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1、垂直于弦的直径 （垂径定理）,问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,圆是轴对称图形，,判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）,X,任何一条直径所在的直线都是对称轴。,（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？,思考：

2、当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦AB有可能被直径CD平分？,O,A,B,C,D,E,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E .,垂径定理的几何语言叙述:,AE=BE，,AC=BC，,AD=BD,（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,AE=BE,AC=BC,AD=BD,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且 平分弦所对的两条弧,CDAB,定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,CDAB, CD是直径,AM=BM,E,O,A,B,D,C,E,A,B,C,D,E,O,A,B,D,C,E,O

3、,A,B,C,E,O,C,D,A,B,练习1,O,B,A,E,D,在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等 的线段或相等的圆弧.,O,垂径定理的几个基本图形,引申定理,定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式： 一条直线具有：,平分弦,经过圆心,垂直于弦,平分弦所对的劣（优）弧,8cm,1半径为4cm的O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。 2O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。 3半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。,练习 2,A,B,C,D,E,A,B,D,C,AC=BC,AD=

4、BD,CDAB,AE=BE,平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,（不是直径）,垂径定理的推论:,CDAB吗？,(E),合作探究,判断：,( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧.,( )(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.,( )(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,应用新知识,解：,答：O的半径为5cm.,在RtAOE中,在O中,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,赵州石拱桥,如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高. 由题设知,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R27.9（m）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27