高三数学一轮复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件文.ppt

1、文数 课标版,第六节双曲线,1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a、c为常数且a0,c0.,教材研读,(1)当2a|F1F2|时,P点不存在.,2.双曲线的标准方程和几何性质,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于8的点的轨迹是双曲线. () (2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于6

2、的点的轨迹是双曲线.() (3)方程-=1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.() (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.() (5)双曲线方程-=(m0,n0,0)的渐近线方程是-=0,即,=0.(),1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是() A.2B.2C.4D.4 答案C双曲线2x2-y2=8的标准方程为-=1,故实轴长为4.,2.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为() A.B.C.D.(,0) 答案C原方程可化为-=1, a2=1,b2=,c2=a2+b2=,右焦点坐标为.,3.若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且 |PF1|=3,

3、则|PF2|等于() A.11B.9C.5D.3 答案B|PF1|=3a+c=8,故点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义得 |PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF2|=9,故选B.,4.“ab0和a0,b0时,方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线;当a0,b0, b0,则ab0.由此可得,“ab0”是“方程+=1表示焦点在x轴上的 双曲线”的必要而不充分条件.故选B.,5.若点P(2,0)到双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线的距离为,则 双曲线的离心率为() A.B.C.2D.2 答案A双曲线的渐近线方程为bxay=0,点P(2,0)到渐近线的距离为=,所以a2=b2,所以c2=2a2

4、,所以双曲线的离心率为,故选A.,6.设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点,且它们的离心 率互为倒数,则该双曲线的方程是.,答案2x2-2y2=1 解析椭圆的焦点为(1,0),双曲线的焦点为(1,0).椭圆的离心率e=,双曲线的离心率e=. 双曲线中c2=2a2,1=2a2,a2=, 又双曲线中b2=c2-a2,b2=,所求双曲线的方程为2x2-2y2=1.,考点一双曲线的定义及标准方程 典例1(1)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2=() A.B.C.D. (2)已知双曲线-=1(a0,b0)和椭圆+=1

5、有相同的焦点,且双曲 线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为. 答案(1)C(2)-=1 解析(1)双曲线方程可化为-=1,a=b=,c=2.由,考点突破,得|PF1|=4,|PF2|=2,由余弦定理得cosF1PF2= =.故选C. (2)由题易得椭圆焦点为(,0),离心率为, 在双曲线中有a2+b2=7且e=, 结合a2+b2=c2解得a2=4,b2=3, 双曲线的方程为-=1.,方法技巧 (1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一个常数,且该常数必须小于 两定点间的距离”.若去掉定义中的“绝对值”,则点的轨迹是双曲线

6、的一支.同时注意定义的转化应用. (2)求双曲线方程时,一是注意标准形式的判断;二是注意a、b、c的关系.,变式1-1若将本例(1)中的条件“|PF1|=2|PF2|”改为“F1PF2=60”,则F1PF2的面积是多少? 解析不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2, 在F1PF2中,由余弦定理,得 cosF1PF2=, 所以|PF1|PF2|=8, 所以=|PF1|PF2|sin 60=2.,1-2过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相 交于点A.若以C的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为() A.-=1B.

7、-=1 C.-=1D.-=1,答案A由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=x,因此可设点A的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4, 且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a=2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程 为-=1,故选A.,考点二双曲线的几何性质 命题角度一双曲线的离心率问题 典例2(2016山东,14,5分)已知双曲线E:-=1(a0,b0).矩形ABCD 的四个顶点在E上,AB,CD的中点为

8、E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是. 答案2,解析由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所 以=6c,2b2=3ac,=3e,2(e2-1)=3e,2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-(舍去).,典例3(1)已知双曲线的渐近线方程为y=x,且经过点A(2,-3),则双曲 线的标准方程为() A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 (2)过双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F作圆O:x2+y2=a2的两条切线,切 点为A,B,双曲线左顶点为C,若ACB=120,则双曲线的渐近线方程为 () A.y=xB.y

9、=x C.y=xD.y=x,命题角度二双曲线的渐近线问题,答案(1)B(2)A,解析(1)由题意设双曲线的方程为x2-4y2=(0).,因为点A(2,-3)在双曲线上,所以4-4(-3)2=, 解得=-32,故双曲线的方程为-=1. (2)如图所示,C(-a,0),连接OA,OB,设双曲线-=1(a0,b0)的焦距为 2c(c0),则F(-c,0). 由双曲线和圆的对称性知,点A与点B关于x轴对称,则ACO=BCO=,ACB=120=60. 因为|OA|=|OC|=a,所以ACO为等边三角形, 所以AOC=60. 因为FA与圆O切于点A,所以OAFA, 在RtAOF中,AFO=90-AOF=9

10、0-60=30, 所以|OF|=2|OA|,即c=2a, 所以b=a, 故双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x=x.,典例4(1)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点 (4,-2),则它的离心率为() A.B.C.D. (2)过双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直 线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为. 答案(1)D(2)2+ 解析(1)设双曲线的标准方程为-=1(a0,b0), 所以其渐近线方程为y=x,因为点(4,-2)在渐近线上, 所以=,根据c2=a2+b2,可得=,e2=,即e=.,命题角度三离心率与渐近线的综合问题,

11、(2)如图所示,不妨令与渐近线平行的直线的斜率为,又直线过右焦点 (c,0),则直线的方程为y=(x-c). 把点P的横坐标2a代入双曲线方程得-=1,解得y=-b或y=b(点 P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,-b),代入直线方程得-b= (2a-c),化简可得离心率e=2+.,典例5(2015课标全国,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一 点,F1,F2是C的两个焦点.若0,则y0的取值范围是() A.B. C.D. 答案A 解析若=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=为半径的圆 上,则解得=.可知:0点M在圆x2+y2=3的内部 y0.故选A.,命题角度

12、四求参数或变量的取值范围,规律总结 (1)求双曲线离心率或离心率范围的方法:一种是直接建立e的关系式求e或e的范围;另一种是建立a,b,c的齐次关系式,将b用a,c表示,令两边同除以a或a2化为e的关系式,进而求解. (2)方程-=1与-=1,当a1+b1=a2+b2时焦距相等,当=时渐近 线相同. (3)双曲线-=1的渐近线方程为-=0.,2-1已知F是双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点,O是双曲线C的中 心,直线y=x是双曲线C的一条渐近线,以线段OF为边作正三角形 AOF,若点A在双曲线C上,则m的值为(),A.3+2B.3-2C.3+D.3- 答案A由题意知=,m=,A在双曲线上,

13、故-=1, 得m=3+2(舍负),故选A.,2-2已知P是双曲线-=1右支上任意一点,M是圆(x+5)2+y2=1上任 意一点,设P到双曲线的渐近线的距离为d,则d+|PM|的最小值为. 答案9 解析设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,根据题意可得d+|PM|d+ |PF1|-1=d+6+|PF2|-1=d+|PF2|+5,结合图象(图略)可知d+|PF2|的最小值为F2到渐近线的距离,因为F2到渐近线的距离为4,所以d+|PM|的最小值为9.,考点三直线与双曲线的位置关系 典例6已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0). (1)求该双曲线C的方程; (2)若直线l:y=kx+与双曲线C左支有两个不同的交点A,B,求k的取值范 围. 解析(1)由题意设双曲线方程为-=1(a0,b0).由已知得a=,c= 2,再由a2+b2=c2,得b2=1.故双曲线C的方程为-y2=1. (2)设A(xA,yA),B(xB,yB), 将y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0. 由题意知解得k1. k的取值范围为k1.,方法技巧 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的方法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的方程,当