几何直观教学视角

1、建立几何直观的教学视角 黄玉香 2014.11,“小学数学新课标理念与实践研究”系列活动 专题一：数据分析观念培养（龟湖） 专题二：数学文化渗透（实小） 专题三：基本活动经验解读与实践研究（三小） 专题四：几何直观能力培养（二小） 专题五：推理能力培养 专题六：数学基本思想渗透 专题七：良好学习习惯培养 专题八：“综合与实践”难点透视 专题九：课程资源有效利用 专题十：学习评价研究,活动背景,核心概念,几何直观在教学上更为深远的意义何在？ 应该建立怎样的几何直观教学视角？,一、几何直观的含义 二、几何直观的作用 三、几何直观的表现形式 四、几何直观的两种层次 五、相关术语的辨析 六、深度解读几

2、何直观 七、几何直观在教学中的运用,建立几何直观的教学视角,一、几何直观的含义 几何直观主要指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。（2011版课标）,一、几何直观的含义 直观：直接的观察，通过对事物的直接接触而获得的感性认识； 几何：在几何直观的语境下指图形； 几何直观：就是借助图形而获得的对数学研究对象的感性认识。,二、几何直观的作用 认知心理学认为，学习是人脑内部复杂的信息加工与组织过程。在这个信息加工与组织过程中，思维的展开更倾向于依据直观形象

3、的成分，而不是依据文字或符号叙述的定义定理。,视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交 叉而成的角。物体越小或距离越远，视角越小。,思维的展开更倾向于 依据直观形象的成分,思维的展开更倾向于 依据直观形象的成分,三角形的高,有些时候，教学如果不深入到直观层面，学习只能停留在死记硬背层面。,三、几何直观的表现形式 1. 实物直观（即实物图） 2. 替代物直观（已经具备一定的抽象性） 3. 图形直观,实 物 直 观,实 物 直 观,替代物直观 小圆片、小三角形 点子图 小棒（单根、一捆、一箱） 小方块（单个、条、面、体） 计数器,替 代 物 直 观,替 代 物 直 观,图形直观 线段图（直条图、示

4、意图） 面积模型图（乘法分配律、面积公式） 统计图（三种） 图形的变换（平移、旋转、轴对称） 函数图（正反比例、看图找关系）,四、几何直观的两种层次 1.直观感知 2.直观洞察（首次接触）,直 观 洞 察,例2：观察发现：平移、旋转能够由轴对称来实现。进而猜想：是不是所有的平移、旋转都能由轴对称来替代？,直 观 洞 察,一般地，两次对折，当对称轴互相平行时，相当于一次平移；当对称轴相交时，相当于一次旋转 。,直观洞察 （抽象性）,直观感知 （直观性）,五、相关术语的辨析 几何直观与数形结合 几何直观与空间观念,1.几何直观与数形结合,数形结合 主要指借助“形”的直观来理解抽象的“数”。（分数、

5、行程问题） “数缺形时少直觉，形少数时难入微。”(华罗庚）,“形少数时难入微”,用数表示变化规律：1、3、5、7、9。 用算式表示变化规律： 1、1+3、1+3+5、1+3+5+7、1+3+5+7+9 。,“形少数时难入微”,规律表示： 25=1+2+3+4+5+4+3+2+1,“形少数时难入微”,中心起点：1 1 红线上点数：1+3 4 红蓝线上点数：1+3+5 9 红蓝黄线上点数：1+3+5+（ ）（ ） 红蓝黄绿上线点数： （ ）,1.几何直观与数形结合,联系与区别 联系1：作用相同，旨在直观地理解数学； 联系2：应用语境大致相同，很多语境下这两个词可以替 换使用。 区别1：数形结合是一

6、种数学思想，几何直观更指向于课程意识。 区别2：外延不同。,找不到不是几何直观的数形结合，却 可以找到不是数形结合的几何直观。,无须用到“量”的分析,2.几何直观与空间观念,空间观念 表现为对形体特征、位置关系、图形变换的想象与描述。 主要指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。,2.几何直观与空间观念,联系与区别 联系1：二者有重叠的部分，如“根据几何图形想象出所描述的实际物体”等。 联系2：几何直观是建立空间观念的有效手段。 区别1：空间观念即使脱离了具体情境也能想象出图形的形状

7、与位置关系，而几何直观更强调借助图形而进行。 区别2：空间观念更多局限在“图形与几何”内容领域，而发展学生的几何直观能力需要依托数学课程的每个领域。,六、深度解读几何直观 1. 在各领域学习中，都要重视几何直观能力的培养。从更长远看，几何直观的作用不局限于数学。 2.对“图形”的理解可以宽泛些，既可以是有形可视的，也可以是无形想象的。,六、深度解读几何直观 3.要看到图形的直观性，也要看到图形的抽象性。 4.几何直观是一种意识，也是一种能力，更是一种思维方式。 5.直观本身不是目的，而是手段。,七、几何直观在教学中的运用 1.规划几何直观能力培养的脉络主线 2.创新几何直观运用的教学设计,低年

8、级：实物图示意图线段图 中年级：开始有意识引导学生掌握画示意图和线段图的要点和技巧。,1.规划几何直观能力培养的脉络主线,2.创新几何直观运用的教学设计,（1）巧用几何直观理解概念追问本质 （2）巧用几何直观洞悉规则追问源头 （3）巧用几何直观明晰算理追问思想 （4）巧用几何直观探寻思路还原本真,（1）巧用几何直观理解概念追问本质,动 态 呈 现,动 态 呈 现,（1）巧用几何直观理解概念追问本质,动 态 呈 现,（1）巧用几何直观理解概念追问本质,反 面 干 扰,（1）巧用几何直观理解概念追问本质,反 面 干 扰,（1）巧用几何直观理解概念,反 面 干 扰,（1）巧用几何直观理解概念追问本质

9、,外 延 拓 展,小红打一份材料用0.5小时,小丽打相同的材料用1/3小时,（1）巧用几何直观理解概念追问本质,（2）巧用几何直观洞悉规则追问源头,（2）巧用几何直观洞悉规则追问源头,能被2、3、5整除的数，为什么2、5的倍数看个位？为什么3的倍数要看各数位上的数字之和？,36,236,（2）巧用几何直观洞悉规则追问源头,54,（2）巧用几何直观洞悉规则追问源头,123,比例的基本性质 ？ 乘法分配律 ？,（2）巧用几何直观洞悉规则追问源头,分数除法，为什么除以一个 数，等于乘这个数的倒数？,（2）巧用几何直观明晰算理追问思想,例1：小明2/3小时走2千米，每小时走几千米？,师追问：假如不能整

10、除的怎么办，如37/8？ 怎么利用上节课的方法进行算式“变形运算”呢？ 说明：学生在上节课“分数除以整数”的学习中已经掌握如“4/534/51/3”、“ABA1/B（B0）”的计算方法。 结合学生的回答板书： 22/322321/2323/2 37/837831/7838/7,几何直观 数的变形运算,例2：课件动态演示“做花”的情境：3/4张纸做了6朵花。,师：你看懂了什么？ 生1：3/4张纸做了6朵花。 生2：一张纸平均分成4份，其中的3份做6朵花，一张纸可以做几朵花？ 出示题：3/4张纸做了6朵花，一张纸可以做多少朵花？（生列式） 师：63/4，怎么算？ 生：前面的分数除以整数，是乘一个数

11、的倒数。我想这个也是，我用“以此类推”的方法转化为乘法，64/3。（很多学生点头赞同） 师：你们认为这个方法是正确的？,师：哦，那你们能不能想一些方法，证明这个结果是正确的？静静地想一会儿，把所有能想到的方法都记录下来。 教师特意准备了划成6格的练习纸，方便学生记录不同的思路。学生自主尝试，教师巡视搜集各种思路，整体投影呈现学生的方法： 师：这些方法，哪些你也想到了，哪些你现在能看懂？哪些算法之间有相似之处？说给同桌听。 师：哪些算法大家看不懂，需要提出来讨论的？ （大部分学生表示第种和第种比较难理解。） 师：有没有同学可以看懂呢？生：,师：明白了，根据学过的知识转化为我们学过的算式来解决。那

12、剩下的都能看懂吗？哪些方法是相似的？ 生1：第和第种是相似的，一个分步，一个综合。 生2：我觉得是一样的，因为第种是直接把3/4化成小数，思考方法一样，都是化成已经学过的来解决。 生3：第种是我的，我还没写完整，我想在旁边写一句话， 如果把一张纸平均分成4份，3/4张纸做6朵，那么每1/4张纸 可以做2朵，所以整张纸可以做8朵。,师：太棒了！看来这些方法的确有相似的地方，第种方法中的63就是第种方法中的61/3。现在，我们可以证明，刚才尝试计算时得出的结果“8”确实是正确的。那么，你能在这些方法中找到“64/3”吗？ 生1：第种方法中的“1/34”其实就是“4/3”。 生2：第种方法中，6平均

13、分成3份，就是61/34，也能找到“64/3”。 生3：那么，第种也可以转化为61/34，也能找到“64/3”。 生4：第种也是。 生5：第种，除数化成1后，被除数的部分就是64/3。 师：看来，我们不仅验证了“8”这个结果是正确的，还证明 了以此类推的计算方法“64/3”也是正确的。,比较两种教法 1. 几何直观的作用 理解算理创设情境，引出算式 2. “数的变形运算”成分（化归思想） 仅在小结时出现作为全课重点,还 原 本 真,（4）巧用几何直观探寻思路,（4）巧用几何直观探寻思路还原本真,例1：小明前三次数学考试的平均成绩是分，第四次的成绩比四次平均成绩高分，小明第四次数学考试的成绩是多少分？,（分） （分）,例2：一个正方形的小果园，周长是20米。如果每4平方米种一棵桃树，这个果园一共可以种多少棵桃树？,（4）巧用几何直观探寻思路还原本真,2045（米），5525（米2），2546（棵）1（米2）,例3：在一个长6分米、宽4分米、高5分米的