高三数学总复习学案36

1、学案学案 36基本不等式及其应用基本不等式及其应用 导学目标 ： 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 自主梳理 1基本不等式ab ab 2 (1)基本不等式成立的条件：_. (2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号 2几个重要的不等式 (1)a2b2_ (a，bR) (2) _(a，b 同号) b a a b (3)ab 2 (a，bR) ( ab 2 ) (4) 2_ . ( ab 2 ) a2b2 2 3算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等式 可叙述为：_. 4利用基本不等式求最值问题 已知

2、x0，y0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有最_值是_(简记： 积定和最小) (2)如果和 xy 是定值 p， 那么当且仅当_时， xy 有最_值是_(简记 ： 和定积最大) 自我检测 1“ab0”是“ab”的() a2b2 2 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2(2011南平月考)已知函数 f(x) x，a、b(0，)，Af ，Bf()， ( 1 2 )( ab 2 ) ab Cf，则 A、B、C 的大小关系是() ( 2ab ab) AABC BACB CBCA DCBA 3下列函数中，最小值为 4 的函数是() A

3、yx4 x Bysin x(0x) 4 sin x Cyex4ex Dylog3xlogx81 4(2011大连月考)设函数 f(x)2x 1(x0 ，a 恒 成 立 ， 则 a 的 取 值 范 围 为 x x23x1 _ 探究点一利用基本不等式求最值 例 1 (1)已知 x0，y0，且 1，求 xy 的最小值； 1 x 9 y (2)已知 x0，b0，ab2，则 y 的最小值是() 1 a 4 b A. B4 7 2 C. D5 9 2 探究点二基本不等式在证明不等式中的应用 例 2 已知 a0，b0，ab1，求证：(1 )(1 )9. 1 a 1 b 变式迁移 2已知 x0，y0，z0.

4、求证：8. ( y x z x)( x y z y)( x z y z) 探究点三基本不等式的实际应用 例 3 (2011镇江模拟)某单位用 2 160 万元购得一块空地， 计划在该空地上建造一栋至 少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房经测算，如果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的 平均建筑费用为 56048x(单位：元) (1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式； (2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用) 购地总费用 建筑总面积 变式迁移 3(2011广州月考

5、)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2012 年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动， 经过市场调查和测算， 化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3x 与 t1 成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销 量只能是 1 万件， 已知 2012 年生产化妆品的设备折旧、 维修等固定费用为 3 万元， 每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150% 与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完 (1)将 2012 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数 (2)该企业 2012 年的促销费投

6、入多少万元时，企业的年利润最大？ (注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用) 1a2b22ab 对 a、bR 都成立 ；成立的条件是 a，bR； 2 成立 ab 2 ab b a a b 的条件是 ab0，即 a，b 同号 2利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时， 积有最大值，积为定值时，和有最小值 3使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法一般地函数 yax ，当 a0，b0 时，函数在(，0)，(0，)上是增函数；当 a0 时，函数 b x 在(，0)，(0，)上是减函数；当 a0，b0 时函数在，上是减 b a，0) (0，

7、 b a 函数，在，上是增函数 ； 当 a0，b0，b0，若是 3a与 3b的等比中项，则 的最小值为()3 1 a 1 b A8 B4 C1 D.1 4 2 (2011鞍山月考)已知不等式(xy)9 对任意正实数 x， y 恒成立， 则正实数 a ( 1 x a y) 的最小值为() A2 B4 C6 D8 3已知 a0，b0，则 2的最小值是() 1 a 1 b ab A2 B2 C4 D52 4 一批货物随 17 列货车从 A 市以 a km/h 的速度匀速直达 B 市， 已知两地铁路线长 400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于 2 km，那么这批货物全部运到 B 市，最 (

8、a 20 ) 快需要() A6 h B8 h C10 h D12 h 5(2011宁波月考)设 x，y 满足约束条件Error!，若目标函数 zaxby (a0，b0)的 最大值为 12，则 的最小值为() 2 a 3 b A. B. C. D4 25 6 8 3 11 3 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6(2010浙江)若正实数 x，y 满足 2xy6xy，则 xy 的最小值是_ 7(2011江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x) 的图象 2 x 交于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是_ 8已知 f(x)32x(k1)3x2，当 xR

9、时，f(x)恒为正值，则 k 的取值范围为 _ 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)(1)已知 0x0) 920v v2 3v 1 600 (1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最大？最大车流量为多少？ (2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时， 则汽车的平均速度应控制在什么范围 内？ 11(14 分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为 1.5 元，每次购买 原材料需支付运费 600 元，每千克原材料每天的保管费用为 0.03 元，该厂每天需要消耗原 材料 400 千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有 400 千克不需要保管) (1

10、)设该厂每 x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1 关于 x 的函数关系式； (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最小，并求出这个最 小值 学案学案 36基本不等式及其应用基本不等式及其应用 自主梳理 1(1)a0，b0(2)ab2.(1)2ab(2)2(4) 3.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4.(1)xy小2 ab 2 abp (2)xy大p 2 4 自我检测 1A2.A3.C 4大215. ，)2 1 5 课堂活动区 例 1 解题导引基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求 最值时，给定的形式不

11、一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑 和或积为定值的形式)， 构造出基本不等式的形式再进行求解 基本不等式成立的条件是 “一 正、二定、三相等” ，“三相等”就是必须验证等号成立的条件 解(1)x0，y0， 1， 1 x 9 y xy(xy)(1 x 9 y) 1061016. y x 9x y 当且仅当 时，上式等号成立，又 1， y x 9x y 1 x 9 y x4，y12 时，(xy)min16. (2)x0. 5 4 y4x23 1 4x5 (54x 1 54x) 2 31，54x 1 54x 当且仅当 54x， 1 54x 即 x1 时，上式等号成立，故当

12、x1 时，ymax1. (3)由 2x8yxy0，得 2x8yxy， 1. 2 y 8 x xy(xy)10 ( 8 x 2 y) 8y x 2x y 102(4y x x y) 1022 18， 4y x x y 当且仅当 ，即 x2y 时取等号 4y x x y 又 2x8yxy0，x12，y6. 当 x12，y6 时，xy 取最小值 18. 变式迁移 1Cab2，1. ab 2 ( )() () 2 (当且仅当，即 b2a 时， 1 a 4 b 1 a 4 b ab 2 5 2 2a b b 2a 5 2 2a b b 2a 9 2 2a b b 2a “”成立)，故 y 的最小值为 .

13、 1 a 4 b 9 2 例 2 解题导引“1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷 的方法 在不等式证明时， 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤， 而且也是检验转化是否 有误的一种方法 证明方法一因为 a0，b0，ab1， 所以 1 12 . 1 a ab a b a 同理 1 2 . 1 b a b 所以(1 )(1 )(2 )(2 ) 1 a 1 b b a a b 52( )549. b a a b 所以(1 )(1 )9(当且仅当 ab 时等号成立) 1 a 1 b 1 2 方法二(1 )(1 )1 1 a 1 b 1 a 1 b 1 ab 11， ab ab

14、 1 ab 2 ab 因为 a，b 为正数，ab1， 所以 ab()2 ，于是4，8， ab 2 1 4 1 ab 2 ab 因此(1 )(1 )189(当且仅当 ab 时等号成立) 1 a 1 b 1 2 变式迁移 2证明x0，y0，z0， 0， y x z x 2 yz x 0， x y z y 2 xz y 0. x z y z 2 xy z (y x z x)( x y z y)( x z y z) 8. 8 yz xz xy xyz 当且仅当 xyz 时等号成立 所以( )( )( )8. y x z x x y z y x z y z 例 3 解题导引1.用基本不等式解应用题的思维

15、程序为： 由题设写 出函数 变形 转化 利用基本 不等式 求得 最值 结论 2在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一 般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问 题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案 解(1)依题意得 y(56048x)2 160 10 000 2 000 x 56048x (x10，xN*) 10 800 x (2)x0，48x10 800 x 21 440，48 10 800 当且仅当 48x，即 x15 时取到“” ， 10 800 x 此时，平均综合费用的最小值为 5601 44

16、02 000(元) 答当该楼房建造 15 层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为 2 000 元 变式迁移 3解(1)由题意可设 3x， k t1 将 t0，x1 代入，得 k2.x3. 2 t1 当年生产 x 万件时， 年生产成本年生产费用固定费用， 年生产成本为 32x3323. (3 2 t1) 当销售 x(万件)时，年销售收入为 150% t. 32(3 2 t1)3 1 2 由题意，生产 x 万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费， 得年利润 y (t0) t298t35 2t1 (2)y50 t298t35 2t1 ( t1 2 32 t1) 50250

17、242(万元)， t1 2 32 t1 16 当且仅当，即 t7 时，ymax42， t1 2 32 t1 当促销费投入 7 万元时，企业的年利润最大 课后练习区 1B因为 3a3b3，所以 ab1， (ab)2 1 a 1 b ( 1 a 1 b) b a a b 224，当且仅当 即 ab 时，“”成立 b a a b b a a b 1 2 2B不等式(xy)9 对任意正实数 x，y 恒成立，则 1a a2 ( 1 x a y) y x ax y a 19， 2 或4(舍去)aa 正实数 a 的最小值为 4. 3C因为 222 1 a 1 b ab 1 ab ab 24，当且仅当 且 ，

18、 ( 1 ab ab) 1 a 1 b 1 ab ab 即 ab1 时，取“”号 4B第一列货车到达 B 市的时间为 h，由于两列货车的间距不得小于 2 400 a ( a 20 ) km，所以第 17 列货车到达时间为8，当且仅当，即 400 a 16( a 20 ) 2 a 400 a 16a 400 400 a 16a 400 a100 km/h 时成立，所以最快需要 8 h 5A 618 解析由 x0，y0,2xy6xy，得 xy26(当且仅当 2xy 时，取“”)，2xy 即()2260，xy2 xy (3)()0.xy2xy2 又0，3，即 xy18.xyxy2 故 xy 的最小值

19、为 18. 74 解析过原点的直线与 f(x) 交于 P、Q 两点，则直线的斜率 k0，设直线方程为 y 2 x kx，由Error!得Error!或Error! P(，)，Q(，)或 P(，)，Q(，) 2 k 2k 2 k 2k 2 k 2k 2 k 2k |PQ| 2 k 2 k 2 2k 2k2 24.2 k1 k 8(，21)2 解析由 f(x)0 得 32x(k1)3x20，解得 k13x，而 3x2，k 2 3x 2 3x 2 12，k21.22 9解(1)0x ，03x4. 4 3 x(43x) (3x)(43x) 2 ，(4 分) 1 3 1 3( 3x43x 2 ) 4 3 当且仅当 3x43x，即 x 时，“”成立 2 3 当 x 时，x(43x)的最大值为 .(6 分) 2 3 4 3 (2)已知点(x，y)在直线 x2y3 上移动，x2y3. 2x4y2224.2x4y2x2y232 (10 分) 当且仅当Error!即 x ，y 时，“”成立 3 2 3 4 当 x ，y 时，2x4y的最小值为 4. 3 2 3