同济高等数学第六版上册第三章ppt

1、第三章 中值定理 应用 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广推广 微分中值定理 与导数的应用 目录上页下页返回结束 一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理 第一节 二、拉格朗日二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西 中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 目录上页下页返回结束 费马费马(fermat)引理引理 一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理 ,)( 0 有定义在xU 且 )( 0 x f 存在, )()( 0 xfxf )(或 0)(

2、 0 x f 证证: 设, )()(, )( 0000 xfxxfxUxx 则)( 0 x f x xfxxf x )()( lim 00 0 )0( x)( 0 xf )0( x)( 0 xf 0 0 0)( 0 xf )(xfy 费马 证毕 x y O 0 x 目录上页下页返回结束 罗尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理 )(xfy 满足: (1) 在区间 a , b 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) ,使. 0)(f 证证:，上连续在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则, ,

3、)(baxMxf 因此.0)(, ),(fba 在( a , b ) 内至少存在一点 x y ab )(xfy O 目录上页下页返回结束 若M m , 则M 和m中至少有一个与端点值不等, 不妨设, )(afM 则至少存在一点, ),(ba使 ,)(Mf. 0)(f 注意注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定 成立. 1,0 10, )( x xx xf 则由费马引理得 1 , 1 )( x xxf 1 ,0 )( x xxf x1 y O x1 y 1O x1 y O x y ab )(xfy O 不连续在 1 , 0不可导在) 1 , 0( ) 1 ()0(ff 例如, 目录上页

4、下页返回结束 使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 )(xfy 在 ( a, b) 内可导, 且 )(limxf ax )(limxf bx 在( a, b) 内至少存在一点,. 0)(f 证明提示证明提示: 设 证F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . )(xF axaf , )( bxaxf, )( bxbf , )( 目录上页下页返回结束 例例1. 证明方程015 5 xx , 15)( 5 xxxf . 3) 1 (, 1)0(ff , 0)( 0 xf , ) 1,0( 011 xxx ) 1(5)( 4 xxf),1,0(, 0 x 有且仅有一个小于1 的 正实根

5、. 证证: 1) 存在性 . 则 )(xf在 0 , 1 连续 , 且 由介值定理知存在 , ) 1 ,0( 0 x 使 即方程有小于 1 的正根. 0 x 2) 唯一性 . 假设另有, 0)( 1 xf使在以)(xf 10 , xx 为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在 10 , xx 至少存在一点, . 0)(f使 但矛盾, 故假设不真! 设 目录上页下页返回结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在区间 a, b 上连续 )(xfy 满足: (2) 在区间 ( a, b) 内可导 至少存在一点 , ),(ba 使 . )()( )( ab afbf f 思路思路:

6、 利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 ,)(x在a, b 上连续, 在(a, b)内可导, 且 证证: 问题转化为证 )(x)(xfx ab afbf )()( )(a 由罗尔定理知至少存在一点 , ),(ba,0)(使即定理结论成立 . , )(b ab bfaafb )()( 拉氏 0 )()( )( ab afbf f 证毕 x y ab )(xfy O xy ab afbf )()( 目录上页下页返回结束 ),(, )()( )(ba ab afbf f 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论推论: 若函数在区间I上满足,0)( xf则)(xf 在I

7、上必为常数. )(xf 证证: 在I上任取两点, )(, 2121 xxxx上用拉在, 21 xx 格朗日中值公式, 得 0)()( 12 xfxf)( 12 xxf)( 21 xx )()( 12 xfxf 由的任意性知, 21 ,xx)(xf在I上为常数. ) 10()( 0 xxxfy , 00 xxbxa 令则 目录上页下页返回结束 例例2. 证明等式 . 1, 1, 2 arccosarcsinxxx 证证: 设 ,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1( )(xf 由推论可知Cxxxfarccosarcsin)(常数) 令x = 0 , 得. 2 C 又, 2 )

8、1(f故所证等式在定义域上成立. 1, 1 自证自证:),(x, 2 cotarcarctanxx 2 1 1 x 2 1 1 x 0 经验经验: 欲证Ix时,)( 0 Cxf只需证在I上, 0)(xf , 0 Ix且.)( 00 Cxf使 目录上页下页返回结束 例例3. 证明不等式 证证: 设 , )1ln()(ttf 上满足拉格朗日在则,0)(xtf 中值定理条件, 即 因为 故 . )0()1ln( 1 xxx x x )0()(fxf )1ln(xx x 0, 1 1 x x x 1 x )0()1ln( 1 xxx x x xxf0, )0)( 因此应有 目录上页下页返回结束 三、柯

9、西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 0)()( )()( )()( fF aFbF afbf )( 分析分析: )(xf及 (1) 在闭区间 a , b 上连续 (2) 在开区间( a , b ) 内可导 (3)在开区间( a , b ) 内 至少存在一点 , ),(ba 使 . )( )( )()( )()( F f aFbF afbf 满足:)(xF 0)( x F )()(aFbF)(abFba0 问题转化为证 )()( )()( )()( )(xfxF aFbF afbf x 柯西 构造辅助函数构造辅助函数 目录上页下页返回结束 证证: 作辅助函数 )()( )()( )()(

10、 )(xfxF aFbF afbf x )( )()( )()()()( )(b aFbF bFafaFbf a ,),(,)(内可导在上连续在则babax且 , ),(ba使, 0)( 即由罗尔定理知, 至少存在一点 . )( )( )()( )()( F f aFbF afbf 思考思考: 柯西定理的下述证法对吗? ),(, )()()(baabfafbf ),(, )()()(baabFaFbF 两个不 一定相同 错!错! 上面两式相比即得结论. 目录上页下页返回结束 柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义: )( )( )()( )()( F f aFbF afbf )(F)(aF )(

11、 )( tfy tFx )(af )(bF )(bf )( )( d d tF tf x y 注意: 弦的斜率切线斜率 x y O 目录上页下页返回结束 )0() 1 (ff )0() 1 (FF 例例4. 设 ).0() 1 (2)(fff 2 )( 01 )0() 1 (fff x x xf )( )( 2 ,)( 2 xxF ,) 1 ,0(, 1 ,0)(内可导在上连续在xf 至少存在一点),1,0(使 证证: 问题转化为证 设则 )(, )(xFxf在0, 1 上满足柯西中值 定理条件, 因此在( 0 , 1 ) 内至少存在一点,使 )( f )( F 012 即 )0() 1 (2

12、)(fff 证明 目录上页下页返回结束 1 1 lncos 1lnlne 1lnsinlnesin )e , 1(, )( )( ) 1 (e) ) 1 (e) F f FF ff 例例5. 试证至少存在一点)e , 1(使.lncos1sin lncos1sin 证证: 法法1 用柯西中值定理. xxFxxfln)(,lnsin)( 则f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令 因此 1 1 lncos lncos1sin即 分析分析: 目录上页下页返回结束 例例5. 试证至少存在一点)e , 1(使.lncos1sin 法法2 令xxflnsin)( 则f (x

13、) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件, ,e), 1 (使 0)(f xlncos )(xf1sin x 1 lncos1sin 因此存在 x 1 xln1sin 目录上页下页返回结束 内容小结内容小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 )()(afbf xxF)( )()(afbf xxF)( 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 关键关键: 利用逆向思维 设辅助函数 费马引理 目录上页下页返回结束 44 12 3 4 12 思考与练习思考与练习 1. 填空题填空题 1) 函数 4

14、 )(xxf在区间1, 2 上满足拉格朗日定理 条件, 则中值._ 2) 设 有个根, 它们分别在区间 3 4 15 3 0)(xf )4, 3(, )2, 1 (, )3,2(上. , )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程 目录上页下页返回结束 2. 设 ,0)(Cxf 且在),0(内可导, 证明至少存 在一点, ),0(使.cot)()(ff 提示提示: 由结论可知, 只需证 0cos)(sin)(ff 即0sin)( x xxf 验证)(xF在,0 上满足罗尔定理条件. 设xxfxFsin)()( 目录上页下页返回结束 3. 若 )(xf 可导, 试证在其两个零点间一定有 )()

15、(xfxf的零点. 提示提示: 设,0)()( 2121 xxxfxf 欲证:, ),( 21 xx使0)()(ff 只要证0)()(ff e e 亦即 0 )(e x x xf 作辅助函数, )(e)(xfxF x 验证)(xF在, 21 xx上满足 罗尔定理条件. 目录上页下页返回结束 4. 思考: 在 0,0 0,sin )( 1 2 x xx xf x,0 x ),0(, )0)()0()(xxffxf 即 x x 1 2 sin 1 sin2(,)cos 1 x ),0(x x x 111 sinsin2cos 当,0 0 x时 . 0cos 1 问问是否可由此得出?0coslim

16、1 0 x x 不能不能 !因为 )(x 是依赖于x的一个特殊的函数. 因此由上式得 表示x从右侧以任意方式趋于0 . 0 x 应用拉格朗日中值定理得 上对函数 目录上页下页返回结束 备用题备用题 求证存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使 1. 设 1 , 0可导，且 ,0) 1 (f 在连续，) 1 ,0( )(xf 证证: 设辅助函数)()(xfxx n , ) 1 ,0(因此至少存在 显然)(x在上满足罗尔定理条件, 1 , 0 )( 即0)()(ffn 使得 )()( 1 ffn nn 0 目录上页下页返回结束 0)0(,0)( fxf 设 证明对任意0, 0 21 xx有 )

17、()()( 2121 xfxfxxf 证证： 21 0 xx )()()( 1221 xfxfxxf 12) (xf 0)( 121 fx )()()( 2121 xfxfxxf ,( 2122 xxx 2. 不妨设 )0()()()( 1221 fxfxfxxf )( 21 )0 11 x 11) (xf 目录上页下页返回结束 三、其他未定式 二、 三、其他未定式 二、 型未定式 一、型未定式 型未定式 一、型未定式 0 0 第二节 洛必达法则 第三三章 目录上页下页返回结束 )( )( lim xg xf 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 0 0

18、( 或型) )( )( lim xg xf 本节研究本节研究: 洛必达法则洛必达法则 洛必达 目录上页下页返回结束 一、一、 0)(lim)(lim) 1 xFxf axax )( )( lim)3 xF xf ax 存在(或为) )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf axax ,)()()()2内可导在与aUxFxf 0)(xF且 定理定理 1. 型未定式型未定式 0 0 (洛必达法则) 目录上页下页返回结束 ( 在x , a之间) 证证: 无妨假设, 0)()(aFaf在指出的邻域内任取 ,ax 则)(, )(xFxf 在以x, a 为端点的区间上满足柯 0)(l

19、im)(lim) 1 xFxf axax 故 )()( )()( )( )( aFxF afxf xF xf )( )( F f )( )( lim xF xf ax )( )( lim F f ax )( )( lim xF xf ax )3 定理条件定理条件: 西定理条件, )( )( lim)3 xF xf ax 存在(或为) ,)()()()2内可导在与aUxFxf 0)(xF且 目录上页下页返回结束 推论推论1. 定理1 中ax 换为下列过程之一: , ax, ax,xx 推论推论 2. 若 )( )( lim xF xf 满足定且型仍属)(, )(, 0 0 xFxf 理1条件,

20、则 )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf )( )( lim xF xf 条件2) 作相应的修改, 定理1 仍然成立. ,x )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf axax 洛必达法则 定理1 目录上页下页返回结束 例例1. 求. 1 23 lim 23 3 1 xxx xx x 解解: 原式 型 0 0 2 3 注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则! 26 6 lim 1x x x 1 6 6 lim 1 x 33 2 x 123 2 xx lim 1 x 洛洛 26 6 lim 1 x x x 洛洛 目录上页下页返回结束 例例2. 求.

21、 arctan lim 1 2 x x x 解解: 原式 x lim 型 0 0 2 2 1 lim x x x 1 2 1 1 x 2 1 x 1 1 lim 2 1 x x 思考思考: 如何求 n n n 1 2 arctan lim ( n为正整数) ? 型 洛洛 目录上页下页返回结束 二、二、 型未定式型未定式 )(lim)(lim) 1xFxf axax )( )( lim)3 xF xf ax 存在(或为) )( )( lim xF xf ax 定理定理 2. )( )( lim xF xf ax (洛必达法则) ,)()()()2内可导在与aUxFxf 0)(xF且 目录上页下页

22、返回结束 说明说明: 定理中ax 换为 之一,条件2) 作相应的修改, 定理仍然成立. , ax, ax,x x,x 定理2 目录上页下页返回结束 例例3. 求. )0( ln lim n x x n x 解解: 原式 1 1 lim n x x xn n x xn 1 lim 0 例例4. 求求 解解:(1) n为正整数的情形. 原式 0 x n x xn e lim 1 x n x xnn e ) 1( lim 2 2 . )0( e lim , 0n x x n x 型 型 洛洛 xn x n e ! lim 洛洛洛洛 目录上页下页返回结束 例例4. 求. )0( e lim , 0n

23、x x n x (2) n不为正整数的情形. n x 从而 x n x e x k x e x k x e 1 由(1) 0 e lim e lim 1 x k x x k x xx 0 e lim x n x x 用夹逼准则 k x 1 k x 存在正整数k , 使当x 1时, 目录上页下页返回结束 例4. )0(0 e lim , 0n x x n x . )0(0 ln lim n x x n x 例3. 说明说明: 1) 例3 , 例4 表明x时, ,lnx 后者比前者趋于 更快. 例如, x x x 2 1 lim 2 1 lim x x x x x x 2 1 lim 事实上 x

24、x x 2 1 lim 1 1 lim 2 x x 1 )0(e x , )0( nx n 用洛必达法则 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题. 目录上页下页返回结束 3) 若,)( )( )( lim时不存在 xF xf . )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf 例如例如, x xx x sin lim 1 cos1 lim x x ) sin 1 (lim x x x 1 极限不存在 不能用洛必达法则! 即 目录上页下页返回结束 三、其他未定式三、其他未定式:,0,00,1型 0 解决方法解决方法: 通分 转化转化 0 0 0 取倒数 转化

25、转化 0 0 1 0 取对数 转化转化 例例5. 求).0(lnlim 0 nxx n x 型0 解解: 原式 n xx x ln lim 0 1 1 0 lim n x xxn 0)(lim 0 n x n x 洛洛 目录上页下页返回结束 型. )tan(seclim 2 xx x 解解: 原式) cos sin cos 1 (lim 2 x x xx x x xcos sin1 lim 2 x x xsin cos lim 2 0 例例6. 求 通分 转化转化 0 0 0 取倒数 转化转化 0 0 1 0 取对数 转化转化 洛洛 目录上页下页返回结束 例例7. 求.lim 0 x x x

26、型 0 0 解解: x x x 0 lim xx x ln 0 elim 0 e1 利用 例利用 例5 例5 通分 转化转化 0 0 0 取倒数 转化转化 0 0 1 0 取对数 转化转化 目录上页下页返回结束 例例8. 求 . sin tan lim 2 0 xx xx x 解解: 注意到xxsin 原式 3 0 tan lim x xx x 2 2 0 3 1sec lim x x x 2 2 0 3 tan lim x x x xx 22 tan1sec 3 1 型 0 0 洛洛 目录上页下页返回结束 例例3 n n 1 n n ln 1 e1 例例9. 求 . ) 1(lim n n

27、nn 2 1 1 1 lim x x x x 原式 法法1. 直接用洛必达法则. 型0 下一步计算很繁! 2 1 lim n n 法法2. 利用例3结果. ) 1(lim 1 2 1 n nn n 1e ln 1 n n 2 1 lim n n n n ln 1 2 1 ln lim n n n 0 u u 1e 原式 例3 例例3 目录上页下页返回结束 内容小结内容小结 洛必达法则洛必达法则 型 00 ,1 ,0 型型0 型 0 0 型 g f gf 1 fg fg gf 11 11 fgg f ln e 目录上页下页返回结束 分析分析: 2 0 3 cos1 lim x x x 3 0 l

28、im x x 3. xx x x 1 sin 1 cotlim 0 原式 xsin x 1coslim 0 x xxxsin 2 2 2 1 03 lim x x x xcos1 2 2 1 x 6 1 6 1 xx xxx x 2 0 sin )sin(cos lim 洛洛 目录上页下页返回结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 应用目的用多项式近似表示函数. 理论分析 近似计算 泰勒公式 第三三章 目录上页下页返回结束 公式 称为的n阶泰勒公式阶泰勒公式. )(xf 公式 称

29、为n阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项. 泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理 : 内具有的某开区间在包含若),()( 0 baxxf 1n直到 阶的导数,),(bax时, 有 )(xf)( 0 xf)( 00 xxxf 2 0 0 )( !2 )( xx xf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( )(xRn 其中 1 0 )1( )( ! ) 1( )( )( n n n xx n f xR 则当 ) 0 (之间与在xx 泰勒 目录上页下页返回结束 公式 称为n阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano)余项余项. 在不需要余项的精确表达式时, 泰勒公式可写为 )(xf)(

30、 0 xf)( 00 xxxf 2 0 0 )( !2 )( xx xf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( )( 0 n xxo )()( 0 n n xxoxR注意到 *可以证明: 阶的导数有直到在点nxxf 0 )( 式成立 目录上页下页返回结束 特例特例: (1) 当n= 0时, 泰勒公式变为 )(xf)( 0 xf)( 0 xxf (2) 当n= 1时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 )(xf)( 0 xf)( 00 xxxf 2 0) ( !2 )( xx f 可见 )(xf)( 0 xf)( 00 xxxf 2 01 )( !2 )( )(xx f xR

31、误差 )(xf)( 0 xf)( 00 xxxf 1 0 ) 1( )( ! ) 1( )( n n xx n f 2 0 0 )( !2 )( xx xf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( fd ) 0 (之间与在xx ) 0 (之间与在xx ) 0 (之间与在xx ) 0 (之间与在xx 目录上页下页返回结束 称为麦克劳林麦克劳林( Maclaurin)公式公式 . , 0 0 x则有 )(xf)0(fxf)0( 1 ) 1( ! ) 1( )( n n x n xf 2 !2 )0( x f n n x n f ! )0( )( 在泰勒公式中若取 )(xf)( 0 x

32、f)( 00 xxxf 1 0 ) 1( )( ! ) 1( )( n n xx n f 2 0 0 )( !2 )( xx xf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( ) 0 (之间与在xx )(xf)0(fxf)0( ,)( ) 1( Mxf n 则有误差估计式 1 ! ) 1( )( n n x n M xR 2 !2 )0( x f n n x n f ! )0( )( 若在公式成立的区间上 麦克劳林 由此得近似公式 , ) 10(x记 目录上页下页返回结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 x xfe)() 1 ( ,e)( )(xk xf

33、 ),2, 1(1)0( )( kf k x e1x !3 3 x !n x n )(xRn !2 2 x 其中)(xRn !) 1(n ) 10( 1n x x e )(xf)0(fxf)0 ( 1 ) 1( ! ) 1( )( n n x n xf 2 !2 )0( x f n n x n f ! )0( )( 麦克劳林公式麦克劳林公式 ) 10( 目录上页下页返回结束 )sin( 2 12 m x )cos() 1(x m )sin(x xxfsin)()2( )( )( xf k xsinx !3 3 x !5 5 x ! ) 12( 12 m x m )( 2 xR m 其中)( 2

34、 xR m 2 k 2 sin)0( )( kf k mk2,0 12mk,) 1( 1 m ),2, 1(m 1 ) 1( m ) 10( 12m x !) 12(m )(xf)0(fxf)0( 1 ) 1( ! ) 1( )( n n x n xf 2 !2 )0( x f n n x n f ! )0( )( ) 10( 麦克劳林公式麦克劳林公式 目录上页下页返回结束 麦克劳林公式麦克劳林公式 ! )2( 2 m x m xxfcos)()3( 类似可得 xcos1 !2 2 x !4 4 x )( 12 xR m 其中 )( 12 xR m ! )22(m )cos() 1( 1 x

35、m ) 10( m ) 1( 22m x )(xf)0(fxf)0( 1 ) 1( ! ) 1( )( n n x n xf 2 !2 )0( x f n n x n f ! )0( )( ) 10( 目录上页下页返回结束 ) 1(,)1 ()()4(xxxf )( )( xf k )1 (x1x 2 x n x)(xRn 其中)(xRn 11 )1 ( ! ) 1( )() 1( nn xx n n ) 10( k xk )1)(1() 1( ) 1() 1()0( )( kf k ),2, 1(k !2 ) 1( ! n ) 1() 1(n )(xf)0(fxf)0( 1 ) 1( ! )

36、 1( )( n n x n xf 2 !2 )0( x f n n x n f ! )0( )( ) 10( 麦克劳林公式麦克劳林公式 目录上页下页返回结束 ) 1()1ln()()5(xxxf 已知 )1ln(xx 2 2 x 3 3 x n x n )(xRn 其中)(xRn 1 1 )1 (1 ) 1( n nn x x n ) 10( 1 ) 1( n 因此可得 )( )( xf k k k x k )1 ( ! ) 1( ) 1( 1 ),2, 1(k )(xf)0(fxf)0( 1 ) 1( ! ) 1( )( n n x n xf 2 !2 )0( x f n n x n f

37、! )0( )( ) 10( 麦克劳林公式麦克劳林公式 目录上页下页返回结束 内容小结内容小结 1. 泰勒公式泰勒公式 其中余项 )( 0 n xxo 当0 0 x时为麦克劳林公式麦克劳林公式 . )(xf)( 0 xf)( 00 xxxf 2 0 0 )( !2 )( xx xf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( )(xRn 1 0 )1( )( ! ) 1( )( )( n n n xx n f xR ) 0 (之间与在xx 目录上页下页返回结束 2. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式( P142 P144 ) ,e x , )1ln(x,sinx,cosx

38、 )1 (x 例如 目录上页下页返回结束 第四节 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三三章 目录上页下页返回结束 一、 函数单调性的判定法一、 函数单调性的判定法 若定理定理 1. 设函数)(xf0)( x f 则在I内单调递增)(xf, )0)( x f (递减) . 证证: 无妨设,0)(Ixxf 任取)(, 2121 xxIxx 由拉格朗日中值定理得 )()()( 1212 xxfxfxf ),( 21 xxI 0 故. )()( 21 xfxf 这说明在I内单调递增.)(xf 在开区间I内可导,

39、证毕 目录上页下页返回结束 例例1. 确定函数31292)( 23 xxxxf的单调区间. 解解:12186)( 2 xxxf)2)(1(6xx 令,0)( x f得2, 1xx x )(xf )(xf ) 1,( 2 00 1)2,1 (),2( 21 故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2( )(xf 的单调减单调减区间为).2,1 ( 1 2 xO y 12 目录上页下页返回结束 y xO 说明说明: 1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,),(, 32 xxy 3 3 2 x y 0 x y 32 xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变

40、函数的单调性. 例如,),(, 3 xxy 2 3xy 0 0 x y y Ox 3 xy 目录上页下页返回结束 例例2. 证明 2 0 x时, 成立不等式. 2sin x x 证证: 令, 2sin )( x x xf , 2 ,0()(上连续在则xf，上可导在) 2 ,0( 2 sincos )( x xxx xf )tan( cos 2 xx x x 1 xtan x 0 ,) 2 ,0()(内单调递减在因此xf 从而 2 ,0(, 2sin x x x 0) 2 ()( fxf , 2 )(处左连续在又xf因此 且 证证 证明 目录上页下页返回结束 * 证明0tanxx 令,tan)(

41、xxx则 xx 2 sec1)( x 2 tan),0(,0 2 x ,),0()( 2 上递减在x从而 0)0()(x 即),0(,0tan 2 xxx 目录上页下页返回结束 A B 定义定义 . 设函数)(xf在区间I上连续, 21 Ixx (1) 若恒有, 2 )()( ) 2 ( 2121 xfxfxx f 则称 的)(xf 图形是凹凹的; (2) 若恒有, 2 )()( ) 2 ( 2121 xfxfxx f 则称的)(xf 图形是凸凸的. 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点 y O x 2 x 1 x 2 21 xx y Ox 2 x 1 x 2 21 xx 连续曲线上有切线

42、的凹凸分界点 称为拐点拐点. y O x 拐点 目录上页下页返回结束 定理定理2.(凹凸判定法) )(xf (1) 在I 内 ,0)( x f 则f (x) 在I内图形是凹的; (2) 在I 内,0)( x f 则f (x) 在I内图形是凸的. 证证:, 21 Ixx利用一阶泰勒公式可得 )()( 1 fxf )()( 2 fxf 两式相加 2 2!2 1 )( 12 xx )()( 21 ff ,0)(时当 x f 说明(1) 成立; (2) 设函数在区间I 上有二阶导数 证毕 , 2 21 xx 记 )( f )( 1 x )(f)( 2 x !2 )( 2 f 2 2 )(x !2 )(

43、 1 f 2 1 )(x )(2)()( 21 fxfxf ),( 2 )()( 21 f xfxf 目录上页下页返回结束 x y O 例例3. 判断曲线 4 xy 的凹凸性. 解解:,4 3 xy 2 12xy 时，当0 x;0 y ,0时x, 0 y 故曲线 4 xy 在 ),(上是向上凹的. 说明说明: 1) 若在某点二阶导数为0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线)(xfy , 0 连续在点x0)( 0 x f或不存在, 但)(x f 在两侧异号异号, 0 x 则点 )(,( 00 xfx 是曲线 )(xfy 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变. 在其两

44、侧二阶导数不变号, 目录上页下页返回结束 例例4. 求曲线 3 xy 的拐点. 解解:, 3 2 3 1 xy 3 5 9 2 xy x y y 0)0,( ),0( 不存在 0 因此点( 0 , 0 )为曲线 3 xy 的拐点. Ox y 凹凸 目录上页下页返回结束 xxy2436 2 )(36 3 2 xx 对应 27 11 21 ,1yy 例例5. 求曲线143 34 xxy的凹凸区间及拐点. 解解: 1) 求y ,1212 23 xxy 2) 求拐点可疑点坐标 令 0 y得,0 3 2 21 xx 3) 列表判别 )0,( ),0( 3 2 ),( 3 2 y x y 0 3 2 00

45、 1 27 11 故该曲线在 )0,( ),( 3 2 及上向上凹, 向上凸,点( 0 , 1 )及 ),( 27 11 3 2 均为拐点. 上在),0( 3 2 凹 凹 凸 3 2 ) 1 , 0( ),( 27 11 3 2 x y O 目录上页下页返回结束 内容小结内容小结 1. 可导函数单调性判别 Ixxf,0)()(xf在I上单调递增 Ixxf,0)()(xf在I上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 Ixxf ,0)( 上向上凹在 曲线 I xfy)( Ixxf ,0)( + 上向上凸在 曲线 I xfy)( 拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点 目录上页下页返回结束 二、最大值与最小

46、值问题最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 第五节 函数的极值与 最大值最小值 第三三章 目录上页下页返回结束 定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf, ),( 0 bax ，的一个邻域若存在 0 x在其中当 0 xx 时, , )()( 0 xfxf(1) 则称为的极大值点极大值点, 0 x)(xf 称为函数的极大值极大值;)( 0 xf , )()( 0 xfxf(2) 则称为的极小值点极小值点, 0 x)(xf 称为函数的极小值极小值.)( 0 xf 极大值点与极小值点统称为极值点极值点. 一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 目录上页下页返回结束 注

47、意注意: 3 x 1 x 4 x 2 x 5 xOxa b y 41 ,xx 为极大值点 52 ,xx 为极小值点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为0或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. 31292)( 23 xxxxf例如例如, 1x为极大值点, 2) 1 (f是极大值 1)2(f 是极小值 2x 为极小值点, 函数 1 2 xO y 12 目录上页下页返回结束 定理定理 1(极值第一判别法极值第一判别法) ,)( 0 的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域 内有导数, 0时 由小到大通过当xx (1) )(xf“左左正正右右负负” , ;)(

48、0 取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” , .)( 0 取极大值在则xxf (自证) 点击图中任意处动画播放暂停 目录上页下页返回结束 例例1. 求函数求函数 3 2 ) 1()(xxxf的极值. 解解:1) 求导数 3 2 )(xxf 3 1 3 2 ) 1( xx 3 5 2 3 5 x x 2) 求极值可疑点 令,0)( x f得; 5 2 1 x 令,)( x f得0 2 x 3) 列表判别 x )(x f )(xf 0 5 2 0 033. 0 )0,(),0( 5 2 ),( 5 2 0 x是极大值点， 其极大值为0)0(f 是极小值点， 其极小值为 5 2

49、x33. 0)( 5 2 f 目录上页下页返回结束 定理定理2 (极值第二判别法极值第二判别法) 二阶导数, 且 处具有在点设函数 0 )(xxf ,0)( 0 x f0)( 0 x f ,0)() 1 ( 0 xf若则在点取极大值;)(xf 0 x ,0)()2( 0 xf若则在点取极小值.)(xf 0 x 证证: (1)( 0 xf 0 0) ()( lim 0 xx xfxf xx 0 )( lim 0 xx xf xx ,0)( 0 知由 xf存在 ,0,0 0 时当xx0 )( 0 xx xf 时，故当 00 xxx;0)( xf 时，当 00 xxx,0)( xf 0 x 0 x

50、0 x 由第一判别法知 .)( 0 取极大值在xxf (2) 类似可证. 目录上页下页返回结束 特别特别: 当在内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当在上单调单调时,)(xf ,ba 最值必在端点处达到. 若在此点取极大值, 则也是最大值. (小) 对应用问题, 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大 值点或最小值点. (小) 目录上页下页返回结束 )1292( 2 xx 1224)9( 2 09681 01292 2 xx )(xxf 0 4 1 x 2 5 0 x 0 4 1 x 2 5 0 x 例例3. 求函数xxxxf1292)( 23 在闭区间, 2 5 4 1 上的最大

51、值和最小值. 解解: 显然, ,)( 2 5 4 1 Cxf 且 )(xf , )1292( 23 xxx ,1292 23 xxx )(xf 12186 2 xx 12186 2 xx 内有极值可疑点在,)( 2 5 4 1 xf2, 1,0 321 xxx ,3)( 32 19 4 1 f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f 5)( 2 5 f 故函数在0 x取最小值0 ; 在 1x及 2 5 取最大值5. , )2)(1(6xx , )2)(1(6xx 4 1 2 5 12 x y O 目录上页下页返回结束 最值点应在极值点和边界点上找; 应用题可根据问题的实际意义判别. 思考与练习思考与练习 2. 连续函数的最值 1. 设, 1 )( )()( lim 2 ax afxf ax 则在点a处( ). )()(xfA的导数存在,；且0)(af )()(xfB取得极大值; )()(xfC 取得极小值; )()(xfD的导数不存在. B 提示提示: 利用极限的保号性 目录上页下页返回结束 2. 设)(xf在0 x的某邻域内连续, 且,0)0(f ,2 cos1 )( lim 0 x xf x 则在点0 x处).()(xf (A) 不可导; (B)