高考数学复习专题模拟：第八章 立体几何 第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积

1、【数学】2014 版6 年高考 4 年模拟【数学】2014 版6 年高考 4 年模拟 立体几何立体几何 第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积 第一部分 六年高考荟萃第一部分 六年高考荟萃 2013 年高考题2013 年高考题 1. （2013 年高考新课标 1（理） ）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如 果不计容器的厚度,则球的体积为 （） ABCD 3 500 3 cm 3 866 3 cm 3 1372 3 cm 3 2

2、048 3 cm 答案：A 设正方体上底面所在平面截球得小圆 M， 则圆心 M 为正方体上底面正方形的中心如图 设球的半径为 R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R2） cm，而圆 M 的半径为 4，由 球的截面圆性质，得 R2=（R2）2+42， 解出 R=5， 所以根据球的体积公式，该球的体积 V= 故选 A 2. （2013 年高考新课标 1（理） ）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （） ABCD1688816 168 16 答案：A 三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别 是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为 2，母线长为 4

3、所以长方体的体积=422=16， 半个圆柱的体积=224=8 所以这个几何体的体积是 16+8； 故选 A 3. （2013 年高考湖北卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简 单几何体组成,其体积分别记为,上面两个简单几何体均为旋转体,下面 1 V 2 V 3 V 4 V 两个简单几何体均为多面体,则有（） AB 1243 VVVV 1324 VVVV CD 2134 VVVV 2314 VVVV 答案：C 本题考查三视图以及空间几何体的体积。从上到下为圆台，圆柱，棱柱，棱台体积依次为 ，所 3 7 ) 1212( 3 1 22 1 V,2 2 V823 3 V. 3

4、 28 )416416( 3 1 4 V 以，故选 C. 4312 VVVV 4. （2013 年高考湖南卷（理） ）已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形, 则该正方体的正视图的面积不可能等于（） A BCD 2 2-1 2 2+1 2 答案：C 本题考查三视图的判断。 因为正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形， 则说明正方体为水 平放置，则正视图的最大面积为正方体对角面，此时面积为，最小面积为正方体的一个2 侧面，面积为 1，所以侧视图的面积,所以面积不可能的是，选 C.12S 21 2 5. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD

5、版） ）某四棱台的三 视图如图所示,则该四棱台的体积是 （） 1 2 2 1 1 正视图 俯视图 侧视图 第 5 题图 ABCD 4 14 3 16 36 答案：B 由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为 和的正方形,高为,故,故选 B22 2222 114 11222 33 V 6. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理） 试题（含答案） ）某几何体的三视图如 题 5图所示,则该几何体的体积为（） A 560 3 B 580 3 C200D240 答案：C 【命题立意】 本题考查三视图以及空间几何体的体积公式。由三视图可知该几何体是个四棱 柱。棱柱的底面为等腰梯形，高为 1

6、0.等腰梯形的上底为 2，下底为 8，高为 4,。所以梯形的 面积为，所以四棱柱的体积为，选 C. 28 420 2 20 10200 7. （2013 年高考四川卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 答案：D 由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项 A 和选项 C 而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除 B故选 D 8. （2013 年高考陕西卷（理） ）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_. 3 11 2 1 答案： 3 【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为 1 的半圆，高为 2。所以体积 3 21 2 1 3 1 2 V 9. （2013

7、年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知 圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,且圆与圆OKOO 3 2 OK O 所在的平面所成的一个二面角为,则球的表面积等于_.K60O 答案： 16 如图所示，设球 O 的半径为 r，根据题意得 OC=，CK= 在OCK 中，OC2=OK2+CK2，即 所以 r2=4 所以球 O 的表面积等于 4r2=16 故答案为 16 10. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）若某几何体 的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于_. 2 cm 4 3 2 3 3

8、 正视图 侧视图 俯视图 （第 12 题图） 答案：24 ：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为 3，4， 棱柱的高为 5，被截取的棱锥的高为 3如图： V=V棱柱V三棱锥=3=24（cm3） 故答案为：24 11. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理） 试题（WORD 版） ）某几何体的三视 图如图所示,则该几何体的体积是_. 答案：1616 由三视图可知该几何体圆柱中去除正四棱柱。 所以该几何体的体积。V 22 24241616 12. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）已知某一多 面体内接于一

9、个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图 中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是_ 答案： 12 由 图 可 知 ， 图 形 为 一 个 球 中 间 是 内 接 一 个 棱 长 为 2 的 正 方 体 ， 2 2 3 2 3412 2 RSR 球表 2012 年高考题2012 年高考题 1.2012重庆卷 设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1，和 a， 且长为 a 的棱与长为的棱22 异面，则 a 的取值范围是() A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)2323 答案 ： A解析 如图所示，设 ABa，CD，BCBDACAD1，2 则ACDBC

10、D45， 要构造一个四面体， 则平面 ACD 与平面 BCD 不 能重合， 当BCD 与ACD 重合时，a0；当 A、B、C、D 四点共面， 且 A、B 两点在 DC 的两侧时，在ABC 中，ACBACDBCD454590，AB ，所以 a 的取值范围是(0，)AC2BC222 2. 2012辽宁卷 一个几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为_ 答案：38解析 本小题主要考查三视图的应用和常见几何体表面积的求法解题的突破 口为弄清要求的几何体的形状，以及表面积的构成由三视图可知，该几何体为一个长方体 中挖去一个圆柱构成，几何体的表面积 S长方体表面积圆柱的侧面积圆柱的上下底面 面积，由三视

11、图知，长方体的长、宽、高为 4、3、1，圆柱的底面圆的半径为 1，高为 1， 所以 S2(434131)21121238. 3.2012北京卷 某三棱锥的三视图如图 14 所示，该三棱锥的表面积是() A286 B306 C5612 D60125555 答案：B解析 本题考查的三棱锥的三视图与表面积公式由三视图可知，几何体为一个 侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知 S底面 5410， 1 2 S后 5410，S左 626，S右 4510，所以 S表103630 1 2 1 2 55 1 2 5 6 . 5 4.2012安徽卷 某几何体的三视图如图 13 所示，该几何体的表面积是_ 图 13

12、 答案：92解析 本题考查三视图的识别，四棱柱等空间几何体的表面积 如图根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积为 S 424254445492. 1 2 (25) 5. 2012天津卷 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 _m3. 答案：189解析 本题考查几何体的三视图及体积公式，考查运算求解及空间想象力， 容易题 由三视图可得该几何体为一个长方体与两个球的组合体， 其体积 V6312 4 3 3189. ( 3 2 ) 6.2012福建卷 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 ()A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱 答案

13、：D解析 本题考查简单几何体的三视图，大小、形状的判断以及空间想象能力，球 的三视图大小、形状相同三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有圆柱 不同 7. 2012广东卷 某几何体的三视图如图所示，它的体积为() A12 B45C57 D81 答案：C解析 根据三视图知该几何体是由圆柱与圆锥构成，圆柱与圆 锥的半径 R3，圆锥的高 h4，圆柱的高为 5，所以 V组合体V圆柱V圆锥3251 3 32457，所以选择 C. 8. 2012湖北卷 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为() A. B3C. D6 8 3 10 3 答案：B解析 根据三视图知几何体的下面是一个圆柱

14、，上面是圆柱的一半，所以 V2 23.故选 B. 1 2 9.2012湖南卷 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是 () 答案：D解析 本题考查三视图，意在考查考生对三视图的辨析，以及对三视图的理解和 掌握是基础题型. 选项 A，B，C，都有可能，选项 D 的正视图应该有看不见的虚线，故 D 项是不可能的 易错点 本题由于对三视图的不了解，易错选 C，三视图中看不见的棱应该用虚线标 出 10. 2012课标全国卷 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视 图，则此几何体的体积为() A6 B9 C12 D18 答案：B解析 由三视图可知，该几何体

15、是三棱锥，其底面是斜边长为 6 的等腰直角三角 形，有一条长为 3 的侧棱垂直于底面(即三棱锥的高是 3)，可知底面等腰直角三角形斜边上 的高为 3，故该几何体的体积是 V 6339，故选 B. 1 3 1 2 11.2012浙江卷 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于 _cm3. 答案：1解析 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查 学生对数据的运算处理能力和空间想象能力由三视图可知，几何体为一个三棱锥，则 V Sh 1321. 1 3 1 3 1 2 点评 正确的识图是解决三视图问题的关键，同时要注意棱长的长度、关系等 2011 年高考题2011 年高考题

16、1. (2011 年高考山东卷理科 11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：1. (2011 年高考山东卷理科 11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题： 存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正 (主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下 图其中真命题的个数是 存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正 (主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下 图其中真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】A 【解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容

17、易判断可以. 2.(2011 年高考浙江卷理科 3)(2011 年高考浙江卷理科 3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以 是 4.(2011 年高考安徽卷理科 6)(2011 年高考安徽卷理科 6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80 【答案】C 【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法. 【解析】 由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为 2，下底为 4，高为 4， 。故 S 表 【解题指导】：三视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。 5.(2011 年

18、高考辽宁卷理科 12)(2011 年高考辽宁卷理科 12)已知球的直径 SC=4，A,B 是该球球面上的两点，AB=，3 ，则棱锥 S-ABC 的体积为（ ）30BSCASC （A） （B） （C） （D）133323 第 6 题图 答案：D 解析 ： 由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体，所 以，左视图是 D. 点评：本题考查三视图、直观图及他们之间的互化，同时也考查空间想象能力和推理能力， A B C D 要求有扎实的基础知识和基本技能。 10.(2011 年高考广东卷理科 7)如图 某几何体的正视图(主视图)是平行四边形， 侧视图(左 视图)和俯视图都是

19、矩形，则该几何体的体积为（ ） 10.(2011 年高考广东卷理科 7)如图 某几何体的正视图(主视图)是平行四边形， 侧视图(左 视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. A. B. C. D.6 39 312 318 3 【解析】B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱，【解析】B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱， .ABCDEA平面 。所以选 B。所以选 B393123 2 hSV ABCD平行四边形 11.(2011 年高考陕西卷理科 5)(2011 年高考陕西卷理科 5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （A）（B） 2 8

20、 3 8 3 （C）（D）82 2 3 【答案】A 【解析】：由三视图可知该几何体为立方体与圆锥， 立方体棱长为 2，圆锥底面半径为 1、高为 2， 15. (2011 年高考全国卷理科 1(2011 年高考全国卷理科 11) )已知平面截一球面得圆 M，过圆心 M 且与成，二 0 60 面角的平面截该球面得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M 的面 积为 4，则圆 N 的面积为 (A) (B) (c) (D)791113 【答案】D 【 解 析 】 ： 由 圆的 面 积 为得，M42MA 222 4212OM ，在2 3OM 0 30Rt ONMOMN中, 故选 D 2 1 3,313 2 O

21、NOM 2 r= 413 N S 圆 16(2011 年高考北京卷理科 7)(2011 年高考北京卷理科 7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中， 最大的是 A8 B C10 D6 28 2 【答案】C 1.(2011 年高考辽宁卷理科 15)(2011 年高考辽宁卷理科 15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的32 三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_. 60 B A O N M 2. (2011 年高考全国新课标卷理科 15)(2011 年高考全国新课标卷理科 15)已知矩形的顶点都在半径为 4 的球的球面ABCDO 上，且,则棱锥

22、的体积为 。6,2 3ABBCOABCD 3(2011 年高考天津卷理科(2011 年高考天津卷理科 10)一个几何体的三视图如图所示（单位 ：） ，则这个几何体)一个几何体的三视图如图所示（单位 ：） ，则这个几何体m 的体积为的体积为_ 3 m 【答案】6 【解析】由题意知,该几何体为一个组合体,其下面是一个长方体(长为 3m,宽为 2m, 高 为 1m), 上 面 有 一 个 圆 锥 ( 底 面 半 径 为 1, 高 为 3), 所 以 其 体 积 为 . 1 3 2 136 3 VV 长方体圆锥 4. (2011 年高考四川卷理科 15) (2011 年高考四川卷理科 15)如图，半径

23、为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最 大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 . 答案： 2 2 R 解析：时， 22222 max 224()SrRrrRrS 侧侧 ，则 2 2222 2 22 R rRrrrR 222 422RRR 6(2011 年高考福建卷理科 12)(2011 年高考福建卷理科 12)三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC，PA=3，底面 ABC 是边 长为 2 的正三角形，则三棱锥 P-ABC 的体积等于_。 【答案】3 7(2011 年高考上海卷理科 7)(2011 年高考上海卷理科 7)若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积2 为 。 【答

24、案】； 3 3 三、解答题三、解答题: 1. (2011 年高考山东卷理科 19)（本小题满分 12 分）1. (2011 年高考山东卷理科 19)（本小题满分 12 分） 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， ACB=，平面，EF， 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， ACB=，平面，EF，90 .=.=. （)若是线段的中点，求证：平面;（)若是线段的中点，求证：平面; （）若=,求二面角-的大小（）若=,求二面角-的大小 【解析】 （)连结 AF,因为 EF， EF=F,所以平面 EFG平面 ABCD,又易证,EFGABC 所以,即,即,又 M 为

25、AD 1 2 FGEF BCAB 1 2 FGBC 1 2 FGAD 的中点,所以,又因为D， 所以M,所以四边形 AMGF 是平 1 2 AMAD 行四边形,故 GMFA,又因为平面,FA平面,所以平面 . 2010 年高考题2010 年高考题 一、选择题一、选择题 1. （ 2010 全 国 卷 2 理 ）1. （ 2010 全 国 卷 2 理 ） （ 9 ） 已 知 正 四 棱 锥SABCD中 ， 2 3SA ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （A）1 （B）3 （C）2 （D）3 【答案】C 【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题. 【 解 析 】 设 底 面

26、 边 长 为 a ， 则 高所 以 体 积 ， 设，则，当 y 取最值时，解得 a=0 或 a=4 时，体积最大，此时，故选 C. 2.（2010 陕西文）2.（2010 陕西文） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积是B （A）2（B）1 （C） 2 3 （D） 1 3 【答案】 B 解析：本题考查立体图形三视图及体积公式 如图，该立体图形为直三棱柱 所以其体积为1221 2 1 3.（2010 辽宁文）3.（2010 辽宁文） （11） 已知, , ,S A B C是球O表面上的点，SAABC 平面，ABBC， 1SAAB，2BC ，则球O的表面积等于 （A）4 （B）3

27、 （C）2 （D） 【答案】A 【解析】选 A.由已知，球O的直径为22RSC，表面积为 2 44 .R 4.（2010 安徽文）4.（2010 安徽文） （9）一个几何体的三视图如图，该几 何体的表面积是 （A）372 （B）360 （C）292 （D）280 【答案】B 【解析】 该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于 下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。 2(10 8 10 28 2)2(6 88 2)360S . 2 2 1 【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体 的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化

28、为下面长方体的全面积 加上面长方体的 4 个侧面积之和。 5.（2010 重庆文）5.（2010 重庆文） （9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 （A）只有 1 个 （B）恰有 3 个 （C）恰有 4 个 （D）有无穷多个 【答案】 D 【解析】放在正方体中研究,显然，线段 1 OO、EF、FG、GH、 HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等， 所以排除 A、B、C，选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离相等 6.（2010 浙江文）6.（2010 浙江文） （8）若某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则此几何体的体积是 （A） 35

29、2 3 cm3 （B） 320 3 cm3 （C） 224 3 cm3 （D） 160 3 cm3 【答案】B 【解析】选 B，本题主要考察了对三视图所表达示的空 间几何体的识别以及几何体体积的计 算，属容易题 7.（2010 北京文）7.（2010 北京文） （8）如图，正方体 1111 ABCD-A B C D的棱长 为 2，动点 E、F 在棱 11 A B上。点 Q 是 CD 的中点，动点 P 在棱 AD 上，若 EF=1，DP=x， 1 AE=y(x,y 大于零)， 则三棱锥 P-EFQ 的体积： （A）与 x，y 都有关； （B）与 x，y 都无关； （C）与 x 有关，与 y 无关

30、； （D）与 y 有关，与 x 无关； 【答案】 C 8.（2010 北京文）8.（2010 北京文） （5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该 集合体的俯视图为： 答案：C 9.（2010 北京理）9.（2010 北京理）(8)如图，正方体 ABCD- 1111 ABC D的棱长为 2，动点 E、F 在棱 11 AB上，动点 P，Q 分别在棱 AD，CD 上，若 EF=1， 1 AE=x， DQ=y， D（， ， 大于零） ， 则四面体 PE的体积 （）与，都有关 （）与有关，与，无关 （）与有关，与，无关 （）与有关，与，无关 【答案】

31、D 10.（2010 北京理）10.（2010 北京理） （3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几 何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何 体的俯视图为 【答案】 C 11.（2010 广东理）11.（2010 广东理）6.如图 1， ABC 为三角形， AA / BB / CC , CC 平面 ABC 且 3 AA = 3 2 BB = CC =AB,则多面体ABC -A B C 的正视图（也称主视图）是 【答案】D 12.（2010 广东文）12.（2010 广东文） 13.（2010 福建文）13.（2010 福建文） 3若一个底面是正三角形的三棱柱的 正视图如图所示

32、,则其侧面积等于 ( ) A3 B2 C2 3 D6 【答案】D 【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为 3 242 3 4 ，侧面积为3 2 16 ，选 D 【命题意图】 本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本 能力。 14.（2010 全国卷 1 文）14.（2010 全国卷 1 文） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2, 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A) 2 3 3 (B) 4 3 3 (C) 2 3 (D) 8 3 3 【答案】B 【命题意图】本小题主要考查几

33、何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这 个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为h,则有 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, 22 max 2 212 3h,故 max 4 3 3 V 二、填空题二、填空题 1.（2010 上海文）1.（2010 上海文）6.已知四棱椎PABCD的底面是边长为 6 的正方形，侧棱PA 底面 ABCD，且8PA ，则该四棱椎的体积是 。 【答案】96 【解析】考查棱锥体积公式96836 3

34、 1 V 2.（2010 湖南文）2.（2010 湖南文） 13.图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm2的几何体的三视图，则 h= cm 【答案】4 3.（2010 浙江理）3.（2010 浙江理） （12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 _ 3 cm. 解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中 所给公式计算得体积为 144， 本题主要考察了对三视图所表达示 的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题 4.（2010 辽宁文）4.（2010 辽宁文） （16）如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗 线画出了某多面 体的三视图，则

35、这个多面体最长的一条棱的 长为 . 解析：填2 3画出直观图：图中四棱锥PABCD即是， 所以最长的一条棱的长为2 3.PB 5.（2010 辽宁理）5.（2010 辽宁理） （15）如图，网格纸的小正方形的边长是 1， 在其上用粗线画出了某多面 体的三视图，则这个多面体最长的 一条棱的长为_. P D CB A 【答案】2 3 【命题立意】 本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以 及由三视图还原物体的能力。 【解析】 由三视图可知，此多面体是一个底面边长为 2 的正方形 且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为 222 2222 3 6.（20

36、10 天津文）6.（2010 天津文） （12）一个几何体的三视图如图所示，则这个 几何体的体积为 。 【答案】3 【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计 算，属于容易题。 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形， 则正视图和俯视图可 知该几何体的高为 1， 结合三个试图可知该几何体是底面为直角 梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为 1 += 2 （1 2） 2 1 3 【温馨提示】 正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以 确定几何体底面的形状， 本题也可以将几何体看作是底面是长为 3，宽为 2，高为 1 的长方体的一半。 7.（2010 天津理）7.（2010 天津理） （

37、12）一个几何体的三视图如图所 示，则这个几何体的体积为 【答案】 10 3 【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体 积的计算，属于容易题。 由三视图可知，该几何体为一个底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱与一个底面边长为 2，高 为 1 的正四棱锥 组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为 2，正四棱锥的体积为 14 4 1 33 ，所以该几何体 的体积 V=2+ 4 3 = 10 3 【温馨提示】 利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体 的形状，求锥体体积时不要丢掉 1 3 哦。 三、解答题三、解答题 1.（2010 上海文）20.（本大题满分 14 分）本

38、题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 21.（2010 上海文）20.（本大题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分.小题满分 7 分. 如图所示， 为了制作一个圆柱形灯笼， 先要制作 4 个全等的矩形 骨架， 总计耗用 9.6 米铁丝， 再用S平方米塑料片制成圆柱的侧 面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到 0.01 平方米）; (2)若要制作一个如图放置的，底面半径为 0.3 米的灯笼，请作 出 用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆

39、柱形灯笼的母线长为l， 则l1.22r(0r0.6)， S3(r0.4)20.48， 所以当r0.4 时，S取得最大值约为 1.51 平方米； (2) 当r0.3 时，l0.6，作三视图略 2.（2010 陕西文）2.（2010 陕西文）18.(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分 别是PB,PC的中点. ()证明：EF平面PAD； ()求三棱锥EABC的体积 V. 解()在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC. 又BCAD,EFAD, 又AD平面PAD,EF平面PAD, EF平面PAD. A

40、B C D E F H ()连接AE,AC,EC,过E作EGPA交AB于点G, 则BG平面ABCD,且EG= 1 2 PA. 在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=2,EG= 2 2 . SABC= 1 2 ABBC= 1 2 22=2, VE-ABC= 1 3 SABCEG= 1 3 2 2 2 = 1 3 . 3.（2010 安徽文）3.（2010 安徽文）19.(本小题满分 13 分) 如 图 ， 在 多 面 体 ABCDEF中 ， 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， AB=2EF=2， EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H 为 BC 的中点， ()求证：

41、FH平面 EDB; （）求证：AC平面 EDB; （）求四面体 BDEF 的体积； 【命题意图】 本题考查空间线面平行、线面垂直、 面面垂直的判断与证明， 考查体积的计算等基础知 识， 同时考查空间想象能力、 推理论证能力和运算 能力. 【解题指导】 （1） 设底面对角线交点为 G，则可以 通过证明 EGFH，得FH平面EDB；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明 FH 平面 ABCD，得 FHBC，FHAC，进而得 EGAC，AC 平面EDB；（3）证明 BF平 面 CDEF，得 BF 为四面体 B-DEF 的高，进而求体积. (1), 1 / /, 2 1 / /, 2 / / /

42、ACBDGGACEG GHHBC GHAB EFABEFGH EGFHEGEDBFHEDB 证：设与交于点 ，则 为的中点，连，由于 为的中点，故 又四边形为平行四边形 ，而平面，平面 【规律总结】 本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面 平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明 线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积. 4.（2010 四川理）4.（2010 四川理） （18） （本小题满分 12 分） 已知正方体ABCDABCD的棱长为 1，点M 是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点. （）求

43、证：OM为异面直线AA和BD的公垂线； （）求二面角MBCB的大小； （）求三棱锥MOBC的体积. 本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并 考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK 因为M是棱AA的中点，点O是BD的中点 所以AM 1 / 2 DDOK D AB C D M O A B C 所以MO/AK由AAAK，得MOAA 因为AKBD,AKBB ，所以AK平面BDDB 所以AKBD 所以MOBD 又因为OM是异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和

44、BD的公垂线 （2）取BB中点N，连结MN，则MN平面BCCB 过点N作NHBC于H，连结MH 则由三垂线定理得BCMH 从而,MHN为二面角M-BC-B的平面角 MN=1,NH=Bnsin45= 122 224 在RtMNH中，tanMHN= 1 2 2 2 4 MN NH 故二面角M-BC-B的大小为arctan22 (3)易知，SOBC=SOAD，且OBC和OAD都在平面BCDA内 点O到平面MAD距离h 1 2 VM-OBC=VM-OAD=VO-MAD= 1 3 SMADh= 1 24 解法二： 以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz 则A(1,0,0),B(1,1,0

45、),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1) (1)因为点M是棱AA的中点,点O是BD的中点 所以M(1,0, 1 2 ),O( 1 2 , 1 2 , 1 2 ) 11 ( ,0) 22 OM ,AA =(0,0,1),BD =(-1,-1,1) OM AA =0, 11 22 OM BD +0=0所以 OMAA,OMBD 又因为OM与异面直线AA和BD都相交 故OM为异面直线AA和BD的公垂线.4 分 (2)设平面BMC的一个法向量为 1 n =(x,y,z) BM =(0,-1, 1 2 ), BC (1,0,1) 1 1 0 0 n BM n BC 即 1

46、 0 2 0 yz xz 取z2,则x2,y1，从而 1 n =(2,1,2) 取平面BCB的一个法向量为 2 n (0,1,0) cos 12 12 12 11 , 3| |9 1 n n n n nn 由图可知，二面角M-BC-B的平面角为锐角 故二面角M-BC-B的大小为arccos 1 3 9 分 (3)易知，SOBC 1 4 SBCDA 12 12 44 设平面OBC的一个法向量为 3 n (x1,y1,z1) BD (1,1,1), BC (1,0,0) 3 1 0 0 n BD n BC 即 111 1 0 0 xyz x 取z11,得y11，从而 3 n (0,1,1) 点M到

47、平面OBC的距离d 3 1 |2 2 4|2 BM n VM OBC 11221 334424 OBC Sd 12 分 2009 年高考题2009 年高考题 一、选择题 1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.22 3 B. 42 3 C. 2 3 2 3 D. 2 3 4 3 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为2,四棱锥的底面 边长为2，高为3， 所以体积为 2 12 3 23 33 所以该几何体的体积为 2 3 2 3 . 答案:C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间

48、的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. 2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2 m）为 （A）48+122 （B）48+242 （C）36+122 （D）36+242 3.正六棱锥 P-ABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为 （A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 俯视图 4.在区间-1，1上随机取一个数 x，cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率为( ). A. 3 1 B. 2 C. 2 1 D. 3 2 【 解 析 】 : 在

49、 区 间 -1 ， 1 上 随 机 取 一 个 数 x, 即 1,1x 时 , 222 x , 0cos1 2 x 区间长度为 1, 而cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的区间长度为 2 1 ,所以概率为 2 1 .故选 C 答案 C 【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的取值范围,得到 函数值cos 2 x 的范围,再由长度型几何概型求得. 5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 1 2 。则该集合体 的俯视图可以是 答案: C 6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体 的

50、一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“” 的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 解解：展、折问题。易判断选 B 7. 如 图 ， 在 半 径 为3的 球 面 上 有, ,A B C三 点 ， 90 ,ABCBABC ， 球心O到平面ABC的距离是 3 2 2 ，则BC、两点的球面距离是 A. 3 B. C. 4 3 D.2 答案 B 8若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 A. 2 6 B. 2 3 C. 3 3 D. 2 3 答案 C 9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为 3 和 4，过直角顶点的侧棱长

51、为 4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ） 答案 B 二、填空题 10.图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 3，则 a=_ 答案 3 11.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 3，则a _ 12 若 某 几 何 体 的 三 视 图 （ 单 位 ：cm） 如 图 所 示 ， 则 此 几 何 体 的 体 积 是 3 cm 答案 18 【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1 3 39 ，上面的长方体体积为 3 3 19 ，因此其几何体的体积为 18 13.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 m） 。 则该几何体的体积为 3 m 答案答案 4 14. 直三棱柱 111 A

52、BCABC的各顶点都在同一球面上，若 1 2ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于 。 解:在ABC中2ABAC,120BAC,可得2 3BC ,由正弦定理,可得 ABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ，球心为O，在RT OBO中，易得球半径5R ， 故此球的表面积为 2 420R. 15正三棱柱 111 ABCABC内接于半径为2的球，若,A B两点的球面距离为，则正三棱 柱的体积为 答案 8 16体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等 于 答案 8 6 17如图球 O 的半径为 2，圆 1 O是一小圆， 1 2OO ，A、B 是圆 1 O上两点，若

53、 A，B 两点间的球面距离为 2 3 ，则 1 AO B= . 答案 2 18.已知三个球的半径 1 R， 2 R， 3 R满足 321 32RRR，则它们的表面积 1 S， 2 S， 3 S， 满足的等量关系是_. 答案 321 32SSS 19.若球 O1、O2表示面积之比4 2 1 S S ，则它们的半径之比 2 1 R R =_. 答案 2 三、解答题 20 （本小题满分 13 分） 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示。墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH。图 5、图 6 分别是该标识墩的正 （主）视图和俯视图。 （1）请画出该安全标识墩的

54、侧（左）视图； （2）求该安全标识墩的体积； （3）证明：直线BD 平面PEG. 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示. （）该安全标识墩的体积为： P EFGHABCD EFGH VVV 22 1 40604020320003200064000 3 2 cm （）如图,连结 EG,HF 及 BD，EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知,PO 平面 EFGH , POHF 又EGHF HF平面 PEG 又BDHFP BD平面 PEG； 2008 年高考题2008 年高考题 一、选择题一、选择题 1.(2008 广东）1.(2008 广东）将正三棱柱截去三个角（如图

55、1 所示ABC， ，分别是GHI三边的中点） 得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） 答案答案 A A 2.（2008 海南、宁夏理）2.（2008 海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的 投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b的线段，则a+b的最大值为（ ） A2 2 B2 3 C4 D2 5 答案 C答案 C E F D I A HG BC E F D A BC 侧视 图 1图 2 B E A B E B B E C B E D n m k 【解析解析】结合长方体的对角线在三个面

56、的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为, ,m n k，由题意得 222 7mnk， 22 6mk1n 2 1ka， 2 1mb，所以 22 (1)(1)6ab 22 8ab， 22222 ()282816abaabbabab 4ab当且仅当2ab时取等号。 3.（2008 山东）3.（2008 山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 A.9 B.10 C.11 D12 答案答案 D D 【解析解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个 圆柱组合而成的，其表面及为 22 411221 312 .S 3. (2007 宁夏理8)3. (2007 宁夏理8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ， 可得这个几何体的体积是（ ） 3 4000 cm 3 3 8000 cm 3 3 2000cm 3 4000cm 答案答案B B 4. （2007 陕西理6）4. （