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5 某些具体空间中集合准紧性的判别法,在这一节，我们介绍一些具体空间中集合准紧性的判别法。 例1 空间 中的任何有界集都是准紧的。 例2 空间 中集合准紧的充分必要条件是 （） 集合 是有界的，既存在常数 ，使对一切 有 （） 集合 是等度连续的，即对任给的 存在 使得对任意的 ，只要 就有 对一切 成立。,证 必要性 设 是准紧集，由定理4.2的推论， 有界 故（）成立。 现在证明 的等度连续性。任给 ，由于 准紧， 故存在有限的 。因为 在上连 续，故必一致连续，又因 共有有限个， 因此对于上述 ，存在 ，只要 就有 对于 同时成立。任取 ，因 是 的 ，故存在某个 使得 。因此,于是当 时， 由于 是任给的，而 又只依赖于 ，故 等度连 续。 充分性 设 有界且等度连续。根据等度连续的定义， 对于任给的 ，存在 ，使得对于 中的任 意两点 ，只要 ，就有,对一切 成立。取定自然数 使 ，再将 分成 等份，分点为 。这时 只要 同时属于某个子区间 ，不等式（1）成立。 作为 欧几里得空间 中的点集 由于 有界，故 在 中有界。由这一节例1， 在中准 紧。于是存在 的有限子集 组成 的 ，由 的定义可知，对应于（2）中的 有限集，有 中的有限子集,现在证明这个集合构成 的一个 。任取 则点 ，于是存在 ， 使得 因此对每个 ，有 。今任取 ，则

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