吉林省通榆县第一中学2020学年高二数学上学期期中试题 理（通用）

1、吉林省通榆县第一中学2020学年高二上学期期中考试数学试卷(理)第I卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 命题“若x1，则2x+13”的逆否命题为（）A. 若2x+13,则x1B. 若2x+13,则x1C. 若x1,则2x+13D. 若xb0)的左焦点为F(-1,0),且椭圆上的点到点F的距离最小值为1(1)求椭圆的方程；(2)已知经过点F的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且|AB|=247,求直线l的方程21. (12分)如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，BAD=90，PA平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4（）求证

2、：BDPC；（）求二面角B-PC-A的余弦值22. (12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,椭圆C的长轴长为4（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx-3与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由参考答案1.B 2.D 3.C 4.B 5. B 6. C 7. C 8. C 9.D 10.B 11.C 12.C13.答案-3解：x2+2x-30x-3或x1，“x2+2x-30”是“xa”的必要不充分条件，（-，a）（-，-3）（1，+），a-3，故答案为-3.14.答案6解：根

3、据题意，双曲线的标准方程为：x2m-y26=1，则其焦点在x轴上，且a=m，b=6，故其渐近线方程为y=6mx，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有6m=1，解可得m=6；故答案为615.答案23解：正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，平面ABCD平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，A1C1平面ABCD，A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，AB1与底面ABCD成60角，B1B=23，故答案为23.16.答案163解：由题意可得抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为y=3（x-1），代入y2

4、=4x并化简得3x2-10x+3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=103 x1x2=1，|AB|=1+3|x1-x2|=2(103)2-4=163故答案为：16317.解：（1）证明：连接B1D1，易有BB1平行且等于DD1，则四边形BB1D1D是平行四边形,则有BDB1D1,又E、F分别为D1C1、B1C1的中点,则EFB1D1，即有EFDB,故D，B，F，E共面;（2）在正方体AC1中，连接PQ，平面A1C1CA平面BDEF=PQ,则RPQ,又A1C平面BDEF=R，RA1C，R平面A1C1CA，R平面BDEF,R是A1C与PQ的交点,如图;（3）取A1B1的中点M

5、，连BM、FM，因为FMA1C1，所以MFB为两异面直线所成的角,设正方体棱长为a，则BM=BF=52a，FM=22a，所以cosMFB=54a2+24a2-54a2252a22a=1010.故异面直线A1C1和BF所成角的余弦值为1010.18.（1）证明：因为AB=AC且M为BC的中点，所以AMBC，又在正三棱柱ABC-A1B1C1中，因为平面BCC1B1平面ABC，AM平面ABC，且平面BCC1B1平面ABC=BC，所以AM平面BCC1B1，因为BN平面BCC1B1，所以AMBN，因为M，N分别为BC，CC1的中点，所以BM=CN=2，又因为BB1=CB=4，MBB1=NCB=90，所以

6、MBB1NCB，所以BMB1=CNB，BB1M=CBN，所以BMB1+CBN=CNB+CBN=90，所以BNB1M，又因为AM平面AMB1，B1M平面AMB1，AMB1M=M，所以BN平面AMB1.（2）解:设BNB1M=O，由（1）可知BO平面AMB1，所以AO为斜线AB在平面AMB1内的射影，所以BAO为AB与平面AMB1所成的角，由题可知AN=BN=42+22=25，所以ABN为等腰三角形，作NEAB于E，则E为AB的中点，所以NE=BN2-BE2=4，由等面积法可知AO=ABNEBN=4425=85，在RtAOB中，AOB=90，所以，所以直线AB与平面AMB1所成的角的余弦值为255

7、.19.解：（1）由题意设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（ab0）双曲线的焦点为（0，4），离心率为e=2，椭圆的焦点（0，4），离心率e=a=5b2=a2-c2=9，椭圆的方程为y225x29=1,（2）设PF1=m,PF2=n，则mn=2a=10,m2n2=4c2=64，mn=18，即SF1PF2=9，20.解：（1）由题意可得c=1，椭圆上的点到点F的距离最小值为1，即为a-c=1，解得a=2，b=a2-c2=3，即有椭圆方程为x24+y23=1；（2）当直线的斜率不存在时，可得方程为x=-1，代入椭圆方程，解得y=，则|AB|=3不成立；设直线AB的方程为y=k（x+1），代入椭圆

8、方程，可得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=-8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2，则|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k264k4(3+4k2)2-4(4k2-12)3+4k2=247，即为12(1+k2)3+4k2=247，解得k=1，则直线l的方程为y=（x+1）21.证明：（）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4），PC=(-2，4，-4)，BD=(-2，-1，0)，PCBD=0所以PCBD（）由（1）知PCB

9、D，且PA平面ABCD，显然PABD,易证BD为面PAC的法向量，设面PBC的法向量n=（a，b，c），PB=(0，1，-4)，BC=(-2，3，0)所以nPB=0nBC=0b=4ca=6c所以面PBC的法向量n=（6，4，1），cos=-16265265因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，所以二面角B-PC-A的余弦值为1626526522.解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得a=2ca=32，解得a=2c=3，所以b2=a2-c2=4-3=1，故椭圆C的方程为x24+y2=1（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O理由如下：设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程y=kx-3代入x24+y2=1，并整理，得(1+4k2)x2-83kx+8=0（*）则x1+x2=83k1+4k2，x1x2=81+4k2因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以OAOB=0，