新课标版高考数学复习题库考点3函数的概念及性质

1、 考点 3 函数的概念及性质 考点 3 函数的概念及性质 1.（2010陕西高考理科5）已知函数 2 21,1, ( ) ,1. x x f x xax x 若( (0)f f=4a，则实数a=（ ） （A） 1 2 （B） 4 5 (C) 2 (D) 9 【命题立意】本题考查分段函数的函数值问题，考查考生思维的逻辑性. 【思路点拨】 2 21,1, ( ) ,1. x x f x xax x (0)2( (0)42424ff faaaa. 【规范解答】选 C. 因为 2 21,1, ( ) ,1. x x f x xax x 所以 0 (0)212,( (0)(2)42 ,ff ffa 42

2、4 ,2.aaa 2.（2010广东高考文科3）若函数 f(x)=3x+3 x 与 g(x)=33 xx 的定义域均为 R，则（ ） (A)f(x)与 g(x)均为偶函数 (B)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 (C)f(x)与 g(x)均为奇函数 (D)f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 【命题立意】本题考查函数奇偶性的定义及判定. 【思路点拨】 因为定义域均为 R，所以只需研究()fx与( )f x的关系和()gx与( )g x的关系即 可判断. 【规范解答】选 D.()33( ) xx fxf x ， ()33( ) xx gxg x ， 故选 D. 3.（2010广东高考理科3）若函

3、数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为 R，则（ ） (A)f（x）与g（x）均为偶函数 (B) f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 (C)f（x）与g（x）均为奇函数 (D) f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 【命题立意】本题考查函数奇偶性的定义及判定. 【思路点拨】 因为定义域均为 R，所以只需研究()fx与( )f x的关系和()gx与( )g x的关系即可判断. 【规范解答】选B.()33( ) xx fxf x ,()33( ) xx gxg x ,故选B. 4.(2010安徽高考理科4）若 f x是R上周期为 5 的奇函数，且满足 11,22ff， 则 34

4、ff（ ） (A)1(B)1(C)2(D)2 【命题立意】本题主要考查函数的奇偶性、周期性，考查考生的化归转化能力. 【思路点拨】 f x是R上周期为 5 的奇函数 (3)( 2)(2) (4)( 1)(1) fff fff 求(3)(4)ff. 【规范解答】选 A.由题意 (3)(4)( 2)( 1)(2)(1)2 11ffffff ,故 A 正确. 5.（2010 海南高考理科T8）设偶函数 f x满足 3 80f xxx，则 20 x f x（ ） （A）2x xx- 或 4 （B）0 x xx 或 4 （C）0 x xx 或 6 （D）2x xx- 或 2 【命题立意】本题主要考查了函

5、数的奇偶性和单调性的综合应用. 【思路点拨】利用函数的奇偶性画出函数的简图，然后再利用对称性和单调性列出相关不等式求解. 【规范解答】选.因为函数 f x在(0,)上为增函数，且(2)0f，由偶函数的性质可知，若 (2)0f x，需满足22x，得4x 或0 x ，故选. 6.（2010山东高考文科5）设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)， 则 f(-1)= （ ） (A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 3 【命题立意】本题考查函数的奇偶性, 考查考生的推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】 先根据奇函数的性质求出 b 的值，再

6、求出(1)f，最后根据(1)f与( 1)f 的关系求出( 1)f . 【规范解答】 选 A.因为f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以有 0 f(0)=2 +2 0+b=0,解得b=-1,所以当 x0时, x f(x)=2 +2x-1,即f(-1)=-f(1)= 1 2 +2 1-1 =-3-（）,故选 A. 7.（2010山东高考理科4）设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)， 则 f(-1)= （ ） (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【命题立意】本题考查函数的奇偶性, 考查考生的推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】

7、先根据奇函数的性质求出 b 的值，再求出(1)f，最后根据(1)f与( 1)f 的关系求出( 1)f . 【规范解答】 选 D.因为f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以有 0 f(0)=2 +2 0+b=0,解得b=-1,所以当 x0时, x f(x)=2 +2x-1,即f(-1)=-f(1)= 1 2 +2 1-1 =-3-（）,故选 D. 8.（2010天津高考文科0）设函数 2 ( )2()g xxxR， ( )4,( ), ( ),( ). ( )g x xx g x g xx x g x f x 则 ( )f x的值域是（ ） （A） 9 ,0(1,) 4 （B）0,) （C） 9

8、 ,) 4 （D） 9 ,0(2,) 4 【命题立意】考查函数的图像与性质及数形结合的思想. 【思路点拨】先根据特设求分段函数中各段的 x 的范围，再求函数的值域. 【规范解答】选 D.由( )xg x可得12xx 或，由( )xg x，即12x 时， 2 2 (1)(2,)2, ( ) 1,22, xxx f x xxx , . 如图，由( )f x得图像可得： 当 12xx 或时，( )( 1)2f xf2， 当12x 时， 19 ( )( )(2)( )0 24 ff xff x ， 所以( )f x的值域为 9 ,0(2,) 4 ，故选 D. 9. （ 2010 湖 南 高 考 理 科

9、 4 ） 用表 示 a ， b 两 数 中 的 最 小 值 . 若 函 数 的图象关于直线 x= 1 2 对称，则 t 的值为（ ） （A）-2 （B）2 （C）-1 （D）1 【命题立意】以新定义为出发点考查学生的接受能力，以分段函数为依托，以函数图象为明线，以函数对 称性为暗线，考查学生综合运用知识的能力.同时也考查了学生避繁就简快速捕捉信息的能力. 【思路点拨】根据题意写出分段函数，作出已知函数 y=|x|的图象，再平移 y=|x+t|的图象使得整个函数 的图象关于直线 x=- 2 1 对称. 【规范解答】选 D.由定义得到分段函数，作出函数 y=|x|在 R 上的图象，由于函数 y=|

10、x+t|的图象是由 y=|x|的图象平行移动而得到，向右移动显然不满足条件关于 x=- 2 1 对称，因此向左移动，移动到两个函数 的交点为(- 2 1 , 2 1 )，把点(- 2 1 , 2 1 )代入 y=|x+t|得到 t=0 或 t=1,t=0 显然不成立，因此 t=1. 【方法技巧】一个函数有多段，或者是多个函数的图象的处理，常常先定后动，先曲后直. 10.（2010陕西高考文科3） 已知函数f（x） 2 32,1, ,1, xx xax x 若f（f（0） ） 4a，则实数a . 【命题立意】本题考查分段函数的函数值问题，考查考生思维的逻辑性. 【思路点拨】 2 32,1, (

11、) ,1, xx f x xax x (0)2( (0)42424ff faaaa. 【规范解答】因为 2 32,1, ( ) ,1, xx f x xax x 所以(0)2,( (0)(2)42 ,ff ffa 424 ,2.aaa 【答案】2 11.（2010江苏高考11）已知函数 2 1,0 ( ) 1,0 xx f x x 则满足不等式 2 (1)(2 )fxfx的 x 的取值 , , 范围是_. 【命题立意】本题考查分段函数的图象、单调性以及数形结合和化归转化的思想. 【思路点拨】结合函数 2 1,0 ( ) 1,0 xx f x x , 的图象以及 2 (1)(2 )fxfx的条件

12、，可以得出 2 1x与 2x之间的大小关系，进而求解 x 的取值范围. 【规范解答】画出 2 1,0 ( ) 1,0 xx f x x , 的图象， 由图象可知，若 2 (1)(2 )fxfx， 则 2 2 10 12 x xx 即 11 1212 x x 得x( 1,21) . , , , , 【答案】( 1,21) 12.（2010江苏高考5）设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数 a 的值为_. 【命题立意】本题考查函数的奇偶性的知识. 【思路点拨】奇函数奇函数=偶函数，若 y=g(x)=ex+ae-x为奇函数，则 g(0)=0，进而求得 a. x y 1 O 【

13、规范解答】( )() xx f xx eaexR函数，是偶函数，ae-x),( )() xx f xx eaexR函数，是偶函数， ( ),( ) xx g xeaexRg x设由题意知，为奇函数. ae-x ,( ),( ) xx g xeaexRg x设由题意知，为奇函数. , (0)0,10, 1. ga a 则 即 【答案】-1 13.（2010天津高考文科6）设函数 f(x)=x- 1 x ,对任意 x1,），f (m x)+m f (x)0 时， 2 22 111 2,21xx xm xm ，因为 2 21x 无最大值，故此式不成立. （2）当 m0 时， 2 22 111 2,2

14、1xx xm xm ， 因为 2 21x 的最小值为 1，故 2 1 111,1mmm m 或， 综上 m 的取值范围是（-，-1）. 【答案】（-，-1） 【方法技巧】求解恒成立问题时，可构造我们熟悉的函数类型，然后根据函数的性质解题，求解时经 常要应用变量分离的方法，应用这一方法的关键是分清参数与变量. 14.（2010福建高考理科15）已知定义域为（0，+ ）的函数 f（x）满足：（1）对任意 x （0，+ ） ，恒有 f（2x）=2f（x）成立；（2）当 x （1，2时， 2f xx.给出如下结论： 对任意 m Z，有 f( m 2)= 0; 函数 f（x）的值域为0, + ); 存在

15、 n Z，使得 f（ n 21）=9； “函数 f（x）在区间（a,b）上单调递减”的充要条件是“存在 k Z，使得（a,b） ”. kk+1 (2 ,2) 其中所有正确结论的序号是 . 【命题立意】本题通过抽象函数，考查函数的周期性、单调性，考查考生的综合分析、解题能力. 【思路点拨】把问题转化为区间1,2进行求解. 【规范解答】对于， mm 1m 1m 22m 2 f 2f 2 22f 22f 2 22 f 2 m 2 f 2， 又 f 20， m f 20，所以正确； 对于，当 mm 1 x2 ,2 时， 2 22 xxxx f xf 22f2f 22 f 2222 m m x 2 f

16、2 ，又 m x 1,2 2 ， mm 1 m x f x222x 2 ， m f x0,2，当 时， f x的值域为0,，所以正确；x(0,+ ) 对于，当 nnn 1 212 ,2 ，又当 nn 1 x2 ,2 时， n 1 f x2x ， nn 1n f 21221 ，由 n 1n 2219 得 n 210，不存在nZ使得 n 210，所以不 正确； 对于，（1）：因为当 kk 1 x2 ,2 ， k 1 f x2x ，当 kk 1 a,b2 ,2 时， f x单 调递减；（2）：（反证法）若（a,b） kk 1 a,b2 ,2 ，设 1122 kk1kk1 12 a2 ,2,b2 ,2

17、, kk k1k2， 2121 kk1k1k 22ba22 . f x单调递减， 2121 k1k1k1k1 f bf a ,2b2a,ba22 恒成立，但是上式不恒成立，所以这与假 设矛盾，所以（a,b） kk 1 a,b2 ,2 ；所以正确； 【答案】 1 2 4 15.（2010广东高考文科20） 已知函数( )f x对任意实数x均有( )(2)f xkf x， 其中常数k为 负数，且( )f x在区间0,2上有表达式 f(x)=x(x-2). （1）求( 1)f ，(2.5)f的值； （2）写出( )f x在3,3上的表达式，并讨论函数( )f x在3,3上的单调性； （3）求出( )

18、f x在3,3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. 【命题立意】本题为函数综合题，主要考查函数的性质及综合应用. 【规范解答】 （1）)2()(xkfxf，且)(xf在区间0,2时)2()(xxxf， kkkfkff)21 (1) 1 ()21() 1(. 由)2()(xkfxf得)( 1 )2(xf k xf， kk f k ff 4 3 )25 . 0(5 . 0 1 )5 . 0( 1 )25 . 0()5 . 2(. （2）若2 , 0 x，则4 , 22x， 4)2(2)2( 1 )2( 1 )( 1 )2(xx k xx k xf k xf， 当4 , 2x时，)4)(2

19、( k 1 )(xxxf. 若)0 , 2x，则)2 , 02x， )2(2)2)(2()2(xxxxxf， )2()2()(xkxxkfxf， 若)2, 4x，则)0 , 22x， )4)(2(2)2)(2()2(xxkxxkxf， )4)(2()2()( 2 xxkxkfxf. )2, 4)2, 3,4 , 23 , 2(， 当3 , 3x时， 0k,当)2, 3x时，)4)(2()( 2 xxkxf，由二次函数的图象可知，)(xf为增函数； 当)0 , 2x时，)2()(xkxxf，由二次函数的图象可知，当) 1, 2x时，)(xf为增函数， 当)0 , 1x时，)(xf为减函数； 当2

20、 , 0 x时，)2()(xxxf，由二次函数的图象可知，当) 1 , 0 x时，)(xf为减函数；当 2 , 1 x 时，)(xf为增函数； 当3 , 2(x时，)4)(2( 1 )(xx k xf，由二次函数的图象可知，)(xf为增函数. （3）由（2）可知，当3 , 3x时，最大值和最小值必在3x或3 , 1 , 1处取得.（可画图分析） 2 )3(kf，kf ) 1(，1) 1 (f， k f 1 )3(， 当01k时，1) 1 (, 1 )3( minmax fy k fy; 当1k时，; 1) 1 ()3(, 1)3() 1( minmax ffyffy 当1k时， 2 minma

21、x )3(,) 1(kfykfy. 16.（2010湖南高考文科21）已知函数( )(1)ln15 , a f xxaxa x 其中 a0,且 a-1. （1）讨论函数( )f x的单调性； （2） 设函数( )g x= 332 ( 23646 ),1 ( ),1 ( ) x xaxaxaa ex e fx x g x ， （e 是自然数的底数） ，是否存在 a，使( )g x在 a,-a上为减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【命题立意】以复杂函数和分段函数为依托考查学生用导数处理问题的能力. 【思路点拨】在（1）中先求导，再根据导函数研究单调性.在（2）中对分段函数

22、的分析，先对每一段 进行处理，再注意分界点. 【规范解答】(1) )(xf的定义域为（0，+） ， 22 ) 1)(1 1)( x xax x a x a xf . 若-1a0,则当 0x0；当-ax1 时，)( xf1 时，)( xf0,故)( xf分别在（0，-a） ， （1，+）上单调递增，在（-a，1）上单调递减； 若 a-1，仿(1)可得)(xf分别在（0，1） ， （-a，+）上单调递增，在（1，-a）上单调递减. (2) 存在 a，使)(xg在a,-a上为减函数.事实上，设,)64632()( 223x eaaaxaxxxh 则,412)2(32)( 223x eaaxxaxxh 再设),( ,412)2(32)( 223 RxaaxxaxxmxR，则当)(xg在a,-a上单调递减时，)(xh 必在a,0上单调递减，所以