高考数学专题复习练习第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课下练兵场

1、第二章第二章 第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 课下练兵场课下练兵场 命命 题题 报报 告告 难度及题号难度及题号 知识点知识点 容易题容易题 (题号题号) 中等题中等题 (题号题号) 稍难题稍难题 (题号题号) 函数的单调性与导数函数的单调性与导数1、34、6、10 函数的极值与导数函数的极值与导数2、7 函数的最值与导数函数的最值与导数5、8、911 生活中的优化问题生活中的优化问题12 一、选择题一、选择题 1.(2009广东高考)函数函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是的单调递增区间是 () A.(，2)B.

2、(0,3) C.(1,4) D.(2，) 解析：解析：f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex， 令 f(x)0，解得 x2. 答案：答案：D 2.已知函数已知函数 f(x)的导数为的导数为 f(x)4x34x，且，且 f(x)的图象过点的图象过点(0，5)，当函数，当函数 f(x)取得极大 值 取得极大 值5 时，时，x 的值应为的值应为 () A.1 B.0 C.1 D.1 解析：解析：可以求出 f(x)x42x2c，其中 c 为常数. 由于 f(x)过(0，5)，所以 c5，又由 f(x)0，得极值点为 x0 和 x1.又 x0 时， f(x)5，故 x 的值为 0. 答案：答案

3、：B 3.若函数若函数 f(x)ax33x 在在(1,1)上单调递减，则实数上单调递减，则实数 a 的取值范围是的取值范围是 () A.a1 B.a1 C.0a1 D.0a1 解析：解析：f(x)3ax23，由题意 f(x)0 在(1,1)上恒成立.若 a0，显然有 f(x)0； 若 a0，由 f(x)0 得x，于是1，0a1，综上知 a1. 1 a 1 a 1 a 答案：答案：B 4.若函数若函数 yf(x)的导函数在区间的导函数在区间a，b上是先增后减的函数，则函数上是先增后减的函数，则函数 yf(x)在区间在区间a，b 上的图象可能是上的图象可能是 () 解析：解析：依题意，f(x)在a

4、，b上是先增后减的函数，则在 f(x)的图象上，各点的切线的斜 率先随 x 的增大而增大，然后随 x 的增大而减小，观察四个选项中的图象，只有选项 C 满足要求. 答案：答案：C 5.函数函数 f(x) ex(sinxcosx)在区间在区间0， 上的值域为上的值域为 () 1 2 2 A B() 2 1 1 , 2 2 e 2 1 1 , 2 2 e C D( ) 2 1,e 2 1,e 解析：解析：f(x) ex(sinxcosx) ex(cosxsinx)excosx， 1 2 1 2 0 x 时，f(x)0， 2 f(x)是0， 上的增函数， 2 f(x)的最大值为 f( ) 2 2 1

5、 2 e f(x)的最小值为 f(0) ， 1 2 f(x)在0， 上的值域为 2 2 1 1 , 2 2 e 答案：答案：A 6.已知函数已知函数 f(x)满足满足 f(x)f(x)，且当，且当 x ( ， ， )时，时，f(x)xsinx，则，则 () 2 2 A.f(1)f(2)f(3) B.f(2)f(3)f(1) C.f(3)f(2)f(1) D.f(3)f(1)0 恒成立， 所以 f(x)在( ， )上为增函数， 2 2 f(2)f(2)，f(3)f(3)， 且 0312 ， 2 所以 f(3)f(1)f(2)，即 f(3)f(1)0)在在1，)上的最大值为，则上的最大值为，则 a

6、 的值为的值为. 2 x xa 3 3 解析 ：解析 ： f(x)当 x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0，f(x)单调递增，当 x时，f(x)，1，不合题意.a a 2a 3 3 a 3 2 f(x)maxf(1)，a1. 1 1a 3 3 3 答案：答案：13 9.给出定义 ： 若函数给出定义 ： 若函数 f(x)在在 D 上可导，即上可导，即 f(x)存在，且导函数存在，且导函数 f(x)在在 D 上也可导，则称上也可导，则称 f(x) 在在 D 上存在二阶导函数，记上存在二阶导函数，记 f(x)(f(x).若若 f(x)0 在在 D 上恒成立，则称上恒成立，则称 f(x)在在 D

7、 上为 凸函数 上为 凸函数.以下四个函数在以下四个函数在(0， )上不是凸函数的是上不是凸函数的是.(把你认为正确的序号都填上把你认为正确的序号都填上) 2 f(x)sinxcosx； f(x)lnx2x； f(x)x32x1； f(x)xex. 解析：解析：对于，f(x)(sinxcosx)，x(0， )时， 2 f(x)0 恒成立； 对于，f(x)，在 x(0， )时，f(x)0 恒成立； 2 1 x 2 对于，f(x)6x，在 x(0， )时，f(x)0 恒成立， 2 所以 f(x)xex不是凸函数. 答案：答案： 三、解答题三、解答题 10.(2009全国卷)设函数设函数 f(x)

8、x3(1a)x24ax24a，其中常数，其中常数 a1. 1 3 (1)讨论讨论 f(x)的单调性；的单调性； (2)若当若当 x0 时，时，f(x)0 恒成立，求恒成立，求 a 的取值范围的取值范围. 解：解：(1)f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a). 由已知 a1，2a2， 令 f(x)0，解得 x2a 或 x1 时，f(x)在区间(，2)和(2a，)是增函数，在区间(2,2a)是减函数. (2)由(1)知，当 x0 时，f(x)在 x2a 或 x0 处取得最小值. f(2a) (2a)3(1a)(2a)24a2a24a 1 3 a34a224a a(a6)(a3)，f(0)2

9、4a. 4 3 4 3 解得 1a0 时，判断时，判断 f(x)在定义域上的单调性；在定义域上的单调性； (2)若若 f(x)在在1，e上的最小值为 ，求上的最小值为 ，求 a 的值的值. 3 2 解：解：(1)由题得 f(x)的定义域为(0，)， 且 f(x) .a0， 1 x a x2 xa x2 f(x)0，故 f(x)在(0，)上是单调递增函数. (2)由(1)可知：f(x)， 2 xa x 若 a1，则 xa0，即 f(x)0 在1，e上恒成立，此时 f(x)在1，e上为增函数， f(x)minf(1)a ，a (舍去). 3 2 3 2 若 ae，则 xa0，即 f(x)0 在1，

10、e上恒成立，此时 f(x)在1，e上为减函数， f(x)minf(e)1 ，a (舍去). e a3 2 e 2 若ea1，令 f(x)0，得 xa. 当 1xa 时，f(x)0， f(x)在(1，a)上为减函数； 当ax0， f(x)在(a，e)上为增函数， f(x)minf(a)ln(a)1 a. 3 2 e 综上可知：a . e 12.某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交元，并且每件产品需向总公司交 a(3a5)元的管理费， 预计当每件产品的售价为元的管理费， 预计当每件产品的售价为 x(9x11)元时

11、， 一年的销售量为元时， 一年的销售量为(12 x)2万件万件. (1)求分公司一年的利润求分公司一年的利润 L(万元万元)与每件产品的售价与每件产品的售价 x 的函数关系式；的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L 最大，并求出最大，并求出 L 的最大值的最大值 Q(a). 解：解：(1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为： L(x3a)(12x)2，x9,11. (2)L(x)(12x)22(x3a)(12x) (12x)(182a3x). 令 L(x)0 得 x6 a 或 x12(不合题意，舍去). 2 3 3a5，86 a. 2 3 28 3 在 x6 a 两侧 L的值由正值变负值. 2 3 所以，当 86 a9，即 3a 时， 2 3 9 2 LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)； 当 96 a，即 a5 时， 2 3 28 3 9 2 LmaxL(6 a)(6 a3a)12(6 a)2 2