高三数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用课件文.ppt

1、文数 课标版,第四节基本不等式及其应用,1.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件:a0,b0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时等号成立. (3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b,教材研读,的几何平均数.,2.几个重要的不等式 (1)a2+b22ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号. (2)ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号. (3)(a,bR),当且仅当a=b时取等号. (4)+2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.,3.利用基本不等式求最值 已知x0,y0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是2.(简记:积定和最小) (

2、2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是.(简记:和定积最大),判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)当a0,b0时,a+b2.(),(2)两个不等式a2+b22ab与成立的条件是相同的.() (3)(a+b)24ab(a,bR).() (4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.() (5)函数y=x+的最小值是2.() (6)x0且y0是+2的充要条件.(),1.下列不等式中正确的是() A.若aR,则a2+96a B.若a,bR,则2 C.若a,b0,则2lglg a+lg b D.若xR,则x2+1 答案Ca0,b0,. 2lg2lg=lg

3、ab=lg a+lg b.,2.设x0,y0,且x+y=18,则xy的最大值为() A.80B.77C.81D.82 答案Cx0,y0,x+y=18, 18=x+y2,即9, xy81.故xy的最大值为81.,3.已知x,y0且x+4y=1,则+的最小值为() A.8B.9C.10D.11 答案Bx+4y=1(x,y0),+=+=5+5+2 =5+4=9当且仅当x=2y=时,取等号.,4.已知f(x)=x+-2(x0),则f(x)有() A.最大值0B.最小值0 C.最大值-4D.最小值-4,答案Cx0,f(x)=-2-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=- 1时取等号.f(x)有最大值-4.

4、,5.已知x0, y=4x-2+=-+3-2+3=1, 当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立, 故当x=1时,ymax=1.,考点一利用基本不等式求最值 典例1(1)已知00,b0,a+b=1,则+的最小值为. (3)已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为. 答案(1)B(2)4(3)2-3,考点突破,解析(1)0b,b0,a+b=1, +=+=2+2+2=4, 即+的最小值为4, 当且仅当a=b=时等号成立. (3)因为xy+2x+y=4,所以x=.,由x=0, 得-20, 所以0y4,所以x+y=+y=+(y+2)-32-3, 当且仅当=y+2(0y4), 即y=-

5、2时取等号.,方法技巧 (1)利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:对条件使用基本不等式,建立相应的不等式求解.对条件变形,以进行“1”的代换,从而利用基本不等式求最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.,1-1已知函数y=x-4+(x-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于 () A.-3B.2C.3D.8 答案Cy=x-4+=x+1+-5,因为x-1,所以x+10,0,所以由 基本不等式,得y=x

6、+1+-52-5=1,当且仅当x+1=,即 x=2时取等号,所以a=2,b=1,则a+b=3.,1-2实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是. 答案6 解析利用基本不等式可得 3x+9y=3x+32y2=2. x+2y=2,3x+9y2=6,当且仅当3x=32y,即x=1,y=时取等号.,1-3设x-1,则函数y=的最小值为. 答案9 解析因为x-1,所以x+10, 所以y= =x+1+52+5=9, 当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立, 故函数y=的最小值为9.,考点二基本不等式的实际应用 典例2(1)某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800元,若每批生产x件,

7、则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用 为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品() A.60件B.80件C.100件D.120件 (2)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是() A.80元B.120元C.160元D.240元,答案(1)B(2)C 解析(1)设每批生产产品x件,则每件产品的生产准备费用是元,仓 储费用是元,总的费用是元,由基本不等式得+2 =20,当且仅当=,即x=80时取等号. (2)设底面相邻两边的长分别为x m,y m,总造价为

8、T元,则V=xy1=4xy=4. T=420+(2x+2y)110=80+20(x+y)80+202=80+204=160(当且 仅当x=y时取等号). 故该容器的最低总造价是160元.,易错警示 对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不等式求最值.,2-1某工厂去年某产品的年销售量为100万件,每件产品的销售价为10元,每件产品的固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万件,第n次投入后,每件产品的固定成本为g(n)=(

9、k0,k为 常数,nN),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元. (1)求k的值及f(n)的表达式; (2)若今年是第1年,则第几年的年利润最高?最高年利润为多少万元? 解析(1)当n=0时,由题意得k=8. 从而f(n)=(100+10n)-100n =1 000-80,nN.,(2)由(1)知f(n)=1 000-801 000-802=520, 当且仅当=,即n=8时取等号. 所以第8年的年利润最高,最高年利润为520万元.,考点三含参问题 典例3(1)已知不等式(x+y)9对任意的正实数x,y恒成立,则正 实数a的最小值为() A.2B.4C.6D.8 (2)设xy

10、z,且+(nN)恒成立,则n的最大值为() A.2B.3C.4D.5 答案(1)B(2)C 解析(1)(x+y)=1+a+1+a+2=(+1)2(x,y,a0),当且仅 当y=x时取等号,所以(x+y)的最小值为(+1)2,于是(+1)2,9恒成立.所以a4,故选B. (2)因为xyz,所以x-y0,y-z0,x-z0,不等式+恒成立等 价于n(x-z)恒成立.因为x-z=(x-y)+(y-z)2, +2,所以(x-z)22 =4(当且仅当x-y=y-z时等号成立), 则要使n(x-z)恒成立,只需使n4(nN),故n的最大值为 4.,1.在应用基本不等式求最值时,要把握三个条件,即“一正各项都是正数;二定和或积为定值;三相等等号能取得”,这三个条件缺一不可.,易错警示,2.若无明显“定值”,则常用配凑的方法,使和为定值或积为定值.当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法.,3-1已知a0,b0,若不等式+恒成立,则m的最大值为 () A.9B.12C.18