高考数学复习专题练习第4讲 定积分的概念与微积分基本定理

1、第 4 讲 定积分的概念与微积分基本定理 一、选择题 1 (ex2x)dx 等于() 1 0 A1Be1 Ce De1 解析 (exx2)ex2x， (ex2x)dx(exx2)| 1 0 1 0 (e112)(e00)e. 答案 C 2已知 f(x)2|x|，则 1f(x)dx 等于 () 2 A3 B4 C. D. 7 2 9 2 解析f(x)2|x|Error! 1f(x)dx 1(2x)dx (2x)dxError!Error! 2 . 2 0 2 0 012 0 3 2 7 2 答案C 3函数 f(x)满足 f(0)0，其导函数 f(x)的图象如图所 示， 则 f(x)的图象与 x

2、轴所围成的封闭图形的面积为 () A. B. 1 3 4 3 C2 D.8 3 解析由导函数 f(x)的图象可知函数 f(x)为二次函数，且对称轴为 x1， 开口方向向上 设函数 f(x)ax2bxc(a0)， 由 f(0)0， 得 c0.f(x)2ax b，因过点(1,0)与(0,2)，则有Error!Error!f(x)x22x，则 f(x)的图象 与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 S 2(x22x)dxError! ( 0 02 1 3 2)3(2)2 . 4 3 答案B 4若dx3ln 2(a1)，则 a 的值是 a 1(2x 1 x) () A2 B3 C4 D6 解析dx(x2l

3、n x)Error!a2ln a13ln 2，即 a2. a 1(2x 1 x) 答案A 5曲线 y 与直线 yx1 及 x4 所围成的封闭图形的面积为() 2 x A2ln 2 B42ln 2 C4ln 2 D2ln 2 解析 y 与直线 yx1 及 x4 所围成的面积为如图所示的阴影部分， 来 2 x 联立Error!得在第一象限的交点为(2,1)， 故所求面积为dx 4 2(x1 2 x) Error! 42ln 2. 4 2 答案 B 6如图所示，在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内，曲线 yx2和曲线 y围成x 一个叶形图(阴影部分)，向正方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正

4、方形 AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是 () A. B. C. D. 1 2 1 6 1 4 1 3 解析依题意知，题中的正方形区域的面积为 121，阴影区域的面积等于 1 0 (x2)dxError! ，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于 ，选 D.x 1 0 1 3 1 3 答案D 二、填空题 7设 a0，若曲线 y与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为 a2，则 ax _. 解析SdxError! a a2，a . a 0 x a 0 2 3 3 2 4 9 答案4 9 8已知 f(x)Error!若f(x)dx(k0，bR，函数 f(x)4ax3

5、2bxab. (1)证明：当 0 x1 时， 函数 f(x)的最大值为|2ab|a； f(x)|2ab|a0. (2)若1f(x)1 对 x0,1恒成立，求 ab 的取值范围 解 (1)证明：f(x)12ax22b12a. ( x2 b 6a) 当 b0 时，有 f(x)0，此时 f(x)在0，)上单调递增 当 b0 时，f(x)12a， ( x b 6a)(x b 6a) 此时 f(x)在上单调递减，在上单调递增 0， b 6a b 6a，) 所以当 0 x1 时，f(x)maxmaxf(0)，f(1) maxab,3abError!|2ab|a. 由于 0 x1，故当 b2a 时， f(x

6、)|2ab|af(x)3ab 4ax32bx2a4ax34ax2a 2a(2x32x1) 当 b2a 时，f(x)|2ab|af(x)ab 4ax32b(1x)2a4ax34a(1x)2a 2a(2x32x1) 设 g(x)2x32x1,0 x1，则 g(x)6x226， ( x 3 3 )( x 3 3 ) 于是 g(x)，g(x)随 x 的变化情况如下表： x0 ( 0， 3 3 ) 3 3 ( 3 3 ，1) 1 g(x)0 g(x)1减极小值增1 所以，g(x)ming10. ( 3 3 ) 4 3 9 所以当 0 x1 时，2x32x10. 故 f(x)|2ab|a2a(2x32x1)0. (2)由知，当 0 x1，f(x)max|2ab|a， 所以|2ab|a1. 若|2ab|a1，则由知 f(x)(|2ab|a)1. 所以1f(x)1 对任意 0 x1 恒成立的充要条件是Error!即Er