弹塑性力学第九章.ppt

1、2020/7/20，1，第9章，空间轴对称问题，本章讨论空间轴对称问题的基本方程和一些轴对称问题的基本解。我们在第五章中已经讨论了一般空间问题的解，但一般空间问题的通解(具体解)的讨论在杜庆华等主编的弹性理论中更多地讨论了。我们没有刻意从数学上讨论一般空间问题的通解的表示，而是给出了空间轴对称问题的一些讨论和例子。空间轴对称问题的特点如下：1 .域内的所有物理量(物理力、表面力、位移、应力和应变)都是R和Z的函数。与平面轴对称问题类似，空间轴对称问题的解域、载荷和约束围绕某一轴(Z轴)对称，这导致以下简化：2载荷：物理力f=0，表面力、位移u=0，应力r=z=0，应变r=z=0。第1节空间轴对

2、称问题的基本方程，2020年7月20日，3，第1节空间轴对称问题的基本方程，3个待解的物理量(10): ur，w，r，z，rz=zr，r，z，rz=zr，1.2基本方程1。平衡微分方程(两个第1节空间轴对称问题的基本方程，3个变形协调方程(四个)，2020/7/20，5，4物理方程(四个)，第1节空间轴对称问题的基本方程，2020/7/20，6，r=e2Gr，=e2G，z=e2Gz rz=G rz 7，5。边界条件，第一节是空间轴对称问题的基本方程，位移边界：关于苏，6。根据应力解，力边界：r=r0和z=z0，四个应力分量R，Z和rz基本上是未知量。2020/7/20，8，基本方程(六):两个

3、平衡微分方程和四个用应力表示的修正协调方程；加上力的边界条件。第一节是空间轴对称问题的基本方程。当物理力为零时，如果基本方程是齐次方程，则可以采用应力函数解，并且可以引入应力函数(r，z)，因此应力可以表示为：2020/7/20，9中的(r，z)。第一节空间轴对称问题的基本方程满足第一平衡微分，2020/7/20，10/7，根据位移法，第一节是空间轴对称问题的基本方程，其中，a是基本未知函数：ur和w，有两个基本方程，并考虑了适当的边界条件。2020/7/20，11，b .引入Love位移函数(当没有物理力时)，第一节是空间轴对称问题的基本方程，位移法的基本方程的解可以是考虑物理力的特殊解加上

4、齐次方程的一般解。Love位移函数(r，z)可以引入轴对称问题齐次Lame方程的通解，使得位移由(r，z): 2020/7/20，12表示，第一个公式自然满足，而第二个公式是基本方程：4=0 (r，z)是双调和方程。在第一节中，空间轴对称问题的基本方程，应力分量用(r，z)表示为：2020/7/20，13。轴对称问题用位移来解决，位移归结为找到一个合适的双调和函数(r，z)，这样由其导出的位移和应力就能满足给定的边界条件。第一节将空间轴对称问题的基本方程与应力函数法和love位移法进行了比较：(r，z)=(r，z)，2020/7/20，14。在第二部分中，半空物体在边界上受到法向集中力(Bou

5、ssinesq问题)，而不考虑物理力，半空物体在边界上受到法向集中力P。轴对称问题，众所周知，当z=0和r 0，z=0和Zr=0；当R 0时，应力是奇异的。当R，R=(r2 z2)1/2时，应力和位移为0；2020/7/20，15，选择(R，z)作为R和z的正一次幂，公式： (r，z)=A1RA2R-兹伦(R，z)是一个双调和函数。在第二节中，半空间在边界上受到法向集中力的作用(Boussinesq问题)，Boussinesq采用Love函数来求解它。2020/7/20，16，(r，z)=a1ra2r-zln (r，z)，那么(r，z)自然满足4=0。替换位移和应力计算公式。在第二部分中，半空

6、物体在边界上受到法向集中力(Boussinesq问题)，位移：2020/7/20，17，应力：而在第二部分中，半空物体在边界上受到法向集中力(Boussinesq问题)，2020/7/20，18，这是根据边界条件在z=0和r 0，Zr=0，(1-2) a1a2=0 (a)，2020/7/28的边界上确定的在z=z0 0的平面上，要求z的合力与p平衡.还需要一个条件(包括p)。在第二部分中，半空物体受到边界上的法向集中力(Boussinesq问题)。通过代入Z表达式，得到2020/7/20，20，P-4A1(1-)- 2 A2=0 (b)，在第二节中，半空体在边界上受到法向集中力(Boussin

7、esq问题)，而2000根据公式(a)和(b)，A1=P/(2)和A2=-(1-2)P /(2)。在第二节中，半空物体受到边界上的法向集中力(Boussinesq问题)，位移和应力的表达式被替换。根据第297(917)和(918)页，位移和应力随着R的增加而减小.2020/7/20，22，在第二部分中，半空物体在边界处受到法向集中力(Boussinesq问题)，在z=0平面中，2020/7/20，23，在第三部分中，半空物体在边界处受到法向分布力，已知的条件是半空物体在边界处受到均匀分布的法向载荷，半径为，求解：1。边界下沉w z=0=？2.r=0(对称轴)上的应力和位移。解决方法：采用叠加法

8、和半空间体边界法向集中力P的计算结果进行求解。在2020年7月20日、24日和3.1日，边界上m点的垂直位移为w:在第三节中，半空物体受到边界上的正态分布力q。1.让点m在圆形区域之外：点m可以在负载圆形区域之内或之外。当法向集中力P作用于半空物体的边界时，点R离开边界上点P的垂直位移为：2020/7/20，25。均匀分布载荷Q对圆外M点垂直位移的影响可视为一个微元，与M点的距离S和该点的角度dA=sdds，以及Q对M点的影响dA:在第三节中，半空物体在边界上服从正态分布。第三季度，半空体在边界上受到正态分布力Q，2020/7/20，27，整个圆形区域载荷对M点的影响如下：第三季度，半空体在边

9、界上受到正态分布力Q，而2020/7/20，28，1是作为圆形相的切线OM线的M点之间的角度，第三季度，半空体在边界上受到正态分布力Q。从图中可以看出，两侧的asin=rsin，微分acosd=rcosd，第三部分承受边界上的正态分布力q，2020/7/20，30，第三部分承受边界上的正态分布力q。取值范围为0.1，取值范围为0，2020/7/20，31。2020/7/20/32，第二类椭圆积分和第一类椭圆积分。在第三节中，半空间体在边界上受到正态分布力Q，这可以通过椭圆积分表得到，对于不同的A/R，2020/7/20，33，2M点荷载在圆内：在第三节中，半空间体在边界上受到正态分布力Q，圆内

10、m点S的微区Q对m点沉降的影响仍然是2020/7/20，34， 整个圆形区域荷载引起的m点下沉量为：在第三部分，半空体在边界上服从正态分布。 35，当r=0时是圆心；当r=a时，圆周下沉；3.2轴r=0上的应力和位移大于同一水平面上其他点上的应力和位移。在第三部分中，半空心体受到边界上的法向分布力，2020/7/20，36，1。应力：因为Z轴是对称的，所以Z轴上的应力没有剪切应力，这是主要的应力：r=，Z。在第三部分，半空心体受到法向分布力Q，4.1接触问题的特征：1两种弹性体相互接触，当没有压力时，是点接触或线接触。当有压力时，弹性体变形，点接触(或线接触)变成表面接触。2020/7/20，

11、40，2。变形弹性体的接触面是一个很小的局部区域(相对于弹性体的几何尺寸而言)，因此可以认为是半空间(半无限平面)体的法向受到局部分布力的问题，但这里的分布力Q是不均匀的，并且Q也是未知的，接触面的局部区域也是未知的。第四节，两个球体之间的接触压力，3。接触面的摩擦力不计算在内。2020/7/20，41，4.2两个球体之间的接触压力：众所周知，两个球体在变形前在0点接触，两个坐标系roz1和roz2，第四季度两个球体之间的接触压力，球体1: E1，1，R1，2: E2，2，R2，以及Z轴距接触点为R的两个球体表面上的点M1和M2的Z坐标分别为2020/7/20，42， 第四节两个球体之间的接触

12、压力，然后是2020/7/20，43，第四节两个球体之间的接触压力，在已知的压力P的作用下，两个球体在接触点附近变形，并有一个接触面，根据对称性，该接触面是一个半径为A的圆。2020/7/20，44，第四节中两个球体之间的接触压力，1a是要计算的量，接触面上有一个接触压力q(要计算)。由于接触问题是局部变形，球体上远离O点的任何一点的位移都是刚体位移。两个球远离o点的相对位移(刚体位移)是？应建立(找到)以下三个条件(几何、物理和平衡方程)来寻求A、Q和。2020/7/20，45，第四节两球体间的接触压力：首先，根据接触面的变形(位移)建立关系。球1接触面上的0点和M1点沿z1轴的位移为w1(

13、o)，w1 (O)=w1Z1，2020/7/20，46球2:接触面上的0点和M2点沿z2轴的位移为w2(o)，w2，w1(o) w2(o)=W1ZW2Z2，W1 (O) W2 (O)=W1W2R2，或，2020/7/20，47，W1，W1=W2 R2退化协调关系， 因为接触问题可以被认为是半无限体受到局部垂直分布力的问题，w1和w2可以使用前面部分的结果。2020/7/20，48，第四节中两个球体之间的接触压力，相当于物理和几何关系，2020/7/20，49，代入=w1 w2 r2，其中a、q和未知。在第四节中，两个球体之间的接触压力，2020/7/20，50，以及第四节中两个球体之间的接触压力，Q与p有关。为了找到解，赫兹假设力Q分布在接触面上。假设q分布是半径乘以q0/a的半球形表面，q0是接触表面中心的接触压力设定值。2020/7/20，51，第四季度两个球体之间的接触压力，2020/7/20，52，第四季度两个球体之间的接触