高考数学专题复习：专题4立体几何 第2讲

1、专题四第二讲专题四第二讲 一、选择题 1(2013德阳市二诊)设 m、n 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，若已知 m n，m，则“n”是“”的() A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析Error!.Error!/ n. 2(2014重庆理，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为() A54B60 C66D72 答案B 解析如图所示 该几何体是将一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的， 直三棱柱底面是直角三角形， 两直 角边长为 3 和 4，柱高为 5，EFAC，AC平面 ABDF，EF平面 ABDF，EFDF， 在直角梯形 ABDF 中

2、，易得 DF5，故其表面积为 SSRtABCS矩形 ACEFS梯形 ABDFS梯形 BCEDSRtDEF 3560. 3 4 2 52 4 2 25 5 2 3 5 2 3(文)设 、 是三个互不重合的平面，m、n 为两条不同的直线给出下列命题： 若 nm，m，则 n； 若 ，n，n，则 n； 若 ，则 ； 若 nm，n，m，则 . 其中真命题是() A和B和 C和D和 答案C 解析若 nm，m，则 n 或 n，即命题不正确，排除 A、B；若 ，n ，n，则 n，则命题正确，排除 D，故应选 C. (理)已知 、 是两个不同的平面， m、 n 是两条不重合的直线， 下列命题中正确的是() A若

3、 m，n，则 mn B若 m，mn，则 n C若 m，n，则 mn D若 ，n，mn，则 m 答案C 解析对于选项 A，m，n 有可能平行也有可能异面；对于选项 B，n 有可能在平面 内，所以 n 与平面 不一定平行；对于选项 D，m 与 的位置关系可能是 m，m，也 可能 m 与 相交由 n， 得，n 或 n，又 m，mn，故 C 正确 4如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，AED、 EBF、FCD 分别沿 DE、EF、FD 折起，使 A，B，C 三点重合于点 A，若四面体 AEFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为() A.B.2 6

4、 2 C.D. 11 2 5 2 答案B 解析由条件知 AE、AF、AD 两两互相垂直，以 A为一个顶点，AE、 AF、AD 为三条棱构造长方体， 则长方体的对角线为四面体外接球的直径， AEAF 1，AD2，(2R)21212226，R. 6 2 5已知矩形 ABCD，AB1，BC.将ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻2 折，在翻折过程中() A存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D对任意位置，三对直线“AC 与 BD” ，“AB 与 CD” ，“AD 与 BC”

5、均不垂直 答案B 解析过 A、C 作 BD 的垂线 AE、CF，AB 与 BC 不相等，E 与 F 不重合，在空 间图(2)中，若 ACBD，ACAEA，BD平面 ACE，BDCE，这样在平面 BCD 内， 过点 C 有两条直线 CE、CF 都与 BD 垂直矛盾，A 错；若 ABCD，ABAD，AB 平面 ACD，ABAC，ABAB， 这样的ABC 不存在，C 错误 6(文)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，AB2，CC12，E 为 CC1的中点，则直线2 AC1与平面 BED 的距离为() A2B. 3 C.D12 答案D 解析本题考查了正四棱柱的性质，点到直线距离的求解连接 AC、B

6、D，ACBD O，连接 EO，则 EOAC1.则点 C 到平面 BDE 的距离等于 AC1到平面 BDE 的距离，过 C 作 CHOE 于 H，CH 为所求在EOC 中，EC，CO，所以 CH1.本题解答体现了22 转化与化归的思想，注意等积法的使用 (理)已知四棱锥 PABCD 的侧棱长与底面边长都相等，点 E 是侧棱 PB 的中点，则异 面直线 AE 与 PD 所成角的余弦值为() A.B. 1 3 2 3 C.D. 3 3 2 3 答案C 解析设 AC 与 BD 的交点为 O，棱锥的各棱长都相等， O 为 BD 中点，EOPD，AEO 为异面直线 AE 与 PD 所成的角，设棱长为 1，

7、则 AO，EO ，AE，AO2EO2AE2，cosAEO. 2 2 1 2 3 2 OE AE 3 3 二、填空题 7a、b 表示直线，、 表示平面 若 a，b，ab，则 ； 若 a，a 垂直于 内任意一条直线，则 ； 若 ，a，b，则 ab； 若 a 不垂直于平面 ，则 a 不可能垂直于平面 内无数条直线； 若 l，m，lmA，l，m，则 . 其中为真命题的是_ 答案 解析对可举反例如图，需 b 才能推出 .对可举反 例说明， 当 不与 ， 的交线垂直时，即可得到 a，b 不垂直；对 a 只需垂直于 内一条直线便可以垂直 内无数条与之平行的直 线所以只有是正确的 8已知三棱柱 ABCA1B1

8、C1底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱6 柱的外接球表面积为 12，则该三棱柱的体积为_ 答案3 3 解析4R212，R，ABC 外接圆半径 r，柱高 h22，体32R2r2 积 V()223. 3 4 63 9已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 P 是线段 A1C1上的动点，则四棱锥 P ABCD 的外接球半径 R 的取值范围是_ 答案 3 4， 3 2 解析当 P 为 A1C1的中点时， 设球半径为 R， 球心到底面 ABCD 距离为 h， 则Error!， R ，当 P 与 A1(或 C1)重合时，外接球就是正方体的外接球，R，R ， 3 4 3 2 3

9、4 3 2 三、解答题 10(文)(2014江苏，16)如图，在三棱锥 PABC 中，D、E、F 分别为棱 PC、AC、AB 的中点已知 PAAC，PA6，BC8，DF5. 求证：(1)直线 PA平面 DEF； (2)平面 BDE平面 ABC. 解析(1)由于 D、E 分别是棱 PC、AC 的中点，则有 PADE， 又 PA平面 DEF，DE平面 DEF， 所以 PA平面 DEF. (2)由(1)PADE，又 PAAC，所以 DEAC， 又 F 是 AB 中点，所以 DE PA3，EF BC4， 1 2 1 2 又 DF5，所以 DE2EF2DF2，所以 DEEF， EF、AC 是平面 ABC

10、 内两条相交直线，所以 DE平面 ABC， 又 DE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC. (理)(2013内江模拟)已知 ABCD 是矩形，AD4，AB2，E、F 分别是 AB、BC 的中点， PA平面 ABCD. (1)求证：PFDF； (2)若 PD 与平面 ABCD 所成角为 30， 在 PA 上找一点 G， 使 EG平面 PFD， 并求出 AG 的长 解析(1)证明：连接 AF，PA平面 ABCD，且 DF平面 ABCD，DFPA， 又 F 为 BC 中点，BC4，AB2， BFBA，AFB45， 同理DFC45， AFD90，即 DFAF，DF平面 PAF. 又 PF平面 P

11、AF，PFDF. (2)PA平面 ABCD，PDA 就是 PD 与平面 ABC 所成角 PDA30，PA. 4 3 3 延长 DF 交 AB 延长线于 H，连接 PH，则平面 PDF 就是平面 PHD，在平面 PAH 内， 过 E 作 EGPH 交 PA 于 G. EGPH，PH平面 PHD，EG平面 PHD， 即 EG平面 PDF，故点 G 为所求 ，AG. AG AP AE AH 1 4 3 3 一、选择题 11(文)(2013吉大附中模拟)已知 m、n 为两条不同的直线，、 为两个不同的平面， 则下列命题中正确的是() Amn，mn B，m，nmn Cm，mnn Dm，n，m，n 答案A

12、 解析由线面垂直的性质定理知 A 正确；如图 1 知，当 m1，m1nA 时满足 B 的条件，但 m 与 n 不平行；当 m，mn 时，可能有 n；如图 2 知，mnl，l 时满足 D 的条件，由此知 D 错误 (理)设 m、n 是不同的直线，、 是不同的平面，有以下四个命题： Error!Error!m Error! Error!m 其中，真命题是() AB CD 答案C 解析正确，平行于同一个平面的两个平面平行；错误，由线面平行、垂直定理 知：m 不一定垂直于 ；正确，由线面平行，垂直关系判断正确；错误，m 也可能在 内综上所述，正确的命题是，故选 C. 12(文)(2013西城区模拟)如

13、图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 B1C1的中点，动 点 P 在底面 ABCD 内，且 PA1A1E，则点 P 运动形成的图形是() A线段B圆弧 C椭圆的一部分D抛物线的一部分 答案B 解析|AP|B1E|(定值)，故点 P 在底面 ABCD 内运动形A1P2AA2 1A1E2A1B2 1 成的图形是圆弧 (理)(2013保定市模拟)正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 CC1的中点，P 在底面 ABCD 内运动，且满足DPD1CPM，则点 P 的轨迹为() A圆的一部分B椭圆的一部分 C双曲线的一部分D抛物线的一部分 答案A 解析由DPD1CPM 得， MC PC D

14、D1 DP 2MC DP 2，在平面 ABCD 内，以 D 为原点，DA、DC 分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐 PD PC 标系，设 DC1，P(x，y)， PD2PC，2，整理得 x2(y )2 ，所以，轨迹为圆的一x2y2x2y12 4 3 4 9 部分，故选 A. 13(2013苍南求知中学月考)已知 A、B 是两个不同的点，m、n 是两条不重合的直线， 、 是两个不重合的平面，给出下列 4 个命题 ： 若 mnA，A，Bm，则 B； 若 m，Am，则 A；若 m，m，则 ；若 m，n，mn，则 ，其中真命题为() AB CD 答案C 解析m，m 上的点都在平面 内，又 Am，A，

15、对；由二面垂直 的判定定理知，正确 二、解答题 14 (文)如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， 底面 ABC 为正三角形， M、N、G 分别是棱 CC1、AB、BC 的中点且 CC1AC.2 (1)求证：CN平面 AMB1； (2)求证：B1M平面 AMG. 证明(1)如图取线段 AB1的中点 P，连接 NP、MP， CM 綊 BB1， 1 2 NP 綊 BB1， 1 2 CM 綊 NP， 四边形 CNPM 是平行四边形 CNMP. CN平面 AMB1，MP平面 AMB1， CN平面 AMB1. (2)CC1平面 ABC， 平面 CC1B1B平面 ABC， AGBC，AG平面 CC1B

16、1B， B1MAG. CC1平面 ABC， 平面 A1B1C1平面 ABC， CC1AC，CC1B1C1， 设 AC2a，则 CC12a，2 在 RtMCA 中，AMa.CM2AC26 在 RtB1C1M 中，B1Ma.B1C2 1C1M26 BB1CC1，BB1平面 ABC，BB1AB， AB12a.B1B2AB2C1C2AB23 AM2B1M2AB ，B1MAM. 2 1 又AGAMA，B1M平面 AMG. (理)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，ABBC，且 ABBC2，点 N 为 B1C1的中点，点 P 在棱 A1C1上运动 (1)试问点 P 在何处时，AB平面

17、 PNC，并证明你的结论； (2)在(1)的条件下，若 AA1AB，直线 B1C 与平面 BCP 所成角的正弦值为，求二面 10 10 角 ABPC 的大小. 解析(1)当点 P 为 A1C1的中点时，AB平面 PNC. P 为 A1C1的中点，N 为 B1C1的中点，PNA1B1AB AB平面 PNC，PN平面 PNC，AB平面 PNC. (2)设 AA1m，则 m2，AB、BC、BB，两两垂直， 以 B 为原点，BA、BC，BB1为 x 轴、y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(2,0,0)， C(0,2,0)，B1(0,0，m)，A1(2,0，m)，C1(0,2，m)， P(1,1，

18、m)，设平面 BCP 的法向量 n(x，y，z)， 则由 n0，n0，解得 y0，xmz，BP BC 令 z0，则 n(m,0，1)，又(0,2，m)，B1C 直线 B1C 与平面 BCP 所成角正弦值为， 10 10 ，解之得 m1 10 10 |nB1C| |n|B1C| n(1,0,1) 易求得平面 ABP 的法向量 n1(0，1,1) cos ，设二面角的平面角为 ，则 cos ，120. nn1 |n|n1| 1 2 1 2 15如图 1，在四棱锥 PABCD 中，底面为正方形，PC 与底面 ABCD 垂直(图 1)，图 2 为该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图，它们是腰长为 6c

19、m 的全等的等腰直角三角 (1)根据图 2 所给的正(主)视图、侧(左)视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积 ； (2)图 3 中，E 为棱 PB 上的点，F 为底面对角线 AC 上的点，且，求证：EF BE EP CF FA 平面 PDA. 解析(1)该四棱锥相应的俯视图为内含对角线、边长为 6cm 的正方形(如图) 其面积为 6636cm2. (2)连接 BF，延长 BF 与 AD 交于 G，连接 PG. 如图，在正方形 ABCD 中， ， BF FG CF FA 又因为，所以， BE EP CF FA BF FG BE EP 故在BGP 中，EFPG， 又 EF平面 PDA，PG平

20、面 PDA， 所以 EF平面 PDA. 16(文)(2013辽宁文，18)如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面，C 是圆 O 上的点 (1)求证：BC平面 PAC； (2)设 Q 为 PA 的中点，G 为AOC 的重心，求证：QG平面 PBC. 解析(1)由 AB 是圆 O 的直径，得 ACBC， 由 PA平面 ABC，BC平面 ABC，得 PABC. 又 PAACA，PA平面 PAC，AC平面 PAC， 所以 BC平面 PAC. (2)连 OG 并延长交 AC 于 M，连接 QM、QO， 由 G 为AOC 的重心，得 M 为 AC 中点 由 Q 为 PA 中点，得 QMPC， 又 O 为 AB 中点，得 OMBC. 因为 QMMOM，QM平面 QMO， MO平面 QMO，BCPCC， BC平面 PBC，PC平面 PBC， 所以平面 QMO平面 PBC， 因为 QG平面 QMO. 所以 QG平面 PBC. (理)(2013天津六校联考)如图