高三数学总复习练习第一章集合与常用逻辑用语

1、一、重视教材习题的母题功能 你知道高考题是怎样命制的吗？看完本讲内容，洞晓了高考命题的 5 大常用手段，你就 明白了教材经典题目的重要性你还会陷入“高考高于天，教材放一边”的备考误区吗？ 编写本讲的目的，我们旨在提醒您：一轮复习要“抓纲靠本” ，“纲”就是考纲，“本” 就是课本要重拾起被遗忘忽视的课本，重温基础知识，重做典型题目，重视教材“母题” 的引领作用，发挥教材母题做一当十的功效 在此，仅以 2014 年新课标全国卷两套试题为例进行说明，以佐证教材习题的重要性 教材这样练 人教 A 版选 修 21P69 例 4. 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物 线相交

2、于 A，B 两点， 求线段 AB 的长 高考这样变 (2014新课标全国卷)设 F 为抛物 线 C： y23x 的焦点， 过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|() A. B6 30 3 C12 D7 3 教材这样练 人教 A 版必修 4P119 B 组 第 1 题第(4)小题 已知 D，E，F 分别是ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且a， BC CA b，c， 则 c b；a b； AB EF 1 2 1 2 BE 1 2 a b ；0 中 CF 1 2 1 2 AD BE CF 正确的等式的个数为() A1 B2 C3 D4 高考这样变 (2014新课

3、标全国卷)设 D， E， F 分别为ABC 的三边 BC， CA， AB 的中点， 则() EB FC A B. AD 1 2 AD C D. BC 1 2 BC 教材这样练 人教 A 版必修 5P14 例 5. 如图，一辆汽车在一条水平的 公路上向正西行驶，到 A 处时测得 公路北侧远处一山顶 D 在西偏北 15的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处， 测得此山顶在西偏北 25的方向 上， 仰角为 8， 求此山的高度 CD(精 确到 1 m) 高考这样变 (2014新课标全国卷) 如图， 为测量山高 MN， 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量 观测点从 A 点测得 M 点的 仰角MAN

4、60，C 点的仰 角CAB45以及MAC 75； 从 C 点测得MCA60， 已知山高 BC100 m，则山高 MN_m. 总之，教材中的例题、习题是经过精心挑选而设计的，它蕴藏着丰富的思想方法和研究 教材这样练 人教 B 版必修 5P30 练习 A. 写出下面数列an的前 5 项： 1a12，an an1(n2,3,4,)； 1 2 2a13，anan12(n2,3,4，)； 3a11，anan1(n2,3,4，) 1 an1 高考这样变 (2014新课标全国卷) 数列an满足 an1， 1 1an a82，则 a1 _. 教材这样练 人教 A 版必修 1 P39B 组第 3 题 已知函数

5、f(x)是偶函 数，而且在(0，)上是 减函数，判断 f(x)在(， 0)上是增函数还是减函数， 并证明你的判断 高考这样变 (2014新课标全国卷) 已知偶函数 f(x)在0，) 单调递减，f(2)0若 f(x 1)0 ，则 x 的取值范围是 _ 资源不少试题所涉及的思想方法，都源于教材高考数学一轮复习中，要做到对教材中的 经典题目能够熟练地求解，掌握它的通性通法、答题规范、思路分析及知识内涵研读教材、 汲取营养，充分发挥例题、习题潜在的功能，发挥教材“母本”的作用 为减少考生翻阅教材、 查找典型题目之苦， 充分发挥我们编者占有广泛教学资源的优势， 我们在人教 A 版、人教 B 版、北师大版

6、等教材中优中选优地筛选了一些经典题目，做为课前 自检基础知识使用，就是充分发挥教材母题的引领带动作用 二、重视经典题目的发散思维 本讲内容是上一讲内容的顺承和拓展，其主旨还是让学生在做题的过程中学会多思考和 多领悟如果说上一讲是教给学生“做什么”的问题，那么这一讲是教给学生“怎么做”的 问题在平时的复习备考中，做海量试题必不可少，但绝非上策应当充分发挥典型试题的 带动作用和举一反三的功能，注意培养多题一解、一题多解和一题多变思维能力的养成多 题一解有利于培养学生的求同思维，一题多解有利于培养学生的求异思维，一题多变有利于 培养学生思维的灵活性与深刻性 多题一解和一题多解主要靠学生在平时做题的过

7、程中，发挥主观能动性，多思考，多总 结，而一题多解则需要教师多找一些典型题目多拓展，多发散，帮学生举一反三、悟通练 透 本书在“一题多变”上主要做了以下两方面的尝试： (一)经典“题根”的发散 茫茫题海，寻根是岸木有本，水有源，题有根在平时的训练中，可将一些经典的题 目做为“题根” ，在题目发散中，要学会演变题目条件、背景，变换设问，在不断变换的过程 中，将此类问题厘清弄透，从一个个小问题中获取大知识，让其“枝繁叶茂” 、“生机盎然” ， 从而彻底打通各知识点间的关节 示例：利用基本不等式求最值 (二)考查角度的发散 高考中的一些热门考点，虽知年年必考，但学生往往却在这类考点上失分，究其原因，

8、 主要是此类考点考查灵活、角度多变为将这类考点练深练透，有必要对这类考点进行多维 探究备考不留死角，高考不留遗憾！ 角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小 2已知函数 f(x)log2x，若 x1(1,2)，x2(2，)， 1 1x 则() Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0 Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 示例：函数单调性的应用 若本题条件变为：已知 a0，b0，a 2b3， 则 的最小值为_. 2 a 1 b 本题的条件变为：已知 a0，b0, c0， 且 abc1，则 的最 1 a 1 b 1 c 小值为_. 本题的条件和结论互 换，即：已知 a0， b 0， 4

9、， 则 a 1 a 1 b b的 最 小 值 为 _. 已知 a0，b0，ab1,则 的最 1 a 1 b 小值为_ 解析a0,b0,ab1, 2 1 a 1 b ab a ab b b a a b 224,即 的最小值为 4,当且仅 b a a b 1 a 1 b 当 ab 时等号成立. 1 2 答案4 已知各项为正数的等 比数列an满足 a7a6 2a5， 若存在两项 am， an， 使得2a1，aman2 则 的 最 小 值 为 1 m 4 n _ 本题的条件不变，则(11 a ) 的最小值为_. ( 11 b ) 利用基本不等式求最值的方法及注意点 (1)知和求积的最值：求解此类问题的

10、关键：明确“和为定值，积有最大 值” 但应注意以下两点：具备条件正数；验证等号成立 (2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值” ，直接应用基本不等式 求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件 (3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常 采用“变量替换”或“常数 1”的替换，构造不等式求解 (4)利用基本不等式求最值时应注意：非零的各数(或式)均为正；和或积 为定值；等号能否成立，即“一正、二定、三相等” ，这三个条件缺一不 可. 角度一、角度二是 对函数单调性直接 应用的考查 角度三：解函数不等式 3f(x)是定义在(0,)上 的单调增函数,满足 f(xy)

11、f(x)f(y),f(3)1,当 f(x) f(x8)2 时,x 的取值 范围是() A(8，) B(8,9 C8,9 D(0,8) 角度一：求函数的 值域或最值 1函数 f(x) Error!的最大值为 _. 利用函数单调性转变为不等 式，体现知识间的交汇 高考对函数单调性的 考查多以选择题、填空题的 形式出现，有时也应用于解 答题中的某一问中 函数单调性的应用，归 纳起来常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最 值； (2)比较两个函数值或 两个自变量的大小； (3)解函数不等式； (4)利用单调性求参数 的取值范围或值. 由单调性求参数范 围体现函数单调性 的深化 角度四：利用单调性求

12、参数的取值范围或值 4 已 知 函 数 f(x) Error!满 足 对 任 意 的 实 数 x1x2, 都 有 3与集合t|t3表示的是同一集合() (3)a 在集合 A 中，可用符号表示为 aA() (4)零不属于自然数集() 答案：(1)(2)(3)(4) 2(人教 A 版教材练习)选择适当的方法表示下列集合： (1)由小于 8 的所有素数组成的集合； (2)不等式 4x53 的解集 答案：(1)2,3,5,7(2)x|x2 基础盘查二集合间的基本关系 (一)循纲忆知 1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 2在具体情境中，了解全集与空集的含义 (二)小题查验 1判断正误

13、(1)若 AB，则 AB() (2)若 AB，则 AB 且 AB() (3)N*NZ() (4)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集() 答案：(1)(2)(3)(4) 2(人教 A 版教材例题改编)集合a，b的所有子集为_ 答案：a，b，a，b， 基础盘查三集合的基本运算 (一)循纲忆知 1理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 2理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 3能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算 (二)小题查验 1判断正误 (1)若 ABAC，则 BC() (2)集合 A 与集合 A 在全集 U 中的补集没有公共元素

14、() (3)并集定义中的“或”能改为“和”() (4)AB 是由属于 A 且属于 B 的所有元素组成的集合() 答案：(1)(2)(3)(4) 2(人教 A 版教材习题改编)已知全集 U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5，B1,3,5,7，则 A(UB)_. 答案：2,4 3已知集合 Ax|3x7，Bx|2x0，则 AB 为()2xx2 Ax|0x2Bx|12 解析：选 D因为 Ax|0 x2，By|y1，ABx|x0，ABx|12，故选 D. 2.已知数集 Aa1，a2，an(1a1a2an，n2)具有性质 P：对任意的 i， j(1ijn)，aiaj与 两数中至少有一个属于 A，则称

15、集合 A 为“权集” ，则() aj ai A1,3,4为“权集” B1,2,3,6为“权集” C“权集”中元素可以有 0 D“权集”中一定有元素 1 解析 ： 选 B由于 34 与 均不属于数集1,3,4， 故 A 不正确， 由于 12,13,16,23， 4 3 ， 都属于数集1,2,3,6，故 B 正确，由“权集”的定义可知 需有意义，故不能 6 2 6 3 1 1 2 2 3 3 6 6 aj ai 有 0，同时不一定有 1，C，D 错误，选 B. 类题通法 解决集合创新型问题的方法 (1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够 应用到具体的解题过程

16、之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在 (2)用好集合的性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合 问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在 关键之处用好集合的性质 演练冲关 1若 xA，则 A，就称 A 是伙伴关系集合，集合 M的所有非空 1 x 1，0，1 2，2，3 子集中具有伙伴关系的集合的个数是() A1B3 C7 D31 解析：选 B具有伙伴关系的元素组是1； ，2， 1 2 所以具有伙伴关系的集合有 3 个： 1，. 1 2，2 1，1 2，2 2对于任意两个正整数 m，n，定义运算(用表示运算符号)： 当 m

17、，n 都是正偶数或都 是正奇数时，mnmn；当 m，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mnmn.例 如 464610,373710,343412.在上述定义中， 集合 M(a， b)|ab 12，a，bN*的元素有_个 解析：m，n 同奇同偶时有 11 组：(1,11)，(2,10)，(11,1)；m，n 一奇一偶时有 4 组： (1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)，所以集合 M 的元素共有 15 个 答案：15 一、选择题 1(2015广州测试)已知集合 AError!，则集合 A 中的元素个数为() A2B3 C4 D5 解析 ： 选 CZ，2x 的取值有3，1,1,3，

18、又xZ，x 值分别为 5,3,1， 3 2x 1， 故集合 A 中的元素个数为 4，故选 C. 2(2014江西高考)设全集为 R，集合 Ax|x290，Bx|1x5，则 A(RB) () A(3,0) B(3，1) C(3，1 D(3,3) 解析 ： 选 C由题意知，Ax|x290 x|3x3，Bx|1x5，RB x|x1 或 x5 A(RB)x|3x3x|x1 或 x5x|3x1 3已知集合 Ax|y，Bx|xm2，mA，则()1x2 AAB BBA CAB DBA 解析 ： 选 B由题意知 Ax|y，Ax|1x1，Bx|xm2，mA1x2 x|0 x1，BA，故选 B. 4设函数 f(x

19、)lg(1x2)，集合 Ax|yf(x)，By|yf(x)，则图 中阴影部分表示的集合为() A1,0 B(1,0) C(，1)0,1) D(，1(0,1) 解析：选 D因为 Ax|yf(x)x|1x20 x|1x1，则 u1x2(0,1， 所以 By|yf(x)y|y0， AB(，1)，AB(1,0， 故图中阴影部分表示的集合为(，1(0,1)，选 D. 5 (2015西安一模)设集合 A(x， y)|xy1， B(x， y)|xy3， 则满足 M(AB) 的集合 M 的个数是() A0 B1 C2 D3 解析：选 C由题中集合可知，集合 A 表示直线 xy1 上的点，集合 B 表示直线 x

20、y 3 上的点，联立Error!可得 AB(2，1)，M 为 AB 的子集，可知 M 可能为(2， 1)，所以满足 M(AB)的集合 M 的个数是 2，故选 C. 6在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ，记为k，即k5n k|nZ，k0,1,2,3,4.给出如下四个结论： 2 0144；33；Z01234；“整数 a，b 属于同一 类”的充要条件是“ab0” 其中，正确结论的个数是() A1 B2 C3 D4 解析 ： 选 C因为 2 01440254，又因为45n4|nZ，所以 2 0144，故 正确；因为35(1)2，所以32，故不正确；因为所有的整数 Z

21、 除以 5 可得的 余数为 0,1,2,3,4，所以正确；若 a，b 属于同一类 ，则有 a5n1k，b5n2k，所以 a b5(n1n2)0，反过来，如果 ab0，也可以得到 a，b 属于同一“类” ，故正 确故有 3 个结论正确 二、填空题 7已知 A0，m,2，Bx|x34x0，若 AB，则 m_. 解析：由题知 B0，2,2，A0，m,2，若 AB，则 m2. 答案：2 8(2014重庆高考)设全集 UnN|1n10，A1,2,3,5,8，B1,3,5,7,9，则( UA)B_. 解析：由题意，得 U1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故UA4,6,7,9,10，所以(UA)B

22、7,9 答案：7,9 9(2015昆明二模)若集合 Ax|x29x0，xN*，BError!，则 AB 中元素的个 数为_ 解析：解不等式 x29x0 可得 0 x9，所以 Ax|0 x9，xN* 1,2,3,4,5,6,7,8，又 N*，yN* ，所以 y 可以为 1,2,4，所以 B1,2,4，所以 ABB， 4 y AB 中元素的个数为 3. 答案：3 10(2015南充调研)已知集合 Ax|42x16，Ba，b，若 AB，则实数 ab 的 取值范围是_ 解析 ： 集合 Ax|42x16x|222x24x|2x42,4， 因为 AB， 所以 a2， b4，所以 ab242，即实数 ab

23、的取值范围是(，2 答案：(，2 三、解答题 11已知集合 A4,2a1，a2，Ba5,1a,9，分别求适合下列条件的 a 的 值 (1)9(AB)； (2)9AB. 解：(1)9(AB)，2a19 或 a29， a5 或 a3 或 a3. 当 a5 时，A4,9,25，B0，4,9； 当 a3 时，a51a2，不满足集合元素的互异性； 当 a3 时，A4，7,9，B8,4,9， 所以 a5 或 a3. (2)由(1)可知，当 a5 时，AB4,9，不合题意， 当 a3 时，AB9 所以 a3. 12(2015福州月考)已知集合 Ax|1x3，集合 Bx|2mx1m (1)当 m1 时，求 A

24、B； (2)若 AB，求实数 m 的取值范围； (3)若 AB，求实数 m 的取值范围 解：(1)当 m1 时，Bx|2x2， 则 ABx|2x3 (2)由 AB 知Error!解得 m2， 即实数 m 的取值范围为(，2 (3)由 AB，得 若 2m1m，即 m 时，B，符合题意； 1 3 若 2m1m，即 m 时，需Error!或Error! 1 3 得 0m 或，即 0m . 1 3 1 3 综上知 m0，即实数 m 的取值范围为0，) 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 基础盘查一四种命题及其关系 (一)循纲忆知 1理解命题的概念 2了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命

25、题与逆否命题，会分析四种命题的 相互关系 (二)小题查验 1判断正误 (1)“x22x30，则方程 x2xm0 有实数根则其逆否命 题为_ 答案：若方程 x2xm0 无实根，则 m0 基础盘查二充分条件与必要条件 (一)循纲忆知 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 (二)小题查验 1判断正误 (1)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件() (2)当 p 是 q 的充要条件时，也可说成 q 成立当且仅当 p 成立() (3)q 不是 p 的必要条件时，“p/q”成立() 答案：(1)(2)(3) 2(人教 A 版教材练习)在下列各题中，p 是 q 的什么条件？ (1)p：x2

26、3x4，q：x；3x4 (2)p：x30，q：(x3)(x4)0； (3)p：b24ac0(a0)，q：ax2bxc0(a0)有实根 答案：(1)必要(2)充分(3)充要 |(基础送分型考点自主练透)考点一 命题及其相互关系 必备知识 1四种命题及相互关系 2四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系 提醒当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前 提不动 题组练透 1命题“若 x23x40，则 x4”的逆否命题及其真假性为() A“若 x4，则 x23x40”为真命题 B“若 x4

27、，则 x23x40”为真命题 C“若 x4，则 x23x40”为假命题 D“若 x4，则 x23x40”为假命题 解析：选 C根据逆否命题的定义可以排除 A，D，因为 x23x40，所以 x4 或 1，故选 C. 2以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号) “若 log2a0，则函数 f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题； 命题“若 a0，则 ab0”的否命题是“若 a0，则 ab0” ； 命题“若 x，y 都是偶数，则 xy 也是偶数”的逆命题为真命题； 命题“若 aM，则 bM”与命题“若 bM，则 aM”等价 解析 ： 对于，若 log2a0log

28、21，则 a1，所以函数 f(x)logax 在其定义域内是增函数， 故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命题的 逆命题是“若 xy 是偶数，则 x、y 都是偶数” ，是假命题，如 134 是偶数，但 3 和 1 均 为奇数，故不正确；对于，不难看出，命题“若 aM，则 bM” 与命题“若 bM，则 aM”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确综上可知正确的说法有. 答案： 类题通法 1由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即 得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否 命题 2命题真假的判

29、断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断 (2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断 |(重点保分型考点师生共研)考点二 充分必要条件的判定 必备知识 1充分条件与必要条件的相关概念 (1)如果 pq，则 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件； (2)如果 pq，但 qp，则 p 是 q 的充分不必要条件；/ (3)如果 pq，且 qp，则 p 是 q 的充要条件； (4)如果 qp，且 pq，则 p 是 q 的必要不充分条件；/ (5)如果 pq，且 qp，则 p 是 q 的既不充分又不必要条件/ 2从集合角度理解充分条件与必要条件 若 p 以集合 A

30、 的形式出现，q 以集合 B 的形式出现，即 Ap(x)，Bq(x)，则关于 充分条件、必要条件又可以叙述为： (1)若 AB，则 p 是 q 的充分条件； (2)若 AB，则 p 是 q 的必要条件； (3)若 AB，则 p 是 q 的充要条件； (4)若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件； (5)若 AB，则 p 是 q 的必要不充分条件； (6)若 AB 且 AB，则 p 是 q 的既不充分又不必要条件 提醒充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“pq”“qp” (2)传递性 ： 若 p 是 q 的充分(必要)条件，q

31、 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要) 条件，即“pq 且 qr”“pr”(“pq 且 qr”“pr”) 典题例析 1(2014浙江高考)设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD，则“四边形 ABCD 为菱 形”是“ACBD”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 A当四边形 ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即 ACBD.当四边形 ABCD 中 ACBD 时， 四边形 ABCD 不一定是菱形， 还需要 AC 与 BD 互相平分 综上知， “四 边形 ABCD 为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件 2给定两

32、个命题 p，q.若綈 p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是綈 q 的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 A由 q綈 p 且綈 p/ q 可得 p綈 q 且綈 q/ p，所以 p 是綈 q 的充分不 必要条件 类题通法 充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法三种不同的方法各适 用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母 的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否 命题来判断 提醒区别 A 是 B 的充分不必要条件(AB 且 BA)与 A 的充分不

33、必要条件是 B(B/ A 且 AB)两者的不同/ 演练冲关 1若 p：|x|x，q：x2x0.则 p 是 q 的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 Ap：x|x|xx|x0A， q：x|x2x0 x|x0 或 x1B， AB， p 是 q 的充分不必要条件 2(2015石家庄第一次模拟)若命题 p： k，kZ，命题 q： f(x)sin(x)(0) 2 是偶函数，则 p 是 q 的() A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 A当 k，kZ 时，f(x)cos x 是偶函数，所以 p 是 q 的充分条

34、件； 2 若函数 f(x)sin(x)(0)是偶函数，则 sin 1，即 k，kZ，所以 p 是 q 的 2 必要条件，故 p 是 q 的充要条件，故选 A. |(题点多变型考点全面发掘)考点三 充分必要条件的应用 一题多变 典型母题 已知 Px|x28x200， 非空集合 Sx|1mx1m 若 xP 是 xS 的必要 条件，求 m 的取值范围 解由 x28x200 得2x10， Px|2x10， 由 xP 是 xS 的必要条件，知 SP. 当 S时满足 SP，则 1m1m.m0. 当 S时，则Error!0m3. 综上，可知 m3 时，xP 是 xS 的必要条件，即所求 m 的取值范围是(，

35、3. 题点发散 1本例条件不变，问是否存在实数 m，使 xP 是 xS 的充要条件 解：若 xP 是 xS 的充要条件，则 PS， Error!Error! 即不存在实数 m，使 xP 是 xS 的充要条件 题点发散 2本例条件不变，若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范 围 解：由例题知 Px|2x10， 綈 P 是綈 S 的必要不充分条件， PS 且 SP./ 2,101m,1m Error!或Error! m9，即 m 的取值范围是9，) 类题通法 利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数 的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要

36、注意区间端点值的检验其思维方式是： (1)若 p 是 q 的充分不必要条件，则 pq 且 qp；/ (2)若 p 是 q 的必要不充分条件，则 pq，且 qp；/ (3)若 p 是 q 的充要条件，则 pq. 一、选择题 1设集合 Mx|0x3，Nx|0x2，那么“aM”是“aN”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 BMx|0x3，Nx|0bc2，则 ab； 若 sin sin ，则 ； “实数 a0”是“直线 x2ay1 和直线 2x2ay1 平行”的充要条件； 若 f(x)log2x，则 f(|x|)是偶函数 其中正确命题的序号是_ 解析

37、：对于，ac2bc2，c20，ab 正确； 对于，sin 30sin 150/ 30150，所以错误； 对于，l1l2A1B2A2B1，即2a4aa0 且 A1C2A2C1，所以正确； 显然正确 答案： 10已知 ：xa，：|x1|1.若 是 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围为 _ 解析：xa，可看作集合 Ax|xa， ：|x1|1，0x2， 可看作集合 Bx|0x0，a1，函数 f(x)axxa 有零点，则 綈 p：_. 解析：全称命题的否定，把全称量词写成存在量词，同时把结论否定故綈 p：a0， a1，函数 f(x)axxa 没有零点 答案：a0，a1，函数 f(x)axxa 没有

38、零点 |(基础送分型考点自主练透)考点一 全称命题与特称命题的真假判断 必备知识 (1)全称命题：含有全称量词(所有、一切、任意、全部、每一个等)的命题，叫做全称命 题；“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为：xM，p(x) (2)特称命题：含有存在量词(存在一个、至少一个、有些、某些等)的命题，叫做特称命 题；“存在 M 中的元素 x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为：x0M，p(x0) 题组练透 1(2015皖南八校联考)下列命题中，真命题是() A存在 x0R，sin2cos2 x0 2 x0 2 1 2 B任意 x(0，)，sin xcos x C任意 x(0，

39、)，x21x D存在 x0R，x x01 2 0 解析：选 C对于 A 选项：xR，sin2cos21，故 A 为假命题；对于 B 选项：存 x 2 x 2 在 x ，sin x ，cos x，sin x0 恒成立，C 为真命题；对于 D 选项：x2x12 0 恒成立，不存在 x0R， 3 4 ( x1 2 ) 3 4 使 x x01 成立，故 D 为假命题 2 0 2设非空集合 A，B 满足 AB，则以下表述正确的是() Ax0A，x0BBxA，xB Cx0B，x0A DxB，xA 解析：选 B根据集合的关系以及全称、特称命题的含义可得 B 正确 类题通法 全称命题与特称命题真假的判断方法

40、命题名称真假判断方法一判断方法二 真所有对象使命题真否定为假 全称命题 假存在一个对象使命题假否定为真 真存在一个对象使命题真否定为假 特称命题 假所有对象使命题假否定为真 提醒不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否 定的真假 |(基础送分型考点自主练透)考点二 含有一个量词的命题的否定 必备知识 命题命题的否定 xM，p(x)x0M，綈 p(x0) x0M，p(x0)xM，綈 p(x) 题组练透 1(2014天津高考)已知命题 p：x0，总有(x1)ex1，则綈 p 为() Ax00，使得(x01)ex01 Bx00，使得(x01)ex01 Cx0，总有(x1)

41、ex1 Dx0，总有(x1)ex1 解析：选 B“x0，总有(x1)ex1”的否定是“x00，使得(x01)ex01” 故 选 B. 2写出下列命题的否定并判断其真假： (1)p：不论 m 取何实数值，方程 x2mx10 必有实数根； (2)p：有的三角形的三条边相等； (3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)p：x0N，x 2x010. 2 0 解：(1)綈 p：存在一个实数 m0，使方程 x2m0 x10 没有实数根 因为该方程的判别式 m 40 恒成立， 2 0 故綈 p 为假命题 (2)綈 p：所有的三角形的三条边不全相等 显然綈 p 为假命题 (3)綈 p：有的菱形的对角线不垂直 显

42、然綈 p 为假命题 (4)綈 p：xN，x22x10. 显然当 x1 时，x22x10 不成立， 故綈 p 是假命题 类题通法 全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时， 一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论， 而一般命题的否定只需直接否定结论即可 提醒对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形 式，再写出命题的否定 |(重点保分型考点师生共研)考点三 含有逻辑联结词的命题的真假判断 必备知识 确定 pq，pq，綈 p 真假的方法： pq见假即假，pq见真即真，p 与綈 p真假相反 典题例析

43、(2014湖南高考)已知命题 p： 若 xy，则xy； 命题 q： 若 xy，则 x2y2.在命题 pq；pq；p(綈 q)；(綈 p)q 中，真命题是() AB C D 解析：选 C当 xy 时，xy，故命题 p 为真命题，从而綈 p 为假命题 当 xy 时，x2y2不一定成立，故命题 q 为假命题，从而綈 q 为真命题 由真值表知，pq 为假命题；pq 为真命题；p(綈 q)为真命题；(綈 p)q 为假 命题故选 C. 类题通法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题即复合命题的真假，其步骤如下： (1)判断复合命题的结构； (2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假； (3)依据含有“或” 、

44、“且” 、“非”的命题的真假判断方法，作出判断即可 演练冲关 (2015唐山统考)已知命题 p：xR，x3x4；命题 q：x0R，sin x0cos x0 . 2 则下列命题中为真命题的是() Apq B綈 pq Cp綈 q D綈 p綈 q 解析 ： 选 B若 x3x4， 则 x0 或 x1， 命题 p 为假命题 ； 若 sin xcos xsin2 ( x 4 ) ，则 x 2k(kZ)，即 x2k(kZ)，命题 q 为真命题，綈 pq 为真2 4 3 2 7 4 命题 |(题点多变型考点全面发掘)考点四 利用复合命题的真假求参数范围 一题多变 典型母题 已知命题 p： 关于 x 的不等式

45、ax1(a0， a1)的解集是x|x0， 命题 q： 函数 ylg(ax2 xa)的定义域为 R，如果 pq 为真命题，pq 为假命题，求实数 a 的取值范围 解由关于 x 的不等式 ax1(a0，a1)的解集是x|x0，知 0a1； 由函数 ylg(ax2xa)的定义域为 R， 知不等式 ax2xa0 的解集为 R， 则Error!解得 a . 1 2 因为 pq 为真命题，pq 为假命题， 所以 p 和 q 一真一假，即“p 假 q 真”或“p 真 q 假” ， 故Error!或Error! 解得 a1 或 0a ， 1 2 故实数 a 的取值范围是1，). ( 0，1 2 题点发散 1本

46、例条件不变，若 pq 为真，则 a 的取值范围为_ 解析：由 pq 为真知 p，q 都为真 a 的取值范围为. ( 1 2，1 ) 答案：(1 2，1 ) 题点发散 2在本例条件下，若命题 q(pq)真、綈 p 真，求实数 a 的取值范围 解：由命题 q(pq)真、綈 p 真知 p 假，q 真， p 假，a0 或 a1；q 真，a . 1 2 实数 a 的取值范围为. 1，) 题点发散 3若本例条件变为：已知命题 p：“x0,1，aex” ；命题 q：“x0 R，使得 x 4x0a0” 若命题“pq”是真命题，求实数 a 的取值范围 2 0 解：若命题“pq”是真命题，那么命题 p，q 都是真

47、命题 由x0,1，aex，得 ae； 由x0R，使 x 4x0a0， 2 0 知 164a0，a4，因此 ea4. 则实数 a 的取值范围为e,4 类题通法 根据命题真假求参数的方法步骤 (1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围 一、选择题 1已知命题 p：x0R，sin x0 x0，则綈 p 为() 1 2 Ax0R，sin x0 x0BxR，sin x x 1 2 1 2 Cx0R，sin x0 x0 DxR，sin x x 1 2 1 2 解析：选 D原

48、命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈 p：xR，sin x x. 1 2 2(2014重庆高考)已知命题 p：对任意 xR，总有|x|0； q：x1 是方程 x20 的根 则下列命题为真命题的是() Ap綈 q B綈 pq C綈 p綈 q Dpq 解析：选 A由题意知命题 p 是真命题，命题 q 是假命题，故綈 p 是假命题，綈 q 是真 命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知 p綈 q 是真命题故选 A. 3若命题“x0R，x (a1)x010”是真命题，则实数 a 的取值范围是() 2 0 A1,3 B(1,3) C(，13，) D(，1)(3，) 解析：选 D因为命题“x0R，x

49、(a1)x010” 等价于 x (a1)x010 有两 2 02 0 个不等的实根，所以 (a1)240，即 a22a30，解得 a1 或 a3，故选 D. 4已知命题 p：x0R，x02lg x0；命题 q：xR，x2x10.给出下列结论： 命题“pq”是真命题；命题“p綈 q”是假命题； 命题“綈 pq”是真命题；命题“p綈 q”是假命题 其中所有正确结论的序号为() A B C D 解析：选 D对于命题 p，取 x010，则有 102lg 10，即 81，故命题 p 为真命题； 对于命题 q，方程 x2x10，1410，故方程无解，即xR，x2x10，所 以命题 q 为真命题综上“pq”

50、 是真命题，“p綈 q” 是假命题，“綈 pq” 是真命题，“p 綈 q”是真命题，即正确的结论为. 5下列命题中错误的个数为() 若 pq 为真命题，则 pq 为真命题； “x5”是“x24x50”的充分不必要条件； 命题 p：x0R，x x010，则綈 p：xR，x2x10； 2 0 命题“若 x23x20，则 x1 或 x2” 的逆否命题为“若 x1 或 x2，则 x23x 20” A1 B2 C3 D4 解析：选 B对于，若 pq 为真命题，则 p，q 至少有一个为真，即可能有一个为假， 所以 pq 不一定为真命题，所以错误；对于，由 x24x50 可得 x5 或 x1，所 以“x5”

51、是“x24x50”的充分不必要条件，所以正确；对于，根据特称命题的 否定为全称命题，可知正确；对于，命题“若 x23x20，则 x1 或 x2”的逆否 命题为“若 x1 且 x2，则 x23x20” ，所以错误，所以错误命题的个数为 2，故选 B. 6(2015太原模拟)已知命题 p：x0R，ex0mx00，q：xR，x2mx10， 若 p(綈 q)为假命题，则实数 m 的取值范围是() A(，0)(2，) B0,2 CR D 解析：选 B若 p(綈 q)为假命题，则 p 假 q 真命题 p 为假命题时，有 0me；命 题 q 为真命题时，有 m240，即2m2.所以当 p(綈 q)为假命题时

52、，m 的取值范 围是 0m2. 二、填空题 7 命 题 p 的 否 定 是 “ 对 所 有 正 数 x ， x 1”， 则 命 题 p 可 写 为x _ 解析：因为 p 是綈 p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可 答案：x0(0，)，x01x0 8若“x2,5或 x(，1)(4，)”是假命题，则 x 的取值范围是_ 解析：根据题意得Error!解得 1x2，故 x1,2) 答案：1,2) 9若命题“xR，ax2ax20”是真命题，则实数 a 的取值范围是_ 解析：当 a0 时，不等式显然成立； 当 a0 时，由题意知Error!得8a0.则命题“p(綈 q)”是 1 2

53、 假命题； 已知直线 l1：ax3y10，l2：xby10，则 l1l2的充要条件是 3； a b “设 a，bR，若 ab2，则 a2b24”的否命题为：“设 a，bR，若 ab4”的否命题为：“设 a，bR，若 ab2，则 a2b24”正确 答案： 三、解答题 11已知命题 p：关于 x 的方程 x2ax40 有实根；命题 q：关于 x 的函数 y2x2ax 4 在3，)上是增函数若 p 或 q 是真命题，p 且 q 是假命题，求实数 a 的取值范围 解：命题 p 等价于 a2160，即 a4 或 a4； 命题 q 等价于 3，即 a12. a 4 由 p 或 q 是真命题，p 且 q 是

54、假命题知，命题 p 和 q 一真一假 若 p 真 q 假，则 a12； 若 p 假 q 真，则4a4. 故 a 的取值范围是(，12)(4,4) 12设 p：实数 x 满足 x24ax3a20，其中 a0. q：实数 x 满足Error! (1)若 a1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围 (2)綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 解：由 x24ax3a20，a0 得 ax3a， 即 p 为真命题时，ax3a， 由Error!得Error! 即 2x3，即 q 为真命题时 2x3. (1)a1 时，p：1x3. 由 pq 为真知 p、q 均为真命题， 则Error!

55、得 2x3， 所以实数 x 的取值范围为(2,3) (2)设 Ax|ax3a，Bx|2x3， 由题意知 p 是 q 的必要不充分条件， 所以 BA， 有Error!1a2， 所以实数 a 的取值范围为(1,2 命题点一集合及其运算 命题指数： 难度：中、低 题型：选择题、填空题 1 (2014四川高考)已知集合 Ax|(x1)(x2)0， 集合 B 为整数集， 则 AB() A1,0B0,1 C2，1,0,1 D1,0,1,2 解析：选 D化简集合 A 得 Ax|1x2，因为集合 B 为整数集，所以 AB 1,0,1,2 2 (2014辽宁高考)已知全集 UR， Ax|x0， Bx|x1， 则

56、集合U(AB)() Ax|x0 Bx|x1 Cx|0 x1 Dx|0 x1 解析：选 DAx|x0，Bx|x1， ABx|x0 或 x1 U(AB)x|0 x1 3(2013大纲卷)设集合 A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则 M 中元素的个数为() A3 B4 C5 D6 解析：选 B由集合中元素的互异性，可知集合 M5,6,7,8，所以集合 M 中共有 4 个 元素 4(2014福建高考)若集合a，b，c，d1,2,3,4，且下列四个关系：a1； b1；c2；d4 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数 是_ 解析：若正确，则也正确，所以只有正确

57、是不可能的；若只有正确，都 不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有正确，都不正确，则 符合条件的有序数组为(3,1,2,4)； 若只有正确，都不正确，则符合条件的有序数组为 (2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)综上，符合条件的有序数组的个数是 6. 答案：6 命题点二充要条件 命题指数： 难度：中、低 题型：选择题 1(2014北京高考)设 a，b 是实数，则“ab”是“a2b2”的() A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 D设 a1，b2，则有 ab，但 a2b2，故 aba2b

58、2；设 a2，/ b1，显然 a2b2，但 ab，即 a2b2ab.故“ab”是“a2b2”的既不充分也不必/ 要条件 2(2014北京高考)设an是公比为 q 的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的 () A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 Dan为递增数列，则 a10 时，q1；a10 时，0q1.q1 时，若 a1 0，则an为递减数列故“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选 D. 3 (2014新课标全国卷)函数 f(x)在 xx0处导数存在 若 p： f(x0)0； q： xx0是 f(x) 的极值点，则() A