高考数学专题复习（精选精讲）练习5-椭圆习题精选精讲

1、椭椭 圆圆 （1）第一定义把椭圆从圆中分离）第一定义把椭圆从圆中分离 椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了中心和定长，但又产生了 2 个新的定点焦点. 准 确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础. 【例 1】 若点 M 到两定点 F1（0，-1） ，F2（0，1）的距离之和为 2，则点 M 的轨迹是 （ ） .椭圆 .直线 .线段 .线段的中垂线.AB 21F FC 21F FD 21F F 【解析】注意到且故点 M 只能在线段上运动，即点 M 的轨迹就是线段，选 C. 12 2,FF 12 2,MFMF 21F F 21F F

2、【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件，那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点，就会错误地选 A. （2）勾股数组椭圆方程的几何特征）勾股数组椭圆方程的几何特征 椭圆的长、短半轴 a、b 和半焦距 c，满足.在 a、b、c 三个参数中，只要已知或求出其中的任意两个，便可以求出第 3 个，继而写出椭圆方程和它的一切特征数值. 椭圆方程的标准式有明显的几何特征，这个几何特征就反映在这个勾股数组上. 所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组. 【例 2】已知圆，圆内一定点（3，0） ，圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 1003: 2 2 yxAABPBAP 【解析】如图，设两圆内切于

3、 C，动点 P（x，y） ， 则 A、P、C 共线. 连 AC、PB，10PAPBAC 为定长，而 A（-3，0） ，B（3，0）为定点，圆心的P 轨迹是椭圆.且.所求轨迹方程为：5,3,4acb . 22 1 2516 xy （3）第二定义椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟）第二定义椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟 如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程， 那么椭圆的第二定义则给椭圆及其方程给出了深刻的解释.根据这个解释， 我们 可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题. 【例 3】已知椭圆，能否在此椭圆位于 y 轴左侧部分上找一点 P，使它到左准线的距离是它到两焦点 F1，F2距离的比 1 34

4、 22 yx 例中项. 【解析】由椭圆方程知：. 1 2,3,1, 2 abce 椭圆的左准线为：.设存在椭圆上一点 P（x，y）:4l x （x0，取，选 D. 22 4 25648 40 3 kk 2 3 3 k 【评注】直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根，因而可转化为其判别式为零处理；同理，直线与曲线相 交要求相应的判别式大于零，相离则要求这个判别式小于零. （2）导数法把方程与函数链接）导数法把方程与函数链接 由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算，所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算，又能达到解题目的的好方法，导数法就是 最为明显的一种. 【例 5】求证：过椭圆

5、上一点的切线方程为：. 22 22 1 xy ab 00 ,M xy 00 22 1 x xy y ab 【证明一】 （解析法）设所求切线方程为：，代入椭圆方程： 00 yyk xx .化简得： 2 22222 00 b xakxkxya b 2 2222222 0000 201k abxkakxyxakxyb 直线与椭圆相切，方程（1）有相等二实根.其判别式=0，即： . 22 2422222 0000 440k akxyak abkxyb 化简得： 22222 0000 202kaxkx yby 点在椭圆上，方程（2）之判别式 00 ,M xy 222222 00 b xa ya b .

6、2222222222222222 10000000000 44440 x yaxbyx ya bb xa yx y X Y O C(2,0) P(x,y) 故方程（2）亦有相等二实根，且其根为： .则切线方程为： 222 0000000 222222222 0000 x yb x yb x yb x k axa bb xa ya y .再化简即得：. 2 0 00 2 0 b x yyxx a y 00 22 1 x xy y ab 【证明二】 （导数法）对方程两边取导数： 22 22 1 xy ab .则切线方程为： 22 0 2222 0 22 0 b xxy yb x yk aba ya

7、 y .再化简即得：. 2 0 00 2 0 b x yyxx a y 00 22 1 x xy y ab 【评注】 （1）两种证法的繁简相差多大，一看便知 （2）这个切线方程的实际意义很大.在有关运算中直接引用这个公式是十分省事的. （3）几何法为解析法寻根朔源）几何法为解析法寻根朔源 减少解析计算的又一个重要手段，是在解题中充分运用平面几何知识. 【例 6】 （07.湖南文科.9 题）设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为 12 FF， 22 22 1 xy ab 0abP3c （为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）c 122 | |FFF P A B C D 31 2

8、1 2 51 2 2 2 【解析】如图有，设右准线交 x 轴于 H， 2 , 3 a Pc c 2122 | | 2 ,360F PFFcPHcPF H且，故 ，选 D. 2 2 2 12 2 22 a F Hc OHcee c ， 【例 7】已知椭圆和圆 1 4 2 2 y x 2ax 1 2 y 总有公共点，则实数的取值范围是 （ ）a .4,4.3,3.2,2ARBCD 【解析】如右图椭圆的中心在原点， 1 4 2 2 y x 且长、短半轴分别为 a=2，b=1；圆2ax 1 2 y 的圆心为 C（a，0）且半径 R=1. 显然，当圆 C 从椭圆左边与之相切右移到椭圆 X Y O F1

9、F H 2 (, 3 ) a Pc c 2c X O Y C(a,0) 1 -1 2 -2 右边与之相切时都有公共点.此时圆心的横坐标由-3 增加到 3，故 a，选 C.3,3 在解析几何解体中引入平面几何知识包含两个重要方面，一是恰当地运用平面几何知识及其推理功能，二是利用图形变换去进行数 量的分析与计算 在解析几何解体中引入平面几何知识包含两个重要方面，一是恰当地运用平面几何知识及其推理功能，二是利用图形变换去进行数 量的分析与计算. （4）转移法将生疏向熟知化归）转移法将生疏向熟知化归 做数学题如果题题都从最原始的地方起步，显然是劳神费力且违反数学原则的.不失时机地运用前此运算成果就成为

10、数学思想的本质 特点.而转移法正是这一思想的具体体现. 【例 8】 （06.全国一卷.20 题）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点，离心率为的椭圆.设椭xOy)3,0( 1 F)3,0( 2 F 2 3 圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点 P 处的切线与 x,y 轴的交点分别为 A,B 且向量 OM=OA+OB.试求点 M 的轨迹方程 【分析】点 P 在已知轨迹（椭圆在第一象限的部分）上， 是主动点；点 M 在未知轨迹上，且随着点 P 的运动而运动，是 被动点.故本例是典型的国际已知轨迹求未知轨迹，适合用坐标 转移法解之.此外，过椭圆上一点 P 的切线方程，可以直接

11、运用 例 5 的结论. 【解析】椭圆的半焦距，离心率3c 3 , 2 c e a .又椭圆的焦点在 y 轴上，故其2a长半轴，短半轴b=1 方程为：. 2 2 1 4 y x 设点 P 的坐标为那么 0000 xyxy ，0 ， 2 2 0 0 11 4 y x 过点 P 的椭圆切线方程为： 0 0 12 4 y y x x 在方程（2）中，令 y=0，得. 0000 1144 000 xAxyB xxyy ，有， ；再令，得，有， 设点 M 的坐标为.由 OM=OA+OBx，y 0000 1414 00 xyxy x，y， ，代入（1）：. 0 0 0 0 1 1 4 4 x x x x y

12、 y y y 22 14 1 xy ，所求点 M 的轨迹方程是：. 00 010 2xy， 22 14 1 x xy 1，y2 转移法求轨迹方程的基本步骤是：（转移法求轨迹方程的基本步骤是：（1）在已知轨迹上任取一点）在已知轨迹上任取一点 M（x0，y0） ，并写出其满足的已知关系式；（） ，并写出其满足的已知关系式；（2）设）设 P（x，y）为待 求轨迹上一点，并根据题设条件求出两个坐标的关系式；（ ）为待 求轨迹上一点，并根据题设条件求出两个坐标的关系式；（3）用）用 x，y 的代数式分别表示的代数式分别表示 x0，y0，代入（，代入（1）中的关系式化简即得）中的关系式化简即得. X Y

13、O A B P(x , y0 0) M(x,y) 图 2 （5）三角法与解析法珠联璧合）三角法与解析法珠联璧合 三角学的资源丰富，方法灵活.在解析几何解题中适当引入三角知识，优点多多.例如椭圆方程的三角形式是：，既将 sin xa cos yb 点的坐标中的两个变量减少为一个，又可以利用三角的优势去解决解析几何中的疑难. 【例 9】若 P 是椭圆上的点，F1和 F2是焦点，则的最大值和最小值分别是1 34 22 yx 21 PFPFk 【解析】椭圆的长、短半轴分别为 a=2，b=，半焦距 c=1.焦点坐标分别为：F1（-1，0） ，F2（1，0）.设椭圆上一点为3 ，那么 2cos , 3si

14、nP . 2 22 1 2cos13sincos4cos42cosPF 同理；.于是 2 2cosPF 2 12 2cos2cos4coskPFPF 故所求最大值为 4，最小值是 3. 【例 10】如图 1，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（3，0） ，右准线 l 的方程为：x = 12。 （1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上任取三个不同点， 321 ,PPP 使，证明 133221 FPPFPPFPP 为定值，并求此定值. | 1 | 1 | 1 321 FPFPFP 【分析】本题选自 07.重庆卷.22 题，是压轴题. 难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径， 否则将陷入繁杂的计算

15、而不得自拔. 有关的 3 条线段都是焦半径，企图用椭圆的 第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.正确 的解题途径是：（1）利用椭圆的第二定义；（2） 题中有 3 个相等的角度，应不失时机地引入三角 知识. 【解析】椭圆的半焦距 c=3，右准线 x = 12 . 2 2222 12,12 336,27 a abac c 故椭圆方程为：，其离心率. 22 1 3627 xy 1 2 e 如图 2 设为椭圆上符合条件的三点，令.作 P1H1 于 H1，令 111222333 ,P x yP xyP xy 112233 ,FPr FPrFPrl ， 111 PHd 设P1Fx=则P2Fx=+120P3

16、Fx= 120-.于是，而 11 1 12 2 redx X Y O F P1 P2 P3 l 图1 X Y O F l , 222 (,)P x y 111 ( ,)P x y 333 (,)P x y 120 , 120 H1 . 11111 9 3cos ,29cos 2cos xrrrr 同理：.于是 23 99 , 2cos(120)2cos(120) rr 123 1111 2cos2cos(120)2cos(120) |9FPFPFP ，故为定值. 12 6cos2cos120 cos 93 如果读者有极坐标的有关知识，则本题的解法将更为简洁如果读者有极坐标的有关知识，则本题的解

17、法将更为简洁 圆锥曲线的极坐标方程是：圆锥曲线的极坐标方程是：.其中其中 e 是椭圆的离心率，是椭圆的离心率，p 是相应焦点到准线的距离，是极径与极轴的夹角是相应焦点到准线的距离，是极径与极轴的夹角. 1cos ep e 巧用定义求椭圆中四类最值问题巧用定义求椭圆中四类最值问题 圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它 方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。 一、的最值 若 A 为椭圆内一定点（异于焦点），P 是 C 上的一个动点，F 是 C 的一个焦点，e 是 C 的离心率，求的最小

18、值。 例 1. 已知椭圆内有一点 A（2，1），F 是椭圆 C 的左焦点，P 为椭圆 C 上的动点，求的最小值。 分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点 P 到左准线的距离。这种方法在本期椭圆中 减少运算量的主要方法一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。 二、的最值 若 A 为椭圆 C 内一定点（异于焦点），P 为 C 上的一个动点，F 是 C 的一个焦点，求的最值。 例 2. 已知椭圆内有一点 A（2，1），F 为椭圆的左焦点，P 是椭圆上动点，求的最大值与最小值。 解：如图 1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0） 图 1 由椭圆的第一定义得： 可知，当

19、 P 为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当 P 为的延长线与椭圆的交点时， 最小，最小值为。 故的最大值为，最小值为。 三、的最值 若 A 为椭圆 C 外一定点， 为 C 的一条准线，P 为 C 上的一个动点，P 到 的距离为 d，求的最小值。 例 3. 已知椭圆外一点 A（5，6）， 为椭圆的左准线，P 为椭圆上动点，点 P 到 的距离为 d，求的最小值。 解：如图 2，设 F 为椭圆的左焦点，可知其坐标为 图 2 根据椭圆的第二定义有：，即 可知当 P、F、A 三点共线且 P 在线段 AF 上时，最小，最小值。 故的最小值为 10。 四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值 例 4.

20、 定长为的线段 AB 的两个端点分别在椭圆上移动，求 AB 的中点 M 到椭圆右准线 的最 短距离。 解：设 F 为椭圆的右焦点，如图 3，作于 A”，BB” 于 B”，MM” 于 M” 图 3 则 当且仅当 AB 过焦点 F 时等号成立。 故 M 到椭圆右准线的最短距离为。 评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是 AB 能过焦点的充要条件。 椭圆中减少运算量的主要方法椭圆中减少运算量的主要方法 椭圆中减少运算量提高计算速度有多种方法，以下的四种主要方法比较常用，能够有效地减少运算量，希望同学们切实掌握。 一、追根溯源，回归定义 椭圆中许多性质都是由定义派生出来的，如果能够从其定义出

21、发，挖掘它的性质，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则可以大 大地减少运算量。 例 1. （全国高中数学联赛）给定 A（-2，2），已知 B 是椭圆上的动点，F 是左焦点，当取得最小值时， 求 B 点坐标。 分析：如果设点 B 的坐标，再求则计算量相当大，而如果利用椭圆的第二定义，把转化为 B 点到左准线 的距离就简单的多。 解：由已知椭圆方程得：，左准线为。如图 1，过 B 点作左准线的垂线，垂足为 N。过 A 点 作此准线的垂线，垂足为 M。根据椭圆的第二定义得： 则（为定值） 当且仅当 B 点是线段 AM 与椭圆的交点时等号成立。 可解得 B 点的坐标是 二、充分运用平面几何性质

22、结合平面几何的知识解决椭圆中的有关问题，也是避免繁杂运算的有效途径之一。 例 2. 椭圆的焦点为，点 P 为其上的动点。当为钝角时，点 P 的横坐标的取值范围是_。 分析：用为钝角的充要条件和焦半径公式以及余弦定理解题，最后因计算量过大均 可能造成繁解或错解。而充分运用平面几何性质则会得以简解。 解：依题意 以原点为圆心，为半径作圆，则是圆的直径。 若 P 点在圆外，则为锐角；若 P 点在圆上，则为直角；若 P 点在圆内，则为钝角。 联立 消去得： 故即为所求。 三、利用图形的性质化繁为简 细观题意，察看图形特征，从中找出解题突破口，也可以避免大量的运算。 例 3. （四川高中数学竞赛）已知

23、P 点在圆上移动，Q 点在椭圆上移动，求的最大值。 分析：如图 2，本题如能从图形出发，看到的最大值，等于的最大值与圆的半径之和，则可避免大量的运算。 图 2 解：设，则，即 的最大值为 四、利用“点差法”，设而不求 与弦中点的有关问题，主要有三种题型：求平行弦的中点轨迹；求过定点的弦中点的轨迹；求被定点平分的弦所在直线的方程，都可用 “点差法”减少运算量。 例 4. 椭圆中，过点 P（1，1）的弦 AB 恰被点 P 平分，求弦 AB 所在的直线方程。 解：设，则 由得： 则直线 AB 的斜率为： 故弦 AB 所在直线的方程为： 即 利用韦达定理、曲线系方程、建立恰当的坐标系、整体代换、三角换

24、元等方法也能起到减少运算量、提高计算速度的作用，在此就不再赘 述了。 椭圆椭圆 1 已知椭圆的中心在坐标原点已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1 与椭圆交于与椭圆交于 P 和和 Q，且，且 OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程，求椭圆方程 2 10 解 设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0, 1 1 22 nymx xy =4n24(m+n)(n1)0,即 m+nmn0,由 OPOQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, +1=0,m

25、+n=2 又 2 2,将 m+n=2,代入得 mn= nm n nm n 2) 1(2 ) 2 10 ( )(4 nm mnnm 4 3 由、式得 m=,n=或 m=,n=故椭圆方程为+y2=1 或x2+y2=1 2 1 2 3 2 3 2 1 2 2 x 2 3 2 3 2 1 2 设椭圆的左焦点为 （， ），左准线与 轴交 x a y b abFx 2 2 2 2 11 1020l 于 点（，） ， 过 点且 倾 斜 角 为的 直 线交 椭 圆 于、两 点 。NN o 3030lAB （ ）求直线和椭圆的方程；Il（）求证：点（，）在以线段为直径的圆上；IIFAB 1 20 （）在直线上有

26、两个不重合的动点、，以为直径且过点的所有IIIlCDCDF1 圆中，求面积最小的圆的半径长。圆中，求面积最小的圆的半径长。 解： （ ）直线 ：Iyxl 3 3 3 由已知，c a c 23 2 解得：，abac 2222 6642 椭 圆 方 程 为 xy 22 62 1 y l1 N -3 F1 O x B A （）解方程组II xy yx 22 3601 3 3 32 2126303 2 代入，整理得：xx 设，A xyB xy 1122 则，xxxx 1212 3 3 2 则kk y x y x xx xx F AF B 11 1 1 2 2 12 12 22 1 3 33 22 xx

27、xx x xxx 1212 1212 39 324 () 3 2 339 3 3 2 234 1 () () ，即F AF BAF B o 111 90点，在以线段为直径的圆上FAB 1 20() （III）面积最小的圆的半径应是点 F 到直线 l 的距离，设为 r 为所求r 3 3 203 3 3 1 1 2 2 () 221111 y2xy2xBFAFII，）的解法二：（ xxy y 1212 22 x xxxx xxx 12121212 24 1 3 39 4 3 370 1212 x xxx 又，xxx x 1212 3 3 2 ，即FA FBAFB o 111 90点，在以线段为直径

28、的圆上）FAB 1 20 3 已知、是椭圆的左、右焦点，已知、是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点是椭圆上位于第一象限内的一点，点 B 也在椭圆上，且满足也在椭圆上，且满足 1 F 2 F)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 为坐标原点） ，若椭圆的离心率等于为坐标原点） ，若椭圆的离心率等于OOOBOA(0 212 FFAF. 2 2 （）求直线（）求直线 AB 的方程；的方程； （）若的面积等于，求椭圆的方程；（）若的面积等于，求椭圆的方程； 2 ABF24 （）在（）的条件下，椭圆上是否存在点（）在（）的条件下，椭圆上是否存在点 M 使得的面积等于？若存在

29、，求出点使得的面积等于？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理由.MAB38 解： （）由知直线 AB 经过原点，又由OOBOA.0 212212 FFAFFFAF知 因为椭圆离心率等于，故 22 2 1 , 2 2 , 2 2 abac所以 椭圆方程可以写成， 设所以， 222 2ayx, 2 1 ),(ayycA AA 代入方程得) 2 1 , 2 2 (aaA 故直线 AB 的斜率，因此直线 AB 的方程为 2 2 k. 2 2 xy （）连接 AF1、BF1，由椭圆的对称性可知， 2112 FAFABFABF SS 所以故椭圆方程为 , 8,16,24

30、2 1 2 2 1 22 baac解得 . 1 816 22 yx （）由（）可以求得, 342)22(22 22 OAAB 假设在椭圆上存在点 M 使得的面积等于，设点 M 到直线 AB 的距离为 d，则应有，所以 MAB383834 2 1 d . 4 d 设 M 所在直线方程为与椭圆方程联立消去 x 得方程06422yx032684 2 yy 即故在椭圆上不存在点 M 使得的面积等于0862 2 yy084)62( 2 MAB. 38 4 已知已知 F1、F2是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点是椭圆上位于第一象限内的一点，点 B 也在椭圆上，且满

31、足也在椭圆上，且满足)0(1 2 2 2 2 ba b y a x （O 是坐标原点） ，若椭圆的离心率等于是坐标原点） ，若椭圆的离心率等于 （1）求直线）求直线 AB 的方程；的方程；0OBOA . 0 212 FFAF. 2 2 （2）若三角形）若三角形 ABF2的面积等于，求椭圆的方程；的面积等于，求椭圆的方程；24 解：（1）由知，由直 AB 经过原点，0OBOA 又由，因为椭圆的离心率等于， 212212 0FFAFFFAF知 2 2 所以，故椭圆方程 设 A (x，y)，由，知 x = c， 22 2 1 , 2 2 abac 222 2ayx0 212 FFAF A (c，y)

32、，代入椭圆方程得， 故直线 AB 的斜率) 2 1 , 2 2 (, 2 1 aaAay. 2 2 k 因此直线 AB 的方程为 . 2 2 xy （2）连结 AF1、BF1、AF2、BF2，由椭圆的对称性可知， 2112 FAFABFABF SSS 所以，又由，解得，故椭圆的方程为24 2 1 2 2 1 acac 2 2 8816,16 22 ba . 1 816 22 yx 5 已知椭圆，它的上下顶点分别是已知椭圆，它的上下顶点分别是 A、B，点，点 M 是椭圆上的动点（不与是椭圆上的动点（不与 A、B 重合） ，直线重合） ，直线 AM 交直线交直线 y=2 于于)0( 1 2 2 2

33、 2 ba b y a x 点点 N，且，且.（）求椭圆的方程；（）求椭圆的方程；BNBM （）若斜率为（）若斜率为 1 的直线的直线 l 交椭圆于交椭圆于 P、Q 两点，求证：与向量两点，求证：与向量 a=（3，1）共线（其中）共线（其中 O 为坐标原点）为坐标原点）.OQOP 解：（I）由题意，A（0，1） ，B（0，1） ，设 M（x0，y0） ，x00. 则直线 AM 的方程为 1 1 0 0 x x y y 0) 1(3 1 , 0, 3)3 , 1 (),1,( ).2 , 1 ( 1 1 , 2 0 0 2 0 0 0 00 0 0 0 0 y y x BNBMBNBM y x

34、BNyxBM y x N x x y y y 分 得由 ， 又M（x0，y0）在椭圆上， 0) 1(3 2 0 2 0 yx1 2 0 2 2 0 y a x 、联立并消去 y0，得 椭圆方程为 , 3, 0 3 1, 0 , 0 3 2 2 0 2 2 02 0 a a x a x x 即 . 1 3 2 2 y x （II）解法一：设直线 PQ 方程为 y=x+b. 分共线与故 分 为方程的两根则设 分 得由 12.) 1 , 3( ).1 , 3( 2 ) 2 , 2 3 (),( 10. 2 2 2 3 2 , 2 3 ,),(),( 903364 1 3 , 2121 2121 21

35、 212211 22 2 2 aOQOP bb byyxxOQOP b bbbxxyy bxx xxyxQyxp bbxx y x bxy 解法二：设， .1 3 ),(),( 2 1 2 1 2211 y x yxQyxP则1 3 2 2 2 2 y x ，得，0 3 2 2 2 1 2 2 2 1 yy xx 分共线与故 分 分即又 分则 12.) 1 , 3( 11),1 , 3)(),(3(),( 10).(3, 1 )(3 , 1 8 )(3 2121212121 2121 21 21 21 21 21 21 aOQOP yyyyyyyyxxOQOP yyxx yy xx K yx

36、xx xx yy K PQ PQ 6 已知直线相交于已知直线相交于 A、B 两点，且（两点，且（I）求椭圆）求椭圆 C 的离心的离心)0( 1:01: 2 2 2 2 ba b y a x Cyxl与椭圆). 3 2 , 3 4 (OBOA 率；率； （II）若椭圆）若椭圆 C 的右焦点关于直线的右焦点关于直线 l 的对称点在圆上，求椭圆的对称点在圆上，求椭圆 C 的方程的方程.5 22 yx 解：（I）设. ),(),( 2211 yxByxA), 3 2 , 3 4 (OBOA 3 2 , 3 4 2121 yyxx 由.01 12 ) 11 ( , 1 , 01 22 2 22 2 2

37、2 2 b x b x ba b y a x yx 得 该方程的两根为，由韦达定理，得 21,x x. 3 4 11 2 22 2 21 ba b xx 22 2ba ， 222222 22,caacab 2 2 ,2 22 a c eca （II）设椭圆的右焦点为 F（c，0） ，F 关于直线 l 的对称点为，),( 00 yxP 则 .1 , 1 , 1 , 01 22 0 0 0 0 00 cy x cx y ycx 解得上在圆5 22 yxP5)1 (1 2 c 故所求椭圆方程为. )( 13舍或c9,182 2222 cbca1 918 22 yx 7 已知定点已知定点 A（2，0）

38、 ，动点） ，动点 B 是圆（是圆（F 为圆心）上一点，线段为圆心）上一点，线段 AB 的垂直平分线交的垂直平分线交 BF 于于 P。64)2( : 22 yxF （1）求动点）求动点 P 的轨迹方程；的轨迹方程； （2）直线交）直线交 P 点的轨迹于点的轨迹于 M，N 两点，若两点，若 P 点的轨迹上存在点点的轨迹上存在点 C，使求实数，使求实数 m 的值；的值；13 xy,OCmONOM 解：（1）由题意：|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8|PA|+|PF|=8|AF|P 点轨迹为以 A、F 为焦点的椭圆 设方程为)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 分点轨迹方程为

39、6.1 1216 12 42, 4, 82 22 2 2222 yx P b cbaaa （2）设OCmONOMyxCyxNyxM),(),(),( 002211 分 得：由 10. 5 2 2)(3 , 15 38 0443815, 1 1216 13 , ),(),( 2121 21 2 22 21 0 21 0 002121 xxyy xx xx yx xy m yy y m xx x yxmyyxx 1 2512 4 25516 364 1 1216 5 2 15 38 22 22 00 mm yx C m y m x 上，在椭圆 14 分 15 15 , 15 1 2 mm 8 已知

40、椭圆一个顶点为已知椭圆一个顶点为 A（0，1） ，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数） ，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数.（I） 求椭圆的） 求椭圆的的)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 3 2 2 y x 方程；（） 过方程；（） 过 A 点且斜率为点且斜率为 k 的直线与椭圆相交于的直线与椭圆相交于 A、B 两点，点两点，点 M 在椭圆上，并且满足，求在椭圆上，并且满足，求 kOBOAOM 2 3 2 1 的值的值. 解：（）双曲线椭圆的离心率为。 3 32 3 13 1 3 2 2 的离心率为y x 2 3 椭圆的一个顶点为 A（0，1） ，b=1)0( 1 2

41、 2 2 2 ba b y a x 1 4 , 4, 2 31 2 2 2 2 2 y x a a a 椭圆的方程为 （）过 A 点且斜率为 k 的直线的方程是 y=kx+1，代入到椭圆方程中，消去 y 并整理得 显然这个方程有两解。设08)41 ( 22 kxxk则可解得),(),(),( 2211 yxMyxByxA 2 2 2211 2 21 41 41 1, 11 , 41 8 , 0 k k kxykxy k k xx 即 A（0，1） ，B ) 41 41 , 41 8 ( 2 2 2 k k k k ) 41 41 , 41 8 ( 2 3 ) 1 , 0( 2 1 ),( 2 2 2 k k k k yx 将 E 点的坐标代入到椭圆方程中，并去坟墓可得 )41 (2 )31 (431 , 41 34 2 2 2 k k y k k x 展开整理得 22222 )41 (4)31 (4)31(48kkk 2 1 , 16 1 4 kk 方法二： （）过 A 点且斜率为 k 的直线的方程是 y=kx+1，代入到椭圆方程中，消去 y 并整理得 显然这个方程有两解。设08)41 ( 22 kxxk则),(),(),( 2211 yxMyxByxA 分8.).3( 2 1 ),3( 2 1 ),( 2 3 ),( 2 1 ),(, 2 3