初等数学 人民出版社 第四章讲解课件

1、第四章基本初等函数,1,PPT学习交流,函数 幂函数、指数函数和对数函数 三角函数 反三角函数和三角方程 任意三角形的解法,2,PPT学习交流,初等函数,初等函数由常数和基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,3,PPT学习交流,基本初等函数,1、幂函数,4,PPT学习交流,特性：,5,PPT学习交流,2、指数函数,特例：,6,PPT学习交流,指数函数的图象和性质(见下表),7,PPT学习交流,3、对数函数,8,PPT学习交流,对数函数的图象和性质,9,PPT学习交流,1.对数恒等式

2、 叫做对数恒等式,2.对数的性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是零，即loga1=0； (3)底的对数等于1，即logaa=1,10,PPT学习交流,4.对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数， 所以y=logax的图象与y=ax的图象关于直线y=x对称.,3.对数的运算性质 如果a0，a1，M0，N0，那么,11,PPT学习交流,12,PPT学习交流,答案： 0，1/2，2,13,PPT学习交流,例1.a,b,c0,求证：,14,PPT学习交流,21/5,15,PPT学习交流,答案：1. (1/2，1) 2.D,1.若函数y(log(1/2)a)x在R上为减函数，则a

3、_. 2.如图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数yax，ybx， ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( ) (A) ab1cd (B) ab1dc (C) ba1cd (D) ba1dc,16,PPT学习交流,4.若loga2logb20，则( ) (A)0ab1 (B)0ba1 (C)1ba (D)0b1a,B,17,PPT学习交流,作业 习题4.2(P99),1，2，3，4（更正），5,18,PPT学习交流,4.3 三角函数,19,PPT学习交流,1.角的概念的推广 所有与角终边相同的角的集合 S=|+k360，kZ 象限角。,2.弧度制 任一个已知角的弧度数的绝对

4、值|l/r ( l是弧 长，r是半径)， 1/180弧度， 1rad=(180/)57.305718 弧长公式l=|r，扇形面积公式S1/2lr,基本概念,20,PPT学习交流,3.任意角三角函数的定义 设是一任意角，角的终边上任意一点P(x，y)，P与原点距离是r，则 sin=y/r，cos=x/r ， tan=y/x， cot=x/y，sec=r/x，csc=r/y.,4.三角函数值的符号 sin与csc，一、二正，三、四负， cos与sec，一、四正，二、三负， tan与cot,一、三正，二、四负,21,PPT学习交流,5.同角三角函数的基本关系式 倒数关系： sincsc1，cosse

5、c1 ， tancot1 商数关系： tan=sin/cos，cotcos/sin 平方关系： sin2+cos21，1+tan2=sec2，1+cot2=csc2,22,PPT学习交流,化简,23,PPT学习交流,练习,答案：0，1，a2+b2 , 2,24,PPT学习交流,2.已知角的终边过点P(-5，-12)，则cos= _ ，tan =_.,-5/13,12/5,25,PPT学习交流,6.诱导公式 +k360(kZ)，-，180，360-的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号. n90(nZ)诱导公式满足十字诀“奇变偶不变，符号看象限”,7.两角和与差的

6、正弦、余弦、正切公式,26,PPT学习交流,8.二倍角的正弦、余弦、正切公式,27,PPT学习交流,9.半角的正弦、余弦、正切公式,28,PPT学习交流,万能公式,29,PPT学习交流,解：原式=,30,PPT学习交流,和与差三角公式,31,PPT学习交流,例4，化简,例5，化简,32,PPT学习交流,倍角公式,33,PPT学习交流,例7证明：,34,PPT学习交流,例8.证明：对任一实数x有下列不等式成立,35,PPT学习交流,2.若是锐角， ，则cos的值等于( ) (A) (B) (C) (D),1.已知x(-/2，0)，cosx=4/5，则tan2x=( ) (A)7/24 (B)-7

7、/24 (C)24/7 (D)-24/7,D,A,36,PPT学习交流,正弦函数,三角函数的图形及性质,37,PPT学习交流,余弦函数,38,PPT学习交流,正弦函数 y=sinx定义域是R，值域是-1,1， 在x=2k-/2(kZ)时取最小值-1， 在x=2k+/2(kZ)时，取最大值1 .,余弦函数 y=cosx定义域是R，值域是-1，1， 在x=2k(kZ)时，取最大值1， 在x=2k+(kZ)时，取最小值-1,39,PPT学习交流,正切函数,40,PPT学习交流,余切函数,41,PPT学习交流,正切函数 y=tanx定义域是(k-/2，k+/2)(kZ)， 值域是R，无最值.,asin

8、x+bcosx型函数 (其中由 确定，角所在象限是由点P(a,b)所在象限确定),42,PPT学习交流,1.单调性 (1)y=sinx的单调增区间是2k-/2，2k+/2(kZ)，减区间是2k+/2，2k+3/2(kZ) (2)y=cosx的单调增区间是2k+，2k+2(kZ)，减区间是2k，2k+(kZ) (3)y=tanx的单调增区间是(k-/2，k+/2)(kZ),2.奇偶性 y=sinx,y=cosx,y=tanx在各自定义域上分别是奇函数、偶函数、奇函数.,43,PPT学习交流,3.周期性 (1)定义 对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，

9、f(x+T)=f(x)都成立，则y=f(x)叫周期函数，T叫这个函数的周期 (2)所有周期中的最小正数叫最小正周期 (3)ysinx,y=cosx的最小正周期T=2； y=tanx,y=cotx的最小正周期T= (4) y=Asin(x+)+k的周期为T=2/(0) y=Atan(x+)+k的周期为T=/(0),44,PPT学习交流,三角函数的图象变换 振幅变换：y=sinx y=Asinx 将y=sinx的图象上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)；,相位变换：y=Asinxy=Asin(x+) 将y=Asinx的图象上所有点向左(0)或向右(0)平移|个单位；,周期变换：y=Asin(

10、x+) y=Asin(x+) 将y=Asin(x+)图象上各点的横坐标变为原来的 1/ 倍(纵坐标不变).,45,PPT学习交流,图象的对称性 函数y=Asin(x+)(A0，0)的图象具有轴对称和中心对称.具体如下： (1)函数y=Asin(x+)的图象关于直线x=xk (其中xk+=k+/2，kZ)成轴对称图形. (2)函数y=Asin(x+)的图象关于点(xj ,0) (其中xj+=k,kZ)成中心对称图形.,46,PPT学习交流,函数y=|tanx|cosx(0 x3/2，且x/2) 的图象是( ),C,47,PPT学习交流,则A B,0,都是增函数，则x为第 象限。,三,48,PPT

11、学习交流,是奇函数，则,D,5. f(x)是以5为周期的奇函数，,4,49,PPT学习交流,50,PPT学习交流,51,PPT学习交流,1.给出四个函数: (A)y=cos(2x+/6) (B)y=sin(2x+/6) (C)y=sin(x/2+/6) (D)y=tan(x+/6) 则同时具有以下两个性质的函数是( ) 最小正周期是 图象关于点(/6，0)对称.,A,52,PPT学习交流,2.已知f(x)=sin(x+/2)，g(x)=cos(x-/2)，则下列结论中正确的是( ) (A)函数y=f(x)g(x)的周期为2 (B)函数y=f(x)g(x)的最大值为1 (C)将f(x)的图象向左

12、平移/2单位后得g(x)的图象 (D)将f(x)的图象向右平移/2单位后得g(x)的图象,D,53,PPT学习交流,1.判断三角函数的奇偶性，若不先关注定义域是否关于原点对称，常常会得出错误的结论,误解分析,2.对于形如y=2sin(/3-2x)的单调区间，常因为没有注意到x的系数为负，从而得出相反的结论,3.对于函数y=Asin(x+)的周期，如果说是2/，则没有考虑的正负,54,PPT学习交流,4.由y=sinx作y=sin(2x+/3)图象， 如果先把横坐标缩短为原来的1/2倍，得y=sin2x 后再平移，,应向左平移/6，切勿左移/3.,55,PPT学习交流,作业：习题4.3,1,2,

13、3,4,5,56,PPT学习交流,反三角函数,4.4 反三角函数与三角方程,57,PPT学习交流,58,PPT学习交流,59,PPT学习交流,3,练习,60,PPT学习交流,作业：习题4.4,1，2，3，4,61,PPT学习交流,三角方程,62,PPT学习交流,常见方程类型：,1.化为同一类型函数,63,PPT学习交流,2.,64,PPT学习交流,3.齐次方程,对只含正弦和余弦的齐次三角函数， 可在方程两边都除以余弦，化为只含正切函数的三角方程求解。,65,PPT学习交流,练习,66,PPT学习交流,4.5 任意三角形的解法,(其中R为ABC外接圆的半径).,67,PPT学习交流,三角形中的一些结论：(不要求记忆) (1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 (