专题十一 因式分解的常用方法

1、。因子分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式因式分解是代数常数变形的基本形式之一，广泛应用于初等数学，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活而巧妙。学习这些方法和技巧不仅是掌握因式分解内容的必要条件，也是培养学生解决问题的能力和发展思维能力的必要条件。他们都扮演着一个非常独特的角色。初中数学教材中主要介绍了提取公因子、应用公式、分组分解和交叉乘法的方法。本讲和下一讲将在中学数学教材的基础上进一步介绍因式分解的方法、技巧和应用。1.通用系数法：ma mb mc=m(a b c)第二，使用公式法。在代数表达式的乘法和除法中，我们已经学习了几个乘法公式，现在我们反过来使用它们，即因式分解

2、中常用的公式，例如：(1)(a b)(a-b)=a2-B2-a2-B2=(a b)(a-b)；(2)(ab)2=a22ab B2 a22ab B2=(ab)2；(3)(a b)(a2-ab B2)=a3 B3-a3 B3=(a b)(a2-ab B2)；(4)(a-b)(a2 ab B2)=a3-B3-a3-B3=(a-b)(a2 ab B2)。下面添加了两个常用公式：(5)a2 B2 C2 2ab 2bc 2ca=(a b c)2；(6)a3 B3 C3-3bc=(a b c)(a2 B2 C2-ab-BC-ca)；例子：众所周知有三个方面，那么的形状是()A.直角三角形b等腰三角形c等边三

3、角形d等腰直角三角形解决方案：3.分组分解法。(a)分组可以直接提到共同因素示例1，因子分解：分析：从“整体”的角度来看，这个多项式的每一项既没有一个可以提及的共同因素，也没有一个可以分解的公式，但是从“局部”的角度来看，这个多项式的前两项包含A，后两项包含B，所以我们可以考虑把前两项分成一组，然后把后两项分成一组，先分解，然后再考虑两组之间的关系。解决方案：原始公式=各组之间有一个共同的因素！=示例2，因子分解：解决方案1:第一项和第二项是一组；解决方案2:第一项和第四项是一组；第三和第四项被分组。第二项和第三项组合在一起。解决方案：原始公式=原始公式=练习：分解因子1，2，(二)分组后可以

4、直接使用公式示例3，因子分解：分析：如果第一项和第三项被分成一组，第二项和第四项被分成一组，虽然公因数可以提高，但提高后可以继续分解，所以只能单独分组。解决方案：原始公式=示例4，因子分解：解决方案：原始公式=练习：分解因子3，4，综合练习：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11)(12)四.交叉乘法。(a)二次项系数为1的二次三项式使用公式直接分解。特征：(1)二次项系数为1；(2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常项的两个因子之和。思考：交叉乘法的基本定律是什么？例如，已知0 5是整数。如果可以用交叉乘法分解因子，就可以满足要求。分析：任何二

5、次三项式ax2 bx c都需要0，并且是一个完整的平方数。所以这是一个完美的平方数，示例5，因子分解：分析：将6除成两个数并相乘，这两个数的和应该等于5。由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，可以发现只有23的分解是合适的，即2 3=5。1 2解决方案：=1 3=12 13=5用这种方法分解的关键是把常数项分解成两个因子的乘积，这两个因子的代数和应该等于第一项的系数。示例6，因子分解：解决方案：原始公式=1 -1=1 -6(-1) (-6)=-7练习5，因子分解因子(1)、(2)和(3)练习6，因子分解因子(1)、(2)和(3)(2)二次项系数不等于1 的二次三项式条件：(1

6、)(2)(3)分解结果：=示例7，因子分解：分析：1 -23 -5(-6) (-5)=-11解决方案：=练习7。因式分解：(1) (2)(3) (4)(3)二次项系数为1的齐次多项式示例8，因子分解：分析：把它当作常数，把原来的多项式当作二次三项式，用交叉乘法分解。1 8b1 -16b8b (-16b)=-8b解决方案：=练习8。因子分解(1)、(2)和(3)(4)二次项系数不为1的齐次多项式实施例9，实施例10，1 -2y整体1 -12 -3y 1 -2(-3y) (-4y)=-7y (-1) (-2)=-3解决方案：原始公式=解决方案：原始公式=练习9。因式分解：(1) (2)综合练习10

7、，(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)(8)(9)(10)思考：因式分解：V.替代方法。示例13，因子分解因子(1)(2)解决方法：(1)让2005=，那么原来的公式=(2)分解因子时，像这样类型的多项式可以成对地乘以四个因子。原始公式=那就开始吧原始公式=练习13，因式分解(1)(2)(3)示例14，因子分解因子(1)观察：这个多项式的特征是关于幂的约化简排列，每个项的次数依次是少一，并且系数是“轴对称的”。这种多项式属于“等距多项式”。方法：提取中期及其时间的字母，保留系数，然后采用替换法。解决方案：原始公式=那就开始吧原始公式=(2)解决方案：原始公式=那就开始吧原始公式=练

8、习14，(1)(2)六、增加项目、拆分项目、分配方式。示例15，因子分解因子(1)解决方案1拆卸。添加到解决方案2。原始公式=原始公式=(2)解决方案：原始公式=练习15，因式分解(1) (2)(3) (4)(5) (6)七、待定系数法。示例16，因子分解分析：原始公式的前三项可以分成，那么原始多项式必须分成解决方案：让=通过比较左右两边相同项的系数，我们可以得到解原始公式=例17，(1)当什么是值时，多项式可以分解因子并分解多项式。(2)如果两个因素为和，则求其值。(1)分析：前两项可以分解成，所以多项式分解的形式必须是解决方案：让=然后=通过比较相应的系数，我们可以得到：解是：或那时，原始

9、多项式可以分解；当时，原始公式=；当时，原始公式=(2)分析：它是一个三次形式，所以它应该被分成三个线性形式并相乘，所以第三个因子必须是线性二项式形式。解决方案：让=然后=解决方案，=21练习17，(1)因子分解(2)因子分解(3)众所周知，它可以分解成两个线性因子的乘积，求出常数并分解因子。(4)为什么它可以分解成两个线性因子的乘积并分解这个多项式？第二部分：成套练习经典之作：首先，填空1.将一个多项式转换成几个代数表达式的形式叫做分解这个多项式。2分解系数：m3-4m=。3.分解系数：x2-4y2=_ _ _ _ _ _。4.分解系数：=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

10、_。5.xn-yn的因式分解结果是(x2 y2)(x y)(x-y)，那么n的值是。6.如果是，则=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。第二，选择题7.多项式的公因式是()甲、乙、丙、丁、8.在从左到右的下列变体中，因子分解是()甲、乙、c、D、10.下列多项式可以分解的因子是()(甲)x2-y(乙)x2 1(丙)x2 y y2(丁)x2-4x 411.将(x-y) 2-(y-x)分解成()A.(x-y)(x-y-1) B.(y-x)(x-y-1)C.(y-x)(y-x-1) D.(y-x)(y-x+1)12.以下分解因素是正确的()A.10ab2c+6ac

11、2+2ac=2ac(5b2+3c)B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)c . x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1)D.(a-2b)(3a+b)-5(2 b-a)2=(a-2b)(11 b-2a)13.如果k-12xy 9x2是完全平坦模式，那么k应该是()A.2 B.4 C.2y2 D.4y2三、以下几种因式分解：14、15、16、17、18、19 、V.回答问题20.如图所示，从一张边长为6.67厘米的正方形纸上挖出一个边长为3.33厘米的正方形.找出纸的其余部分。dD21、如图所示，某环保工程需要一种空心混凝土管，其规格有内径和

12、长外径。根据分解系数，浇注一段这样的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，结果将保留2个有效数字)22.观察下列方程的规律，并根据这个规律写出第五个方程。经典2:因式分解综述知识总结和归纳因式分解是将一个多项式分解成几个代数表达式乘积，它们是代数表达式乘法的逆运算。它在初中代数中起着重要的作用，并被广泛应用于其他学科。学习本章时，我们应该注意以下几点。1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果必须是代数表达式乘积的形式；3.必须对因素进行分解，直到每个因素不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式或多项式；5.如果结果有相同的因素，就应该用幂的形式来写；6.主题中没有指定的数字范围，一般是指在有理数范围内的分解；7.因子分解的一般步骤是：(1)通常采用“提高”、“公开”、“划分”和“改变”的步骤。也就是说，首先看看是否有一个共同的因素值得一提，然后看看你是否可以直接使用乘法公式；如果前两个步骤不能实现，可以使用分组分解方法。分组的目的是使分组后的公共因子可用，或者通过公式法继续分解；(2)如果上述方法不可行，可以尝试采用匹配法、替代法、待定系数法、试除法、分项(加分项)法等方法；让我们复习一下本章所学的内容。1.通过基本思想达到分解多项式的目的例1。因子分解分析：这是一个六项公式