2020届“333”高考备考诊断性联考卷三理数-答案.pdf

1、理科数学参考答案第 1 页（共 12 页） 2020 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（三） 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A C D A C B B A D 【解析】 1 ii (1i)11 ii 1i222 z ， 13 i 22 z ，故选 B 2(0 4)A ， | |3Bx xxZ，( ) 1 0 1B Z ， ，则()1AB Z ，故选 D 3 n a既是等差数列又是等比数列， 1 1a ，则 * 1() n anN(常数数列)，前 2020 项的

2、和等 于 2020，故选 C 4考虑用几何概型，如图 1，| | | |2xy表示边长等于 2 的正方 形区域， 22 1xy表示半径等于 1 的单位圆的外部，两个区 域 的 中 心 重 合 ， 事 件 “ 22 1xy” 发 生 的 概 率 P 4 1 44 21.5%，对比四个选项，故选 A 5 25 (12)(1)xx 525 1 (1)2(1)xxx，其 中 5 1 (1)x的 展 开 式 中 含x的 项 是 11 5 C ()5xx ， 25 2(1)xx的展开式中没有含x的项，故选 C 6 ( )3sin4cosf xxx，( )3cos4sinfxxx，(0)4f ，(0)3f

3、，则切线l的方程为 43(0)yx，取0 x ，解得切线l在y轴上的截距 4b ，取0y ，解得切线l在x轴上 的截距 4 3 a ，则直线l与坐标轴围成的三角形面积 18 | | | 23 Sa b ，故选 D 7取 0 x ，得2y ，图形在y轴上的截距等于 2 ；取 0y ，得4x ，图形在x轴上的 截距等于4；取 1x ，得1y ，则点(11)， 在图形上，排除B，C，D，故选A 另解：当00 xy ， 时， 2 | | | |22(2)(0 02)xyxyyx xy ， ，将抛 物线弧（凹的） 2 (020)yx xy ，上移2个单位得到 2 (2)(0 02)yx xy ， 的图象

4、，再因| | | |2xy的图形关于两条坐标轴对称，选A，或者排除B，C，D，故选A 图 1 理科数学参考答案第 2 页（共 12 页） 8命题是真命题，其它是假命题，故选C 9设23xyz，作出四个不等式0 x，0y，220 xy，3220 xy组合后表 示的可行域（四边形），解得可行域的四个顶点： (0 0)O， ， 2 0 3 A ， ， (2 2)B ， ， (0 1)C， 一一代入计算，比较得 min 3z ， max 4 3 z，所以z的取值范围是 4 3 3 ， ，故选B 10已知PFPH，则点P位于以F为焦点、直线l为准线的抛物线上，以KF的中点O为原 点、直线KF为x轴建立直

5、角坐标系（F在正半轴上），依据| |4KF ，求得抛物线方程 为 2 8yx，焦点(2 0)F，作PMx轴 (M 是垂足)，由POPF，知M平分OF，求得 (12 2)P， 由 对 称 性 ， 只 需 取(1 2 2)P， 设POF外 接 圆 的 方 程 为 22 0 xyDxEyF，将点(0 0)O，(2 0)F， (1 2 2)P， 的坐标代入求得0F ， 2D ， 7 2 4 E ，所以POF外接圆的半径 22 19 2 28 rDE，故选B 11设( )22 xx g x ，求得( )(22)ln2 xx g x ，当0 x 时，( )0g x，则( )g x在0) ，上 递 增 ，

6、易 知( )cos22 xx f xx 是R上 的 偶 函 数 ， 且 在 0 2 ， 上 递 减 ， 3 3456 23 log 2 log 3 log 4 log 50 2 ， ， 3 4 log 323，故选A 120，0 x， 666 x ， ，设 6 xt进 行替换，作 sinyx 的图象如图2，在0 ， 上满足 2 ()0f x 的实数 2 x有且只有3个，即函数sinyx在 66 ， 上 有且只有3个零点， 由图象可知 23 6 ，13 19 66 ， 结论正确； 由图象知， sinyx 在 66 ， 上只有一个极小值点，有一个或两个极大值点，结论正确， 结 论错 误 ； 当 0

7、 9 x ， 时 ， 6696 x ， ， 由 1319 66 知 图 2 理科数学参考答案第 3 页（共 12 页） 25 0 2796272 t ， 所以sinyx在 696 ， 上递增， 则 ( )f x在 0 9 ， 上 单调递增，结论正确，故选 D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 6 2019 2021 2 63 33 ，或 2 3 2 ，172(171 172 173)，均给满分 【解析】 13已知D E， 是BC的两个三等分点，则33()BCDEAEAD 33ADAE ，已知 BCmADnAE ，则 33mn ，

8、 ，6mn 14已知 n a是等差数列，设其公差为d， 20192020 20202019aa 1 2020(2018 )ad 1 2019(2019 )ad 1 0ad， 则 n a的 前n项 和 1 1 (1) 2 n Snannd 1 (1)0 2 n nd， 2019 2020 1 2019 2020 2019 2 1 2021 2020 2021 2 S S 15 设 0000 ()(00)M xyxy， ， 当 M是 12 MFF的 直 角 顶 点 时 ， 联 立 22 00 3xy与 2 20 0 1 2 x y，解得 00 2 63 33 xy，；当 2 F是 12 MFF的直

9、角顶点时， 2 MFx轴， 0 3xc代入 2 20 0 1 2 x y，解得 0 2 2 y ，所以M的坐标是 2 63 33 ， 或 2 3 2 ， 16如图3，设被挖去的正方体的棱长为cmx，由（半）轴截面中的 直角三角形相似，得 2 2 2 2( 21)2 2 x rx xr rr ，该模型的 体积 23 1 3.14( 21)2( 21)221.45 3 V ，所以制作该模 型所需材料质量约为 21.45 8172mV （因四舍五入误差，考生答171，172，173 时都给满分） 图 3 理科数学参考答案第 4 页（共 12 页） 三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演

10、算步骤） 17 （本小题满分12分） 解：（1）每日累计病亡人数与时间的相关系数0.980.7r， 所以每日病亡累计人数y与时间t呈现强线性相关性， 可以建立线性回归方程 yb ta来进行估计 （3分） （2）5天5个时间的均值 678910 8 5 t 5天5个病亡累计人数的均值 23556985100 7000010076640 5 y 计算5个时间与其均值的差tt，计算5个累计病亡人数与其均值的差yy，制作下表： 日 期 5月6日 5月7日5月8日5月9日5月10日 均值 时间t 6 7 8 9 10 8t 新冠肺炎 累计病亡人数 72300 75500 76900 78500 8000

11、0 76640y tt 2 1 0 1 2 yy 4340 1140 260 1860 3360 用公式 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyy baybt tt - - - ， 进行计算： 22222 ( 2)( 4340)( 1)( 1140)02601 186023360 1840 ( 2)( 1)012 b ， 766401840 861920ayb t 所以每日累计病亡人数y随时间t变化的线性回归方程是184061920yt （8分） （3）日期5月11日对应时间11t ，1840 116192082160y ， 所以，估计5月11日累计病亡人数是82160

12、（10分） 令18406192090000yt，解得15.26t， 理科数学参考答案第 5 页（共 12 页） 病亡人数要达到或超过9万，必须且只需16t，16t对应于5月16日， 因此预测5月16日美国新冠肺炎病亡人数超过9万人 （12分） 18 （本小题满分12分） 解：（1）选择sinsin 2 BC aBb 作为依据， 由正弦定理得 sinsinsinsin 22 A ABB ， 由sin 0B ，得sincos 2 A A ， 2sincoscos0 22222 AAAA ， 1 sin0 2222 AA ， 26 A ， 3 A （6分） 3 AA = 选择难边长或均可确定，并且度

13、更低；与都涉及，不能唯一确定角 . （2）选择添加条件ABC的面积等于4 3， 则 13 sin4 3 24 ABC SbcAbc ，16bc 由余弦定理和基本不等式：ABC周长 22 2cos()LabcbcbcAbc 22cos2312 3 bcbcbcbc， 当且仅当4bc时取等号， 所以ABC的周长L的最小值等于12 3 A，16bc ，可以让 16 +0bc b ，此时周长+L ABC的周长L的取值范围是12 + )，（12分） 若选择添加“4a ”作为条件，用余弦定理和基本不等式， 2 222222 1 162cos()3()3=() 24 bc abcbcAbcbcbcbc ，

14、则8bc，4bc时取等号 理科数学参考答案第 6 页（共 12 页） 又4bca，则812abc 所以ABC的周长L的取值范围是(8 12 ， （与选择结果不同） （12分） 19 （本小题满分12分） 解：（1）性质1：DE 平面ABD证明如下： 翻折前，DEDA DEBC，翻折后仍然DEDA DEDB，且DADBD， 则DE 平面ABD. 性质2：DEAB证明如下： 与性质1证明方法相同，得到DE 平面ABD 又因AB 平面ABD，则DEAB 性质3：DE与平面ABD内任一直线都垂直证明如下： 与性质1证明方法相同，得到DE 平面ABD，从而DE与平面ABD内任一直线都垂直 性质4：直线D

15、E与平面ABE所成角等于 3 证明如下： 如图4，取AB的中点F，连接DF，EF， 由DADB，得DFAB， 与性质2证明相同，得DEAB，DE DF， 再因DEDFD，则AB 平面DEF，进而平面DEF 平面ABE 作DHEF于H，则DH 平面ABE， 即DEF就是直线DE与平面ABE所成的角 1DE ，2EF ， 1 cos 2 DE DEF EF ， 3 DEF （5分） 说明：写出一条并且只需写出一条正确的性质（允许在以上4条之外），给3分，完成 正确的证明后合计给5分 图 4 理科数学参考答案第 7 页（共 12 页） （2）与（1）之性质4证明相同，得到DEDF，AB 平 面DEF

16、，ABEF，AB 平面ABE内，则平面DEF 平 面ABE 以E为坐标原点、EF为x轴建立如图5所示的空 间直角坐标系 3 2 DEDF DH EF ， 1 2 EH ，则平面ABE的一个法向量 3 0 0 2 HD ， ， ， (0 0 0)E， ， ， (2 1 0)B， ， 13 0 22 D ， ， ，(2 1 0)EB ， 13 0 22 ED ， ， 设()nxy z ， ，是平面BDE的法向量， 则 20 13 0 22 n EBxy n EDxz ， ， 取1z ，求得一个法向量(3 2 3 1)n ， ， 记二面角 DBEA的大小为，则与 n HD ，相等或互补， 3 302

17、 301 2 |1 |cos| |cos| 4| |3 4 2 n HD n HD nHD ， ， 因是锐角，则 1 cos 4 （12 分） 20 （本小题满分 12 分） 解：（1） 21 ( )(2)1e x f xxax ， 1 ( )(1)(3)e() x fxxxax R， 令 ( )0fx ，解得 1 1x ， 2 3xa 若 31a ，即2a ， 则 ( )0fx 对x R成立，函数 ( )f x在0 2， 上单调，符合题目要求； 若 31a ，即2a ， 当 (3 1)xa ，时，( )0fx ，当 (1 + )x， 时， ( )0fx ， 函数 ( )f x在0 2， 上不

18、单调，不符合题目要求； 若 31a ，即2a ， 图 5 理科数学参考答案第 8 页（共 12 页） 当 (1)x ，时，( )0fx ，当 (13)xa， 时， ( )0fx ， 函数 ( )f x在0 2， 上不单调，不符合题目要求 综上，若 ( )f x在0 2， 上是单调函数，则a取唯一值：2a （6 分） （2）解法一：已知“对 1 2x ， ，( )1f x 均成立”，取1x ，得 (1)1fa ， 则1a，32a ，则 (1 2)x ， 时， ( )0fx ， ( )f x在1 2， 上递增， “对 1 2x ， ，( )1f x 均成立”等价于 max 12 ( )(2)1 e

19、 a f xf ， 1e 2 a ， 与1a取交集，仍然得 1e 2 a ， 所求a的取值范围是 1e 2 ， （12 分） 解法二：根据（1） ， 若2a ，则 ( )f x在R上单减， “在区间1 2 ， 上， ( )1f x 恒成立”等价于 max ( )(1)f xf21，不成立； 若 31a ，即2a ，则(1)x， 时， ( )0fx ，函数 ( )f x在1 2， 上单减， 在区间1 2 ， 上， max ( )(1)2f xfa ，“在区间1 2，上，( )1f x 恒成立”不成立； 若 32a ，即1a ，则 1 2x ， 时， ( )0fx ，函数 ( )f x在1 2，

20、上单增， 在区间1 2 ， 上， max 12 ( )(2) e a f xf ， “在区间1 2 ， 上， ( )1f x 恒成立” max ( )1f x 12 (2)1 e a f ， 解得 1e 2 a ，与1a相交取交集，得 1e 2 a ； 若1 32a ，即 21a ， 则(13)xa， 时， ( )0fx ， (3 2)xa ， 时， ( )0fx ， 函数 ( )f x在(13)a ， 上递增，在( 3 2)a ， 上递减， 在区间1 2 ， 上， max 2 4 ( )(3) ea a f xf a ， 理科数学参考答案第 9 页（共 12 页） “在区间1 2 ， 上，

21、( )1f x 恒成立” 2 4 1 ea a 2 e40 a a 构造辅助函数处理，设 2 ( )e4( 21) x g xxx ， 则 2 ( )e1 x g x ，( )g x在( 21)，上递增，( )( 2)0g xg， 则函数 ( )g x在( 21)， 上递增， ( )( 1)e30g xg ， 因此 21a 时，( )g a 2 e40 a a 均不成立 综上，所求a的取值范围是 1e 2 ， （12 分） 21 （本小题满分 12 分） 解：（1）已知椭圆 C 关于 x轴、 y 轴都对称，设其方程为 22 1mxny（这样设可回避 焦点在哪条轴上的分类讨论） 由 3 (03)

22、1 2 AB ， 在椭圆上，得 9 311 4 nmn，联立解得 1 4 m ， 1 3 n ， 得椭圆 C 的方程是 22 1 43 xy （4 分） 用a b c ，依次表示椭圆的长半轴、短半轴、半焦距， 则 22 43ab， 222 1cab ，则2a，3b ，1c 所以，椭圆 C 的离心率 1 2 c e a ，焦点坐标为 12 ( 1 0)(1 0)FF ， ， （6 分） （2）设 ()D xy， ，则 22 1 43 xy ，即 22 4 4(33) 3 xyy， 222 |(0)(3)DAxy 22 4 4(2 33) 3 yyy 2 1 (3 3)16 3 y 函数 2 1

23、|( )(3 3)16 3 DAf yy 在区间33，上递减， 则| |DA取最大时， 3y ，此时0 x ， 所以，椭圆 C 上到点 A最远的点是(03)D， 理科数学参考答案第 10 页（共 12 页） 设椭圆 C 在点 3 1 2 B ， 处的切线l的方程为 3 (1) 2 yk x，即 3 2 ykxk ， 与 22 1 43 xy 联立消去y后整理得 222 (34)4 (23)(23)120kxkkxk， 判别式 22222 16(23)4(43)(23)1236(21)kkkkk ， 由相切条件得 2 36(21)0k ， 1 2 k ， 所以椭圆 C 在点 3 1 2 B ，

24、处的切线l 的方程是 1 2 2 yx， 令 0 x ，得2y ，得切线l 与 y 轴的交点坐标(02)E， 设BDE外接圆的方程为 22 0 xymxnyp， 由三点 3 1(03) 2 BD ，(02)E， 都在圆上， 得 313 0 24 330 240 mnp np np ， ， ， 解得 12 3 4 23 2 3 m n p ， ， ， 12 3 28 m ， 3 1 22 n ， 所以BDE外接圆的圆心坐标是 12 33 1 82 ， （12 分） 22 （本小题满分 10 分）【选修 44：坐标系与参数方程】 解：（1）sin2 ()|sin2 |(0)R |sin2 | |sin2 | 1sin21 1 ， ， 所以 2() 2 kkZ， 42 k ，取0 1 2 3k ， ， ，