)设平面 ABE 的法向量( , , )mx y z , 由（I）知BA =( 2,0,0)，BE (0,2,1)，则0m BA ， 0m BE .即所以0,x 且2 ,zy令1,y 则2z . 所以(0,1,2)m . 从而 3 cos, 2| m n m n m n .所以, 6 m n .

19、 因为二面角ABED为锐角， 所以二面角ABED的大小为 6 . 8.（2010福建高考文科20） 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， E，H 分别是棱 A1B1,D1C1上的点（点 E 与 B1不重合） ，且 EH/A1D1.过 EH 的平面与棱 BB1,CC1相交，交点分别为 F，G. （I）证明：AD/平面 EFGH； （II） 设 AB=2AA1=2a.在长方体 ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点 取自于几何体 A1ABFED1DCGH 内的概率为P.当点 E，F 分别在棱 A1B1, B1B 上运动且满足 EF=a 时，求P的最小值. 【命题立意】本题主要考

20、查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知 识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化 思想等. 【思路点拨】第一步由线线平行得到线面平行；第二步首先求出长方体以及三棱柱 EB1F-HC1G 的体积，并 求解三棱柱 11 EB FHC G的体积的最大值，然后利用体积比计算出几何概率，最后得解. 【规范解答】 ( I ) 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， 11 / /ADAD，又 11 / /EHAD，/ /ADEH， 又AD 平面EFGH，所以AD/ /平面EFGH. （II）设BCb，则长方体 ABCD-A

21、1B1C1D1的体积 2 1 2VAB AD AAa b，几何体 11 EB FHC G的体 积 1111111 1 22 b VEB B FBCEB B F ，又 222 11 EBB Fa， 222 11 11 22 EBB Fa EB B F ， 当且仅当 11 2 2 EBB Fa时等号成立，从而 2 1 4 a b V ，故 Pmin 1 17 11 88 V P V ，此时 11 2 2 EBB Fa，所以P的最小值等于 7 8 . 【方法技巧】立体几何中的证明问题，一定要把条件写完整了，保证逻 辑合理，如：本题一定要写出 “ADEFGH 面平ADEFGH 面”. 9.（2010

22、海南宁夏高考理科T18）如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD 垂足为 H,PH 是四棱锥的高， E 为 AD 中点. （) 证明：PEBC （）若APB=ADB=60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值. 【命题立意】本题主要考查了利用向量法解决立体几何中证明位置关系求夹角等问题. 【思路点拨】建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标进行计算. 【规范解答】如图，以H为原点，,HA HB HP 分别为, ,x y z轴，线段HA的长为单位长， 建立空间直 角坐标系，则(1,0,0), (0,1,0)AB （）设 ( ,0,0),(0,0, )(0,0)C

23、mPn mn , (0,0)mn， （）由已知条件可得 33 ,1, 33 mnC 故 (, 0, 0) 313 (0,0),( ,0), (0,0,1) 326 DEP， 设( , , )nx y x z)为平面 PEH的法向量，n 因此可以取(1, 3,0)n ，由(1,0, 1)PA ，可得 2 cos, 4 PAn ， 所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为 2 4 . 10.（2010江苏高考6） 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， PD平面 ABCD， PD=DC=BC=1， AB=2， ABDC， BCD=900. (1)求证：PCBC. (2)求点 A 到平面 PBC 的距

24、离. 【命题立意】 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、 推理论证能力和运算能力. 【思路点拨】 （1）可证明 BC 与 PC 所在的某一个平面垂直. （2）点 A 到平面 PBC 的距离是点 D 到平面 PBC 的距离的 2 倍. 【规范解答】 （1）因为 PD平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 PDBC. 由BCD=90，得 CDBC， 又 PDDC=D，PD，DC平面 PCD， 所以 BC平面 PCD. 因为 PC平面 PCD，故 PCBC. （2）分别取 AB，PC 的中点 E，F，连 DE，DF，则易证 DECB，DE平面 PBC，

25、点 D，E 到平面 PBC 的距 离相等.又点 A 到平面 PBC 的距离等于点 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍.由（1） 知：BC平面 PCD，所以平面 PBC平面 PCD，且平面 PBC平面 PCD=PC，因为 PD=DC，PF=FC，所以 DFPC，所以 DF平面 PBC. 易知 DF=，故点 A 到平面 PBC 的距离为2. 2 2 【方法技巧】一个几何体无论怎样转动，其体积是不变的.如果一个几何体的底面积和高较难求解时，我 们可考虑利用等体积法求解.等体积法也称等积转换或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体 积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，把底面积和高的求解转化

26、为数量关系清晰的底面及其对应的 高，减少运算量，这也是转化与化归思想在立体几何中的具体体现.本题也可利用等体积法求解： 连结 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离为 h. 因为 ABDC，BCD=900，所以ABC=900. 又 AB=2，BC=1，得ABC的面积1 ABC S. 由 PD平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 P-ABC 的体积 11 33 ABC VSPD . 因为 PD平面 ABCD，DC平面 ABCD，所以 PDDC. 又 PD=DC=1，所以 22 2PCPDDC. 由 PCBC，BC=1，得PBC的面积 2 2 PBC S. 由 A PBCP ABC VV ， 1

27、1 33 PBC ShV ，得2h ， 故点 A 到平面 PBC 的距离等于2. 11.（2010辽宁高考文科19） 如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B. ()证明：平面AB1C平面A1BC1; （)设D是A1C1上的点，且A1B平面B1CD，求A1D:DC1的值. 【命题立意】本题考查了空间几何体的线面垂直与面面垂直、以及几何体的计算问题，考查了考生的 空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】 （I）先证明B1C平面A1BC1.再证明平面AB1C平面A1BC1. （II）利用线面平行的性质，得到线线平行，进而可解. 【规范解答】 （I） 【方法

28、技巧】 1、证明面面垂直，一般通过证明一个平面经过另一个平面的垂线，为此分析题设，观察图形找到 是哪条直线和哪个平面垂直. 2、证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一 定要体现出来，如本题中强调了 A1BBC1B. 12.（2010山东高考文科20）在如图所示的几何体中， 四边形ABCD是正方形，MA 平面ABCD，/PDMA， E，G，F分别为MB，PB，PC的中点， 且2ADPDMA. （1）求证：平面EFG 平面PDC. （2）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比. 【命题立意】本题主要考查空间中的线面关系和面面关系.考查线面垂直，面面

29、垂直的判定及几何体积 的计算，考查了考生的识图能力、空间想象能力和逻辑思维能力. 【思路点拨】(1)先证明PDCBC 平面，再由/GFBC可证平面EFG 平面PDC.（2）求三棱锥 PMAB的体积关键是求点 P 到MAB平面的距离，由/PDMA可将该距离转化为点 D 到MAB平面的 距离. 【规范解答】 （1）ABCDMA平面，MAPD/,所以ABCDPD平面. 又BC平面ABCD，所以BCPD . 因为四边形ABCD为正方形，所以DCBC . 又DDCPD，因此PDCBC平面. 在PBC中，因为FG,分别为PCPB,的中点, 所以BCGF /，因此PDCGF平面. 又EFGGF平面, 所以P

30、DCEFG平面平面. (2)因为ABCDPD平面，四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1， 则 PD=AD=2,所以 3 8 . 3 1 PD SV ABCDABCDP正方形 ， 由题易知MAPDMABDA/,且平面,所以 DA即为点 P 到平面MAB的距离. 三棱锥 3 2 221 2 1 3 1 VMABP ， 所以: V MABP VABCDP ：. 13.（2010天津高考文科9）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是 正方形，FA平面 ABCD， BCAD，CD=1，AD=2 2，BADCDA45. （1）求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值. （2）证明 CD

31、平面 ABF. （3）求二面角 B-EF-A 的正切值. 【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能 力，运算能力和推理论证能力. 【思路点拨】 （1）CED 即为异面直线 CE 与 AF 所成的角.（2）证明 CD 垂直于两条相交直线 AB，FA. （3）做辅助线构造二面角的平面角. 【规范解答】(1)因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA/ED.故CED为异面直线 CE 与 AF 所成的角.因为 FA平面 ABCD，所以 FACD.故 EDCD. 在 RtCDE 中，CD=1，ED=2 2，CE= 22 CDED=3,故 cosCED=

32、 ED CE = 2 2 3 . 所以异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为 2 2 3 . (2)过点 B 作 BG/CD,交 AD 于点 G，则45BGACDA .由 45BAD ,可得 BGAB,从而 CD AB,又 CDFA,FAAB=A,所以 CD平面 ABF. (3)由（2）及已知，可得 AG=2，即 G 为 AD 的中点.取 EF 的中点 N，连接 GN，则 GNEF,因为 BC/AD,所以 BC/EF.过点 N 作 NMEF，交 BC 于 M，则GNM为二面角 B-EF-A 的平面角. 连接 GM，可得 AD平面 GNM,故 ADGM.从而 BCGM.由已知，可得 GM平面

33、 MAB.由 NG/FA,FA GM,得 NGGM. 在 RtNGM 中，tan GM1 NG4 GNM, 所以二面角 B-EF-A 的正切值为 1 4 . 14.（2010广东高考文科18）如图，AEC是半径为a的 半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD 的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED， FB=5a. （1）证明：EBFD； （2）求点B到平面FED的距离. 【命题立意】本题考察空间点、线、面之间的关系以及空间 几何体的相关计算. 【思路点拨】(1) FCBED 平面FCAD , 又点E为 AC的中点EBADEB 平面 FBD.EBFD （2）利用 F BEDB EFD VV 求解. 【规范解答】(1) FD FC平面BED，BE 平面BED， FCBE， 又 点E为AC 的中点，B 为 AC 中点， BEAC ，且AC FCC ， AC，FC 平面BFD， BE 平面BFD， 又 FD 平面BFD， .BEFD （2） 由（1）得，BEBF， 5BFa， 22 6EFEBBFa， 又 点B和点C为线段AD的三等分点， ABBCCDa， 5F