高考数学复习专题练习第2讲直接证明与间接证明

1、第 2 讲 直接证明与间接证明 一、选择题 1设 a，bR，则“ab1”是“4ab1”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析若“ab1” ，则 4ab4a(1a)4 211；若“4ab1” ， (a 1 2) 取 a4，b1，ab3，即“ab1”不成立；则“ab1”是 “4ab1”的充分不必要条件 答案A 2对于平面 和共面的直线 m，n，下列命题中真命题是 ( ) A若 m，mn，则 n B若 m，n，则 mn C若 m，n，则 mn D若 m，n 与 所成的角相等，则 mn 解析对于平面 和共面的直线 m，n，真命题是“若 m，n，则 m n”

2、 答案C 3要证：a2b21a2b20，只要证明 () A2ab1a2b20 Ba2b210 a4b4 2 C.1a2b20 D(a21)(b21)0 ab2 2 解析因为 a2b21a2b20(a21)(b21)0，故选 D. 答案D 4设 a，b 是两个实数，给出下列条件： ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1. 其中能推出：“a，b 中至少有一个大于 1”的条件是 () A B C D 解析若 a ，b ，则 ab1，但 a1，b2，故推不出； 若 a2，b3，则 ab1，故推不出； 对于，即 ab2，则 a，b 中至少有一个大于 1， 反证法：假设 a1 且 b1， 则 ab2，

3、与 ab2 矛盾， 因此假设不成立，a，b 中至少有一个大于 1. 答案C 5设 a，b，c 均为正实数，则三个数 a ，b ，c () 1 b 1 c 1 a A都大于 2 B都小于 2 C至少有一个不大于 2 D至少有一个不小于 2 解析a0，b0，c0， (a 1 b) (b 1 c) (c 1 a) (a 1 a) (b 1 b) 6，当且仅当 abc 时，“” 成立，故三者不能都小于 2，即至少 (c 1 c) 有一个不小于 2. 答案D 6如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值， 则 () AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形 BA1B1C1

4、和A2B2C2都是钝角三角形 CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形 DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形 解析由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于 0，则A1B1C1是锐角三 角形，假设A2B2C2是锐角三角形 不妨令Error!得Error! 那么，A2B2C2 ，这与三角形内角和为 相矛盾 2 所以假设不成立，所以A2B2C2是钝角三角形 答案D 二、填空题 7用反证法证明命题“a，bN，ab 可以被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能 被 5 整除” ，那么假设的内容是_ 解析“至少有 n 个”的否定是“最多有 n1 个” ，故应假设 a，b

5、 中没有一 个能被 5 整除 答案a，b 中没有一个能被 5 整除 8设 ab0，m，n，则 m，n 的大小关系是_abab 解析取 a2，b1，得 mn.再用分析法证明： a0，显然成ababababbabbab 立 答案mn 9已知 a，b，(0，)且 1，则使得 ab 恒成立的 的取值范围 1 a 9 b 是_ 解析a，b(0，)且 1， 1 a 9 b ab(ab)1010216，ab 的最小值为 16. ( 1 a 9 b) ( 9a b b a) 9 要使 ab 恒成立，需 16，016. 答案(0,16 10已知下表中的对数值有且只有一个是错误的. x35689 lg x2aba

6、c11abc3(1ac)2(2ab) 试将错误的对数值加以改正_ 解析由 2ablg 3，得 lg 92lg 32(2ab)从而 lg 3 和 lg 9 正确，假设 lg 5ac1 错误，则由 Error!得Error! 所以 lg 51lg 2ac.因此 lg 5ac1 错误，正确结论是 lg 5ac. 答案lg 5ac 三、解答题 11若 a，b，c 是不全相等的正数，求证： lglglglg alg blg c. ab 2 bc 2 ca 2 证明a，b，c(0，)， 0，0，0. ab 2 ab bc 2 bc ac 2 ac 又 a，b，c 是不全相等的正数， 故上述三个不等式中等号

7、不能同时成立 abc 成立 ab 2 bc 2 ca 2 上式两边同时取常用对数， 得 lglg(abc)， ( ab 2 bc 2 ca 2) lglglglg alg blg c. ab 2 bc 2 ca 2 12设数列an是公比为 q 的等比数列，Sn是它的前 n 项和 (1)求证：数列Sn不是等比数列； (2)数列Sn是等差数列吗？为什么？ (1)证明假设数列Sn是等比数列，则 S S1S3， 2 2 即 a (1q)2a1a1(1qq2)， 2 1 因为 a10，所以(1q)21qq2， 即 q0，这与公比 q0 矛盾， 所以数列Sn不是等比数列 (2)解当 q1 时，Snna1，

8、故Sn是等差数列； 当 q1 时，Sn不是等差数列，否则 2S2S1S3， 即 2a1(1q)a1a1(1qq2)， 得 q0，这与公比 q0 矛盾 13已知 f(x)x2axb. (1)求：f(1)f(3)2f(2)； (2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 . 1 2 (1)解f(1)ab1，f(2)2ab4，f(3)3ab9， f(1)f(3)2f(2)2. (2)证明假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 . 1 2 则 f(1) ， f(2) ， f(3) ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12f(2)1，1f(1)f(3)1. 2f(1)f(3)2f(2)2， 这与 f(1)f(3)2f(2)2 矛盾 假设错误，即所证结论成立 14对于定义域为0,1的函数 f(x)，如果同时满足以下三条： 对任意的 x0,1，总有 f(x)0；f(1)1；若 x10，x20，x1x21， 都有 f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数 f(x)为理想函数 (1)若函数 f(x)为理想函数，求 f(0)的值； (2)判断函数 g(x)2x1(x0,1)是否为理想函数，并予以证明 解(1)取 x1x20 可得 f(0)f(0)f(0)，f(0)0， 又由条件得 f(0)0，故 f(0)0. (