高考数学专题复习练习第八章第十节直线与圆锥的位置关系[理]

1、第八章 第十节 直线与圆锥的位置关系理第八章 第十节 直线与圆锥的位置关系理 课下练兵场课下练兵场 命命 题题 报报 告告 难度及题号难度及题号 知识点知识点 容易题容易题 (题号题号) 中等题中等题 (题号题号) 稍难题稍难题 (题号题号) 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系1、35、7、8、9 相交弦的问题相交弦的问题2、46 综合应用综合应用1011、12 一、选择题一、选择题 1设抛物线设抛物线 y28x 的准线与的准线与 x 轴交于点轴交于点 Q，若过点，若过点 Q 的直线的直线 l 与抛物线有公共点，则直线与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是的斜率的取值范

2、围是 () A ， ， B2,2 C1,1 D4,4 1 2 1 2 解析 ：解析 ： 设直线方程为 yk(x2)，与抛物线联立方程组，整理得 ky28y16k0.当 k 0 时，直线与抛物线有一个交点当 k0 时，由 6464k20，解得1k1.所以 1k1. 答案：答案：C 2(2010西城模拟)设斜率为设斜率为 1 的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 C： ： 1 相交于不同的两点相交于不同的两点 A、B，则，则 x2 4 y2 2 使使|AB|为整数的直线为整数的直线 l 共有共有 () A4 条条 B5 条条 C6 条条 D7 条条 解析 ：解析 ： 设直线 AB 的方程为 yxb， 代

3、入椭圆 C： 1， 可得 3x24bx2b24 x2 4 y2 2 0，由 16b212(2b24)0，可得 b2b0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1、F2，过，过 F1作倾斜角为作倾斜角为 30的直线与的直线与 x2 a2 y2 b2 椭圆有一个交点椭圆有一个交点 P，且，且 PF2x 轴，则此椭圆的离心率轴，则此椭圆的离心率 e 为为 () A. B. C. D. 3 3 3 2 2 2 2 3 解析：解析：在 RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，|PF1|2|PF2|，根据椭圆的定义 得|PF2| a，|PF1| a，又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，

4、即a2 a24c2，e . 2 3 4 3 16 9 4 9 c a 3 3 答案：答案：A 4过抛物线过抛物线 y24x 的焦点的焦点 F 作两条弦作两条弦 AB 和和 CD，且，且 ABx 轴，轴，|CD|2|AB|，则弦，则弦 CD 所在直线的方程是所在直线的方程是 () Axy10 Bxy10 或或 xy10 Cy(x1)2 Dy(x1)或或 y(x1)22 解析：解析：依题意知 AB 为抛物线的通径，|AB|2p4，|CD|2|AB|8，显然满足条件的 直线 CD 有两条，验证选项 B，由Error!得 ： x26x10，x1x26，此时|CD|x1 x2p8，符合题意同理，xy10

5、 也符合题意 答案：答案：B 5已知已知 F1、F2是双曲线是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，以线段的两个焦点，以线段 F1F2为斜边作等腰直角为斜边作等腰直角 x2 a2 y2 b2 三角形三角形 F1MF2，如果线段，如果线段 MF1的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 () A. B. C. D.6262 10 2 2 10 2 2 解析：解析：记双曲线的焦距为 2c.依题意知点 M 在 y 轴上，不妨设 F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点，M 在 y 轴正半轴上，则有 F1(c,0)，M(0，c)，线段 MF1的中点坐标是( ， )又线段 M

6、F1的中点在双曲线上，于是有1，即4， c 2 c 2 ( f(c,2)2 a2 (f(c,2)2 b2 c2 a2 c2 b2 4，(e2)26e240，e23.又 e21，因此 e23，注意到 c2 a2 c2 c2a2 55 ()23，e. 10 2 2 5 10 2 2 答案：答案：C 6斜率为斜率为 1 的直线的直线 l 与椭圆与椭圆y21 相交于相交于 A、B 两点，则两点，则|AB|的最大值为的最大值为 () x2 4 A2 B. C. D. 4 5 5 4 10 5 8 10 5 解析：解析：设直线 l 的方程为 yxt，代入y21，消去 y 得 x22txt210，由题 x2

7、 4 5 4 意得 (2t)25(t21)0，即 t25.弦长|AB|4.2 5 t2 5 4 10 5 答案：答案：C 二、填空题二、填空题 7若斜率为的直线若斜率为的直线 l 与椭圆与椭圆1(ab0)有两个不同的交点，且这两个交点在有两个不同的交点，且这两个交点在 x 轴轴 2 2 x2 a2 y2 b2 上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为_ 解析 ：解析 ： 由题意易知两交点的横坐标为c， c， 纵坐标分别为， ， 所以由 b2 a b2 a b2 a (f(b2,a) c( c) 2b2ac2(a2c2)，即 2e2e20，

8、解得 e(负根舍去) 2 2 22 2 2 答案：答案： 2 2 8已知直线已知直线 l 与抛物线与抛物线 y28x 交于交于 A、B 两点，且两点，且 l 经过抛物线的焦点经过抛物线的焦点 F，A 点的坐标为点的坐标为 (8,8)，则线段，则线段 AB 的中点到准线的距离是的中点到准线的距离是 _. 解析：解析：由 y28x 知 2p8，p4. 设 B 点坐标为(xB，yB)，由 AB 直线过焦点 F， 直线 AB 方程为 y (x2)， 4 3 把点 B(xB，yB)代入上式得： yB (xB2) (2)， 4 3 4 3 y2 B 8 解得 yB2，xB ， 1 2 线段 AB 中点到准

9、线的距离为2. 81 2 2 25 4 答案：答案：25 4 9已知抛物线已知抛物线 y22px(p0)上一点上一点 M(1，m)到其焦点的距离为到其焦点的距离为 5，双曲线，双曲线 x2 1 的左的左 y2 a 顶点为顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直，则实数垂直，则实数 a_. 解析：解析：根据抛物线的焦半径公式得 1 5，p8.不妨取 M(1,4)，则 AM 的斜率为 2， p 2 由已知得21，故 a .a 1 4 答案：答案：1 4 三、解答题三、解答题 10已知椭圆已知椭圆1(ab0)的一个顶点为的一个顶点为 A(0,1)，且它的离心率与

10、双曲线，且它的离心率与双曲线y21 x2 a2 y2 b2 x2 3 的离心率互为倒数的离心率互为倒数 (1)求椭圆的方程；求椭圆的方程； (2)过点过点 A 且斜率为且斜率为 k 的直线的直线 l 与椭圆相交于与椭圆相交于 A、 B 两点， 点两点， 点 M 在椭圆上， 且满足在椭圆上， 且满足OM ，求，求 k 的值的值 1 2OA 3 2 OB 解：解：(1)双曲线y21 的离心率为， x2 3 2 3 3 椭圆的离心率为. 3 2 又b1，a2. 椭圆的方程为y21. x2 4 (2)设直线 l 的方程为 ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m，n) 由Error!得(1

11、4k2)x28kx0， x1x2，x1x20. 8k 1 4k2 ，OM 1 2OA 3 2 OB m (x1x2)，n (y1y2)， 1 2 3 1 2 3 点 M 在椭圆上，m24n24， (x1x2)2(y1y2)2 1 4 33 (x 4y )3(x 4y )2x1x28y1y2 1 4 2 12 12 22 2 33 4128y1y24. 1 4 3 y1y20， (kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)1 k()10， 8k 1 4k2 即 k2 ，k . 1 4 1 2 此时 (8k)24(14k2)064k2160 k 的值为 . 1 2 11(2010大连模拟)椭

12、圆椭圆1(ab0)的长轴为短轴的倍，直线的长轴为短轴的倍，直线 yx 与椭圆交于与椭圆交于 x2 a2 y2 b2 3 A、B 两点，两点，C 为椭圆的右顶点，为椭圆的右顶点， .OA OC 3 2 (1)求椭圆的方程；求椭圆的方程； (2)若椭圆上两点若椭圆上两点 E、F 使使，(0,2)，求，求OEF 面积的最大值面积的最大值OE OF OA 解：解：(1)根据题意，ab，C(a,0)，3 设 A(t，t)，则 t0，1. t2 a2 t2 b2 解得 t2 b2，即 tb， a2b2 a2b2 3 4 3 2 (b，b)，(a,0)，OA 3 2 3 2 OC abb2 ，OA OC 3

13、 2 3 2 3 3 2 b1，a，3 椭圆方程为y21. x2 3 (2)设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF 中点为 M(x0，y0)， ，OE OF OA Error! E、F 在椭圆上，则Error! 由得y y 0， x2 1x2 2 3 2 12 2 kEF ， y1y2 x1x2 1 3 x1x2 y1y2 1 3 直线 EF 的方程为 y (x)， 3 4 1 3 3 4 即 x3y，代入y21，3 x2 3 整理得 4y22y210，3 y1y2，y1y2， 3 2 21 4 |EF|y1y2|(x1x2)2(y1y2)210 ，10 324(21) 2 10 4 2

14、 2 又原点 O(0,0)到直线 EF 的距离为 h， 3 10 S OEF |EF|h 1 2 3 4 2 4 ， 3 4 2(42) 3 4 242 2 3 2 当 时等号成立，所以OEF 面积的最大值为.2 3 2 12已知椭圆已知椭圆 C1的中心在坐标原点的中心在坐标原点 O，焦点在，焦点在 x 轴上，离心率为轴上，离心率为 e，点，点 P 为椭圆上一为椭圆上一 3 2 动点，点动点，点 F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且分别为椭圆的左、右焦点，且PF1F2面积的最大值为面积的最大值为 . 3 (1)求椭圆求椭圆 C1的方程；的方程； (2)设椭圆短轴的上端点为设椭圆短轴的上端点为

15、A，点，点 M 为动点，且为动点，且 |2，成等成等 1 5 2 F A 1 2 2 F M AM 1 AF OM 差数列，求动点差数列，求动点 M 的轨迹的轨迹 C2的方程；的方程； (3)过点过点 M 作作 C2的切线的切线 l 交交 C1于于 Q、R 两点，求证：两点，求证：0.OQ OR 解：解：(1)设椭圆 C1的方程为1(ab0)，c，则 ，所以 a2b. x2 a2 y2 b2 a2b2 c a 3 2 由椭圆的几何性质知，当点 P 为椭圆的短轴端点时， PF1F2的面积最大，故 |F1F2|bbc， 1 2 3 解得 a2，b1. 故所求椭圆方程为y21. x2 4 (2)由(

16、1)知 A(0,1)，F1(，0)，F2(，0)，33 设 M(x，y)，则(，1)，(x，y)， 2 F A 3 2 F M 3 (x，y1)，(，1)AM 1 AF 3 由已知条件得 x(x)y(y1) xy， 整理， 得 M 的轨迹 C2的方程为 x2y23 4 5 3 . 4 5 (3)证明：l 的斜率存在时，设 l 的方程为 ykxm，代入椭圆方程并整理，得 (14k2)x28mkx4m240， (8mk)216(m21)(14k2)0. 设 Q(x1，y1)，R(x2，y2)，则 x1x2，x1x2， 8mk 1 4k2 4m24 1 4k2 所以 y1y2(kx1m)(kx2m) k2x1x2km(x1x2)m2， x1x2y1y2OQ OR (1k2)x