三重积分的计算方法小结

1、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .曰. J o “用以 o f A刀s翻功八 协月抽以 刃知即招妙 鞍 山师 花学使学报 2 0 07 04 . 9 ( 2 ) : 60 一 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 三重积分的计算方法小结 杨玉敏 (鞍山师范学院数学系 , 辽宁 鞍山 1 1 取刃 7 摘要 : 三重积分的计算是数学分析中的难点 , 结合教学本文较全面地给出 了三重积分计算中的若干处理 方法 ,对 学习者有一定的指导意义 . 关健词 : 三重积分

2、;对称性;坐标变换 中图分类号 : 017 2 . 2 文献标识码 : A 文章篇号 : 10 08- 24 4 1 ( 2 0 (y 7 )0 2 ( 盯 叹)(阵 M eth o d s o fCa cu l a柱o nof T i r P le 玩t egra l YANGYu 一m in (及卿叻叱瓜o f M运h e加叻油 , As nh a n 八乞m回 n U 动e乃匆 , A甩从切“即几吨114 ( X )7 , h c ia n ) A h巾旧ct : h T eea le u l i a t o nO f i t r ple i n t ea lish t e diif f

3、 eu l y t inMh a t e mi a t e s a n吻5 1 0 . Inh tisp即e r , un 娜 ng e t a ehing , we i g ve in st I U ei tve meh t o d s O f h t ee a l e u l ai to no f i t r pl e i ne t ga r l f o r le a m e r Key , .n如二Ti rple ie n t孚a l ; Syl l n n e铆; Co o记ia n t e 滋e t r n ate 三重积分的计算是初学者的一个难点 . 计算三重积分即要将它化成累次积

4、分 , 教材中给出了计算公 式 、 换元法和定限法 , 但要具体地实现这一点 , 既要有较强的几何直观能力 , 以便于将积分体表示成适当 的形式 , 又需要灵活选择计算公式和方法 , 以便于计算l , 2 . 其中的方法和技巧学生难以把握 , 为了更 快更好地培养学生在这方面的能力 , 作者在教学中总结出三重积分计算中的若干处理方法 . 1 在直角坐标系下将三重积分转化成三次累次积分进行计算 , 1 z 当空间积分区域是由长方体 、 四面体或任意体形成时 , 将三重积分转化成累次积分 . 例 皿 ( , + 二 + , + : ) 一 d。 , 。 : 由 x + , + 一 , := 0 ,

5、 y = o及 := 0所成 D 解积分闭区域在x o y 面的投影是一个三角形区域刀 二 10 二 1 , 0yl 一: , o : l - :一 y , 故三重积分 盯 (1 + : + , + : ) 一, d, = f 、 f 一 即 f , 一一 (1 + 二 , , + : ) 一, 、 二 冬 (、 - J理J0J0JO t , 于) 2 坐标变换法 ,2 (l )当积分区域是柱面 、 锥面 , 或由柱面 、 锥面 、 旋转抛物面与其它曲面所围成的形体 , 被积函数为 抓 二, + 尹) ;f (z 上) ; x f ( y , +:, ) , 斌三 ) ;y f ( 二,+ 扩

6、) f y ( 三) . 计算三重积分一般采取的是柱坐标变换 收稿日期 : 20 05 一 0 6 一 2 8 作者简介 : 杨玉敏(1 97 0 一 ) . 女 , 辽宁鞍山人 , 鞍山师范学 院数学系副教授 . 第 2期 杨玉敏 : 三重积分的计算方法小结 6l x二re o s s y =r sin o , d公 =d x 、d Z当N f ( X , , ,: )d = 少 rc o so , 一no , )d r odd z 月 Z=之 例2计算 I = 皿 月 ( x, + 尹) d。 , 刀 :x, + 尹 = = 22 , z= 2 所围成 . 劣=rc o so 解用柱坐标变

7、换 y =rsin s , J =r , 082下 , 082下 , 0 r 2 了 5 之 5 乙 Z=Z , 二 广 d。广rd r 广 , 、* 二 粤 J 0 J o J 普 j 例 3 计算 I 5所围成的闭区域 . = 皿 月 (尹 + 扩)d 。 , 刀是由x o y 平面上的曲线尹 二 x 2绕 二 轴旋转而成的曲面与平面 二二 解曲” : 二 Z x 一 、 .、 一 , , , , , 一 ,L _一 、, 贷 x 细爬转 , 脚得田灰转曰回力性刀 y - 二 2劣 . 名 工 心.几 + 侧 由于立体在 yo z 0 平面的投影为圆域 . 故采用柱坐标变换 y =reos

8、o z=rsin s , J =r , 00三 2下 , O r 万 5 % 5 ” X=X 则, = 广 d。 f瓜 、 r 广 , 、 缪 二 . J 0JOJ 号 J (2) 当空间立体为球体或球体的一部分锥体时 , 被积函数是f (扩 + 尹 + 扩) 的时候可采用球坐 标变换 . x=r “ n 中 C夕5 1 r 2 . 了 “rs,n 甲 ,n口沙 于 rsn中 井 一z 二r c o s , f ( I X , , , )d一 少 二n中 。 50 , 一n币Sno , r一 ,产Sn中dod中d.r 口月 例 4 计算 = 子 d , “ :x + 尹 + (一) a , x

9、 + y 扩所围成 利用球坐一 x=rs in巾e o ss 了 =rsin中s ino , J = z=r cos币 尸 sn , , 0 , 晋 , 002下 , o r “ aco 小 产 , , _ 漪 、 . 产 a C咐 只组I = I aU l a 中! _ rc o s中rs ln甲ur J 0 J U J U 7 二 了下 a 4 . 另外 , 此题也可以采用柱坐标变换来做 . 3 利用 “ 先二后一 ” 的方法计算三重积分3 例 5 计算 于 “ , “ :x + , + :一a ) a , x+ 尹 : 所围成 鞍山师范学院学报第9卷 解利用 “ 先二后一 ” 的方法进行

10、计算 , 用平行于 x o y 面的平面去截积分区域得到D : 的面积应很容 易计算 . 故原式为 : 厂 : d z 汀 、办 + 厂 “ : d s 吓 d x衍 = 厂 : 二 Zd z + 厂 “ 一一(一) 、 = 晋 二a 此解法与例4相比 , 显得更容易求解 . 例 6 计算 如 d , 伽 + 尹 + 扩 引 解 一卦哪分 , 如图 解 子 y z“ = f _ : 、 伽 、 二 f : * 广 d。r只一。r si o rd 李广 : 业二二犷 d s 乙J 0 4 丫 例 7 计算 , + 尹 + 扩)d , , 月: :, +了, Za z , x, +y,+ z, 3

11、a ,(。 图 1 积分区域图 O) . 上 4 8 一一 X 于 。 解被积函数f ( x , y , : ) =:2+ 、 +: 2 , 由 : Lx + y 二 Za z + 尹 _ , ,解 3 a 得 :二a , : 二 一 3a ( 舍去) . 平面 :=a 把闭区域分成两部分 . 记下半部分为 n l , 上半部分为 n : , 如图 2 , 故 肛 ( x, 十 尹 + 了)山 = 盯 ( x, + , , + :, )a 。+ 盯 ( 二 , + 尹 + 扩)由 二 刀DI 场 之,+, l, 2“ 厂 。 可 (一 , 2 一 )、 J 瓜 。 可(一 , 2+ 、)、 粤

12、 = 积分区域图 代 一 只 a r 产二 r涯石 _ , . 人石 产二 , 月乃 不二了 J 。d Z 。do 。 ( r + z ) r dr + 。 d s 。do 。 (产 + 了) r dr 二 于 瓜 r 官JI 下 2+ 2二厂 。 。 普 誓 “凡 音 ! as ( 18万 一 誓 ) 誓 丫征、 可见 , 此方法不仅适合于被积函数为一个变量的情形 , 也适合于一般情况 . 4 利用积分区域的对称性以及被积函数的奇 、 偶性来进行计算 (1 )若空间闭区域是关于x o y 面对称 , 即丫( x , y , 习 二 刀 , 日( 二 , y , 一 z ) 二 刀 , 则当f

13、 ( x , y , 一 习 二- , f N ( 加 场 f ( x,y ,: ) , 即被积函数在刀上关于 : 的奇函数时 数在“上关于 为偶函数时 , N f ( 二 , , ,: ) d一2 刀 x , 犷 , z )d 。二 0 , 当f ( x , y , 一z = f ( x , y ,: ) , 即被积函 x , y ,: )d 。 , 马是 x o y面上侧的部分 积分区域关于其它两个坐标平面y o z , x o z 对称时 , 被积函数是 x , y 的奇 、 偶函数时也有上述的相应 的结论 . ( 2)若空间区域是关于 : 轴对称 , 即V( x , y ,: ) E

14、刀 , 日( 一x , 一 y ,: ) E 月 , 则当f ( x , y , 习在月上是 第2期 杨玉敏 : 三重积分的计算方法小结 x , , 的奇函数时 , N f ( 另 , , , )d一 “ ; 当f x ( , , , )在“上是 二 , , 的偶函数时 , 伽 二 , , , )d一 2伽二 , , , 刀口口l : )山 , 刀 , 是月位于过 : 轴的平面一侧的部分 . ( 3 )若空间区域刀关于原点 O对称 , 即V( x , y , : ) 二 月 , 日( 一 x , 一 y , 一: ) E 月 , 则当f ( x , y , : )在刀 上是 二 , , , 的

15、奇函数时 , 少 二 , , , )d一 0 ; 当f ( 二 , , , ) 在“上是 二 , , , 的偶函数时 , N f ( 二 , , , )d一 口刀 2 N f ( 二 , , ,: )d 。 , 马是过原点口的平面一侧的部分 刀- (4)若空间区域刀具有轮换对称性 , 即V( x , y , z ) 二 几 , 日(y , z , x ) , ( z , x , y) 二 几f ( x , y ,: ) = 关( x , , , z ) + ;( , ,:, : ) + 爪 : , : , , )劝 f ( I 二 , , , )“ = 计算 , = 服毕黔答牛 其 共业 d,

16、 望 劣一+丫一 + 之一+1 JI J ,亚(x , , , )d二 月- 。 :xZ+ 少2+ :2二 l 积分区域是关于x o y 面对称 , 被积函数是 : 的奇函数 , 所以积分值为零 . 计算 二 加 鱿御 刀 二劣 ,劣 = 0 , y 二士 1 , :二 o ,: 二 1所围成的空间闭区域 积分区域是关于 : 轴对称的 , 被积函数是 x , y 的偶函数 ,将积分区域在第一 卦限的部分记作刀 000 产 例例解解 小 衬v d = 2矛 ” 一2丁 。d Z 丁 。 d x f :3二 办 = 2厂 。 “ J 。 誓 ,二 3“ = 2丁 、 。 念 “ 8 例 10 计算 I = 服 二 ,山 , 。 : 手 + 鲁 + :二 1 ,二 = 0 ,: 二 0所围成的四面体 . 渭 解积分区域关于坐标原点是对称 , 被积函数是 x , y ,: 的奇函数 , 因此 , 此积分值等于零 . 例n计算 = 小 y z d ,“ :二 + , + 一 , 及三个坐标平面所围成的区域 口 解因f ( 二 , , , ) =二+ , + , 积分区域具有轮换性 , 故子d 。= 企 d一