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1、1,第四章 电磁波的传播,2,又由,1 平面电磁波,一、电磁场的波动方程,3,电磁场在真空中的波动方程 :,或表为,， 其中,极化率与电磁波频率有关,在线性介质中，,电容率和磁导率与频率有关的现象称为介质的色散。,讨论：,上述方程的解决定于边界条件，有多种形式的解。 所有频率的电磁波在真空中都以光速传播（如无线电波、光、X射线和射线等）。 光速是最基本的物理参数量之一。（c: 电磁现象；G : 万有引力；k: 热现象，h : 量子现象）,4,时谐电磁波：指电场和磁场随时间作谐振变化的电磁波。时谐电磁波是单一频率电磁波，也称为单色电磁波。,为什么要研究时谐电磁波？,注意：,由于色散效应，一般而言

2、，对于介质中没有和真空情形类似的波动方程（不能以 替换 ） 。 对于非单一频率（非正弦变化）的电磁波，一般不再满足 。,二、时谐电磁波,讨论：,许多实际电磁波（如无线电广播、通讯中的载波、激光器辐射的光束等）可近似作为单一频率电磁波； 对一般电磁波，可作Fourier频谱分析，电磁波可分解为不同频率单色波的叠加。,5,时谐电磁波的复数形式,单一频率的电磁波满足,空间部分满足Helmholtz方程,其中,对某一频率，Helmholtz方程一般有多种电磁波解，每种解称为一种波模。,6,Helmholtz方程最简单情形：电场和磁场只与x有关。 以电场为例,，它的一个解为,考虑时间部分,三、平面电磁波

3、,讨论：,称为相位。在某一时刻，相位相同的点构成等相面（波阵面）。上述平面波的等相面与 x 轴正交；他是沿x 轴正向传播的平面波。 在某一时刻，空间位置变化一个波长，相位变化， 相速: 等相面移动速度。,7,设一等相面满足,，经过时间t，该等相面移动了x,平面波的相速,其中 称为波矢，,等相面与波矢方向垂直。相速方向与波矢方向一致，大小,平面电磁波沿任意方向传播时,8,可见，平面电磁波是横波。 、 和 两两相互垂直， 沿 方向。,且 和 同相。,平面电磁波的电场和磁场的关系,9,对于线性介质，能量密度,能流密度,平面电磁波能量沿波矢方向传播，能量传输速度等于相速。,四、平面电磁波的能量和能流,

4、10,在电场和磁场的复数形式中，实部才有实际意义，能量密度和能流密度涉及场量的二次项，不能用复数形式进行计算。,瞬时值,空间变化周期缩小为场量的一半。,平均值,数学补充：,设两个复函数 和 ，考虑其乘积在一个周期内的平均值。,11,设两个矢量函数 和 ，也有,能量密度和能流密度的平均值,12,复杂电磁波可以分解为平面电磁波的叠加傅立叶频谱分析,分离（频）谱情形,连续（频）谱情形,平面电磁波投射到介质表面，存在入射、反射和折射波，,电磁波的折射和反射现象属于电磁场边值问题。电磁波在介质分界面处，波矢、振幅改变，但频率不变。,2 电磁波在介质界面上的反射与折射,一、反射和折射定律,13,电磁波满足

5、的Maxwell方程,对单一频率电磁波,散度方程自然满足，可见只有两个方程是独立的。,只有两个独立的边值关系：,设介质分界面附近,14,波矢关系式：,，三个波矢共面。,对单色平面波，相速,由波矢关系式，,电磁波反射定律,电磁波折射定律,15,讨论：,电磁波在介质中的相速： 介质的折射率 相对折射率（介质2相对于介质1） 对非铁磁介质 由于电容率与频率有关，电磁波折射时有色散现象。,平面电磁波有两个独立（相互垂直）的偏振方向。常选择为：与入射面垂直和与入射面平行,16,在界面附近,界面附近相因子相同，上式中是场量振幅。,对于平面电磁波,利用 和折射定律可得,17,以上关于振幅的关系式称为Fres

6、nel公式,讨论：,垂直和平行于入射面的分量具有不同的反射和折射行为； 自然光反射、折射后为部分偏振光； 当 时， Fresnel公式 表明：反射光 无平行于入射面的成份，是完全偏振光。这就是 Brewster 定律，相应入射角为布儒斯特角； 若 （由光疏向光密介质入射），垂直于入射面的分量存在半波损失。 由折射定律，如 ，Fresnel公式 表明： 垂直于入射面的分量，反射波与入射波反相。,18,设 （由光密向光疏介质入射），令,当入射角 时，将发生全反射现象。,三、全反射,全反射时，由电磁场的边值关系，介质2中存在电磁场。,由波矢关系式 ，又,如果,令,选入射面为 xz 面，则,介质2中的

7、电磁波,全反射时介质2中仍存在电磁波。它是沿 x 轴方向传播，且沿z轴指数衰减的平面电磁波。,19,衰减长度,讨论：,透射到介质2中的薄层厚度与电磁波波长数量级。 随入射角减小，投入薄层厚度增大。,电场垂直于入射面情形，即,对于平面电磁波有,磁场有两个分量,20,全反射时，介质2中磁场的x分量与电场存在 / 2 相差。,E 垂直于入射面情形,介质2中，能流密度的 z 分量不为零，表明有能量进入介质2。,注意到,21,在全反射时，沿 z 方向透入介质2的平均能流密度为零。,全反射时，Fresnel公式仍然成立，只要作变换,22,其中,讨论：,反射波与入射波振幅相同，表明反射波平均能流密度与入射波

8、相同，能量被全部反射； 反射波与入射波有一定相差，表明反射、入射波瞬时能流密度不同； 能流密度 z 分量瞬时值不为零而平均值为零，表明在全反射时，介质2具有（临时存储能量的）实际物理作用：在半周内能量进入介质2，在另一半周释放能量到介质1。,全反射情形,23,如果导体内存在电荷，则 ，又由欧姆定律 ，由电荷守恒定律 可得,导体中电荷密度满足方程,其解为,衰减特征时间,3 有导体存在时电磁波的传播,一、导体内自由电荷分布,理想导体电导率无穷大，其内部无电荷分布。 对实际导体，若电场变化周期满足 即 可近似认为内部无电荷分布，这样的导体称为良导体。 一般金属 ，只要频率不是太高，均可视为良导体。,

9、讨论：,24,对单一频率电磁波,引入复电容率,这与介质情形在形式上是一致的。,二、导体内电磁波、复电容率,25,（关于耗散功率密度） 考虑最简单情形：长度为l，横截面为S 的一段导体，电阻为R，内部电场为E，电流为I，两端电压为U，电流密度为J，则单位时间的焦耳热损耗,单位体积单位时间的焦耳热损耗为,当J 和E 方向不一致时，应改写为 ，它适用于一般情形。,耗散（Dissipation）功率密度,说明：,在 中，第一项是位移电流，第二项是传导电流。传导电流引起的焦耳热损耗，其平均耗散功率密度,讨论：,26,位移电流与电场存在 相差，在一个周期内不消耗功率。,对复电容率 ，实部对应位移电流的贡献

10、，不引起电磁波功率耗散；虚部是传导电流的贡献，引起能量耗散。,导体内，单一频率电磁波满足Helmholtz方程,其中,。平面波解为：,导体中的波矢是复矢量，令,导体中的电磁波,是衰减的平面电磁波。,和 有6个未知量，上述两个方程对求解它们是不够的，还需考虑具体问题的边值关系。,27,例如，当电磁波从真空投射到导体表面时，以xz为入射面，由波矢关系 ，可得 。,真空中波矢是实数，,根据前面的方程可以完全解出 和 。,讨论最简单的情形：平面电磁波垂直投射到导体表面。 导体外波矢只有z 分量，由波矢关系， 和 也只有z 分量，,和 只有两个分量，满足方程,要求,导体中电磁波的形式（以电场为例）,28

11、,电磁波沿方向传播 z 轴从传播，不可取负值，,对良导体 ，有,穿透深度,对高频电磁波，电场、磁场和电流均存在趋肤效应。,对于铜，当频率为50Hz 时， ；当频率为100MHz 时， 。,例：,29,对于垂直入射的单一频率电磁波，由Maxwell方程,导体内电场和磁场的关系,良导体情形（ ），,磁场相位比电场滞后；,，磁场的作用远比电场重要。,30,讨论简单情形：电磁波从真空垂直入射到导体表面，电场垂直于入射面。,在导体内（介质2）,作替换 后，应认为无传导电流（ 描述了电流）。,界面附近的切向边值关系,对于入射波,对于反射波,对于透射波（在导体中）,三、导体表面上电磁波的反射,31,对于非铁

12、磁性导体 ，从边值关系,对良导体( ):,与电场边值关系联立，可得,定义反射系数,对于良导体可把 作为小量（因为 与 同量级），,32,越大，R 越接近1； 越小（越大），R 越接近1。 微波或无线电波的频率很小，一般金属均可近似看作理想 导体（），电磁波近似全部反射（如微波炉）。,进入导体的电磁波诱导传导电流，传导电流激发的电磁场将减弱原电磁场（否则不稳定），使导体内电磁场迅速衰减，电磁波只能透入导体表面薄层。薄层厚度与 和有关。或越大，厚度越小。导体内诱导的传导电流激发电磁场形成反射电磁波。反射波强度接近入射波，对于良导体，入射波能量几乎全部反射。同时，实际导体有焦耳热损耗，电磁波能量部分

13、耗散，一般情况，良导体吸收很少部分电磁波能量。,物理图象：,讨论：,33,设入射波矢为 ，有,对良导体,导体内波矢 而,选入射面为xz 面,（ 与 同级， ）,又,略去 且,垂直于表面， 接近法线方向，穿透深度由 给出。,解：,Ex.1,证明对于良导体，在非垂直入射时有,34,趋肤效应使电流分布于表面薄层，这样的电流分布可看成面电流分布（把薄层压缩到导体表面），用线电流密度描述电流面分布。,线电流密度 定义为：通过单位横截线的电流。,与电流密度的关系,考虑垂直入射，导体内电磁波,Ex.2,高频下良导体的表面电阻。,35,令,其中,平均损耗功率密度,平均损耗功率面密度,对于良导体,良导体在高频下

14、的电阻相当于厚度为 的薄层直流电阻。,右图为一薄层直流电阻,考虑一简谐变化的面电流，其线密度,说明：,36,耗散功率（单位时间的焦耳热损耗）,平均耗散功率,表面平均损耗功率面密度,37,电场能量与磁场能量相互转换，,提高振荡频率，需减小C 或 L 。1）C 减小，极板面积减小，电容器越难将电场束缚在板间，能量将向外辐射将变强。2）L 减小，线圈长度(或密度）越小，向外辐射的能量越多。 LC 回路只能产生低频振荡。,4 谐振腔,问题：,振荡频率,如何产生高频振荡？,理想导体趋于无穷，穿透深度趋于0，电磁波被全部反射，理想导体构成电磁波存在的边界。,二、理想导体边界,38,在介质一侧，E 的切向分

15、量为0，B 的法向分量为0。即在理想导体表面，电力线与表面垂直，磁感应线与表面相切。 对单一频率电磁波，Maxwell方程只有两个是独立的。边界条件其实也只有两个独立。,对于线性介质，在介质一侧，,理想导体的边界条件,选平面电磁波传播方向为 z 方向，选电场的两个基本偏振方向为x 和y 方向。由边值关系，只允许电场沿y 方向偏振，磁场沿x 方向偏振。无限大平行板间只能传播一种偏振的TEM平面波。,39,考察对象：由理想导体构成的矩形腔。,空间部分满足Helmholtz方程,其三个分量方程记为,表示电场分量 中的一个。,三、谐振腔,对单一频率电磁波,用分离变量法求解，令,40,1）若 ，方程的解

16、为,它在 x 方向不是平面波，物理上不合理，舍弃。,2）若 ，令,同理，,分析：,或写为复数形式,其中,41,可以是 中的任一个，设是 ，考虑其复数形式 ，,要求对任意 x、y 成立，,42,同理,波矢的确定,（m 取整数）,利用 和 两表面附近，电场沿法向导数为零，可得,其中，m、n、p = 0，1，2，3，（无需取负整数）。,43,由腔内 中只有两个独立。 腔内电磁波是注波形式，它是平面波叠加的结果。 谐振腔的频率选择性 谐振腔只允许特定频率电磁波存在，频率离散分布 若（m，n，p）中两个为0，则 E=0 。腔内不存在波矢沿x、y或z单一方向的振荡。 若 ，则最低频率谐振波模为（1，1，0

17、）。 最低频率 最大波长 对于每组（m，n，p），有两个独立偏振波模。 设 和 独立（ ）， 或 是两独立偏振方向。 实际金属构谐振腔有损耗，需外界提供能量维持电磁振荡。,讨论：,44,低频情形：频率小，波长长（c/f），波动性弱。可用电学参数（I、U、R、C、L等）等效描述场在线路中的作用。(比如交流电路),考虑电学元件（电阻、电容、电感等）尺寸 波长,对于元件内空间两点，可近似认为两点间电场不变，例如，对电阻元件中两点， ，电压的概念是适用的。,另一方面，低频情形，电场变化缓慢，在一个周期内可以及时完成电磁过程。,高频情形：许多（集中）电学参数不再适用。比如，在高频情形，显著的趣肤效应使得

18、必须将电流密度作为空间位置的函数，电压也没有实际意义。,5 波 导,一、高频电磁能量的传输,说明：,由于 ， 与积分路径有关，电压没有意义。,45,右端无法写为IR，电阻的概念不适用。,电磁能量的传输 :为了减少电磁波向外辐射能量（损耗），避免环境干扰，低频情形，用双线；高频可用同轴传输线；频率更高时（如微波），用波导（能有效克服内导线的焦耳损耗及介质热损耗）。,波导管中单一频率电磁波,设电磁波沿z 方向传播，,二、矩形波导中的电磁波,以 表分量 之一，,46,令,其中,边界条件：对 x = 0 和 a 管壁， ，且 ；,对 y = 0 和 b 管壁， ，且 。,由 x=0 和 y=0 面上的边界条件，,47,由 x=a , y=b 面的边条件,在 中，只有两个是独立的。对于每组 值，有两种不同的波模。,在波导内，电场和磁场不能同时为横波。,通常，对一组 值，可这样选择独立波模： ，是 TE 波； ，是 TM 波。波导中的实际电磁波可s视为各种 TEmn 和 TMmn 波的叠加。,讨论：,结论：,在腔中，电场强度满足 ，,48,对每组 ，频率存在最小值（发生在 处），称为截止角（圆）频率,低于截止频率的电磁波在波导管中被禁止；而对所有频率不低于截止频率的电磁波，是允许的