新课标版高考数学复习题库考点15数列求和

1、 考点 15 数列求和 考点 15 数列求和 1.（2010天津高考理科6）已知 n a是首项为 1 的等比数列， n s是 n a的前 n 项和，且 36 9ss， 则数列 1 n a 的前 5 项和为( ) （A） 15 8 或 5 （B） 31 16 或 5 （C） 31 16 （D） 15 8 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式 【思路点拨】求出数列 n a的通项公式是关键 【规范解答】选 C设 1n n aq ，则 36 36 11 99(1)1 11 qq qq qq ， 即 33 918,2qqq ， 11 11 2( ) 2 nn n n a a ， 5 5

2、1 1 ( ) 31 2 1 16 1 2 T 2.（2010天津高考文科5）设an是等比数列，公比2q ，Sn为an的前 n 项和 记 * 2 1 17 ,. nn n n SS TnN a 设 0 n T为数列 n T的最大项，则 0 n= 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前 n 项和、基本不等式等基础知识 【思路点拨】化简 n T利用基本不等式求最值 【规范解答】,)2(, 21 )2(1 , 21 )2(1 11 2 1 2 1n n n n n n aa a S a S ,17)2( )2( 16 21 1 )2( 21 )2(1 21 )2(1 17 1 2 11 n nn n

3、n n a aa T , 8)2( )2( 16 n n 当且仅当16)2( 2 n 即216 n ，所以当 n=4，即 0 4n 时， 4 T最大 【答案】4 3.（2010安徽高考理科20）设数列 12 , n a aa中的每一项都不为 0 证明： n a为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有 1223111 111 nnn n a aa aa aa a 【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条件等知识，考查考生推理论证，运算求解能力 【思路点拨】证明可分为两步，先证明必要性，适宜采用列项相消法，再证明充分性， 可采用数学归纳法或综合法 【规范解答】已知数列 n a中的每一项都不为

4、0，先证 若数列 n a为等差数列，设公差为d， 当0d 时，有 11 1111 () nnnn a ad aa ， 12231 111 nn a aa aa a 12231 1111111 ()()() nn daaaaaa 11 111111 1111 () n nnn aan daada aa a 即对任何nN，有 12231 111 nn a aa aa a 11n n a a 成立； 当0d 时，显然 12231 111 nn a aa aa a 11n n a a 也成立 再证 对任意nN，有 12231 111 nn a aa aa a 11n n a a ， 1223112 1

5、111 nnnn a aa aa aaa 12 1 n n a a ， 由-得： 12 1 nn aa 12 1 n n a a - 11n n a a 上式两端同乘 112nn a aa ，得 112 (1) nn anana ， 同理可得 11 (1) nn anana ， 由-得： 12 2 nnn aaa ，所以 n a为等差数列 【方法技巧】 1、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等，转化为常见的 类型进行求和； 2、对数列中的含 n 的式子，注意可以把式子中的 n 换为n1或n1得到相关的式子，再进行化简变形 处理；也可以把 n 取自然数中的具

6、体的数 1，2，3等，得到一些等式归纳证明. 4.（2010山东高考理科18）已知等差数列 n a满足： 3 7a ， 57 26aa， n a的前n项和为 n S （1）求 n a及 n S （2）令 n b 2 1 1 n a (nN*)，求数列 n b的前n项和 n T 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻 辑推理、等价变形和运算求解能力. 【思路点拨】 (1)设出首项和公差， 根据已知条件构造方程组可求出首项和公差， 进而求出求 n a及 n S ； (2) 由(1)求出 n b的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法. 【规范

7、解答】 （1）设等差数列 n a的公差为 d，因为 3 7a ， 57 26aa，所以有 所以321)=2n+1 n an（； n S= n(n-1) 3n+2 2 = 2 n +2n. （2）由（1）知2n+1 n a ，所以bn= 2 1 1 n a = 2 1 = 2n+1)1（ 11 4 n(n+1) = 111 (-) 4n n+1 ， 所以 n T= 111111 (1-+-) 4223n n+1 = 11 (1-)= 4n+1 n 4(n+1) ， 即数列 n b的前n项和 n T= n 4(n+1) . 【方法技巧】数列求和的常用方法： 1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，

8、注意对公比1q的讨论. 2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求 和公式的推导过程的推广. 3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. 4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项， 注意一般情况下剩下正负项个数相同. 5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广). 5.（2010安徽高考文科21）设 12 , n C CC是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正 半轴上，且都与直线 3 3 yx相切，对每一个正整数n,圆 n

9、C都与圆 1n C 相互外切，以 n r表示 n C的半径， 已知 n r为递增数列. (1)证明： n r为等比数列； （2）设 1 1r ，求数列 n n r 的前n项和. 【命题立意】本题主要考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考查考生的抽象概括 能力以及推理论证能力 【思路点拨】 （1）求直线倾斜角的正弦，设 n C的圆心为(,0) n ，得2 nn r，同理得 11 2 nn r ，结合 两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即 n r中 1n r 与 n r的关系，可证明 n r为等 比数列 （2）利用（1）的结论求 n r的通项公式，代入数列 n

10、 n r ，然后采用错位相减法求和. 【规范解答】 331 ,sin, 332 x（1）将直线y=的倾斜角记为 , 则有t an = n nnnn n r1 sin2r , 2 C 设的圆心为（ ，0），则由题意得知，得 n+1n+1 2r同理， 又 n+1nnn+1 rr nnn+1n+1n+1n 2r2rr3r将和，代入上式解得 ， n rq3故为公比的等比数列。 121 n 1 333 1 33.333() 3 , 2 322 3 n nnnn nnn , 得 2S 1 1 9139(23) 3 () 3 4224 n n n n Sn 【方法技巧】 1、对数列中的含 n 的式子，注意可

11、以把式子中的 n 换为n1或n1得到相关的式子，再进行化简变形处 理； 2、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的处理，如分组、裂项相消、错位相减等 ， 转化为常见的类型进行求和 6.（2010江苏高考9）设各项均为正数的数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 312 2aaa，数列 n S是公差为d的等差数列 （1）求数列 n a的通项公式（用dn,表示） ； （2） 设c为实数，对满足nmknm且3的任意正整数knm,，不等式 knm cSSS都成立。求证 ： c的最大值为 2 9 【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题等有关知识

12、，考 查探索、分析及论证的能力 【思路点拨】 （1）先求 n S，然后利用 nn aS与的关系求解；（2）利用（1）中所求 n S利用基本不等式解 决 【规范解答】 （1）由题意知： 0d ， 11 (1)(1) n SSndand 21323213 233()aaaaSSSS ， 2 11 2 1 )2()(3daada 化简，得： 22 1111 20,aaddad ad 22 (1), nn Sdndnd Sn d ， 当 2n 时， 22222 1 (1)(21) nnn aSSn dndnd ，适合 1n 的情形 故所求 2 (21) n and （2）方法一： 222222222

13、mnk SScSm dn dc k dmnc k ， 22 2 mn c k 恒成立 又 nmknm且3 ， 22 2222 2 9 2()()9 2 mn mnmnk k ， 故 9 2 c ，即c的最大值为2 9 方法二：由 1 ad 及 1 (1) n Sand ，得 0d ， 22 n Sn d 于是，对满足题设的 knm, ，m n ，有 2 222222 ()99 () 222 mnk mn SSmn ddd kS 所以c的最大值 方法三：任取实数 9 2 a 设k为偶数，令 33 1,1 22 mknk ，则 knm, 符合条件， 且 22222222 331 ()(1)(1)

14、(94) 222 mn SSmn ddkkdk 于是，只要 22 942kak ，即当 2 29 k a 时， 22 1 2 2 mnk SSdakaS 所以满足条件的 9 2 c ，从而 因此c的最大值为 9 2 7.（2010天津高考文科22）在数列 n a中， 1 a=0，且对任意 k * N， 2k 12k2k+1 a,a,a 成等差数列， 其公差为 2k. （1）证明 456 a ,a ,a成等比数列. （2）求数列 n a的通项公式. （3）记 222 23 23 n n n T aaa ，证明 n 3 2nT2 n 2 （2）. 【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前 n

15、项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识， 考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 【思路点拨】 （1） （2）应用定义法证明、求解；（3）对 n 分奇数、偶数进行讨论 【规范解答】 （1）由题设可知， 21 22aa， 32 24aa， 43 48aa， 54 412aa， 65 618aa。从而 65 54 3 2 aa aa ，所以 4 a， 5 a， 6 a成等比数列 （2）由题设可得 2121 4 ,* kk aak kN 所以 2112121212331 . kkkkk aaaaaaaa + 2112121212331 . kkkkk aaaa

16、aaaa 441.4 1kk 21 ,*k kkN. 由 1 0a ，得 21 21 k ak k ，从而 2 221 22 kk aakk . 所以数列 n a的通项公式为 2 2 1, 2 , 2 n n n a n n 为奇数 为偶数 或写为 2 11 24 n n n a ，*nN （3）由（2）可知 21 21 k ak k ， 2 2 2 k ak， 以下分两种情况进行讨论： 当 n 为偶数时，设 n=2m*mN 若1m ，则 2 2 22 n k k k n a ， 若2m ，则 22 222 11 2 21111 221 2214441 221 nmmmm kkkkk kkk kkkkkk aaakk k 2 11 11 4411 11 222 212121 mm kk kk mm k kk