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1、.,数值分析,第二章 插值法,Hermite 插值,.,.,两点三次Hermite插值,F,.,例：设 x0 x1 x2, 已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和 f (x1), 求多项式 P(x) 满足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且 P(x1) = f (x1), 并估计误差。,模仿 Newton 多项式的思想，设,解：首先，P 的阶数 =,3,A为待定系数，可由 P(x1) = f (x1)确定,与 Lagrange 分析完全类似,.,., 求Hermite多项式的基本步骤：, 写出相应于条件的、 的组合形式；, 对每一个 找出尽可能多的条件给出的根；

2、,其中, 根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；, 根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；,由,可得,.,., 最后完整写出H(x)。,.,.,两点三次Hermite插值的误差为,.,构造辅助函数,均是 二重根,连续使用4次Rolle定理，可得，,使得,.,即,所以,两点三次Hermite插值的余项为,以上分析都能成立吗？,.,一般的，总认为次数越高， 逼近f(x)的精度就越好， 但实际上并非如此。,.,2.6 分段低次插值 /* piecewise polynomial approximation */,Remember what I have said? Increasing the

3、 degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result, since high-degree polynomials are oscillating.,例：在5, 5上考察 的Ln(x)。取,n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象,.,不同次数的Lagrange插值多项式的比较图,Runge现象,从上图可以看出，随着n的增加，Ln(x)的计算结果和误差的绝对值几乎成倍的增加，这说明当n趋于无穷大时， Ln(x)在-5，5上不收敛；,.,.,因此,则,., 分段线性插值 /* piecewise linear interpolation */,在每个区间 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):, 分段Hermite插值 /* Hermite piecewise polynomials */,How can we make a smooth int

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