第八章第二节

1、第二节空间几何体的表面积与体积,知识点一 空间几何体的侧面积和表面积,1.简单几何体的侧面展开图的形状,2.多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和. 3.旋转体的侧面积和表面积 若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则 S侧2rl，S表2r22rl_. 若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则 S侧rl，S表r2rl_. 若圆台的上下底面半径分别为r，r，则 S侧_， S表_. 若球的半径为R，则它的表面积S_.,2r(rl),r(rl),(rr)l,r2r2(rr)l,4R2,知识点二 空间几何体的体积,【名师助学】,可

2、见柱体、锥体的体积公式是台体体积公式的特例.,2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.,方法1 几何体的表面积,(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面

3、，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.,【例1】 一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，其中有一个高为x cm的内接圆柱. (1) 求圆锥的侧面积； (2)当x为何值时，圆柱侧面积最大？并求出最大值. 解题指导,点评解(1)的关键是画出几何体的轴截面；解(2)的关键是用x表示圆柱的底面半径，利用基本不等式求最值.,方法2 几何体的体积,求几何体体积的类型及思路 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积转换法和割补法进行求解.其中，等积转换法多用来求锥体的

4、体积. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.,【例2】 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(),解题指导(1)已知：几何体的三个视图及正视图中各段长度. (2)分析：由正视图与侧视图知，几何体为四棱柱上面放一球，由俯视图知，四棱柱为正四棱柱，由已知数量关系知，球的直径为3，正四棱柱高为2，底面边长为3.,答案B,点评解决本题的关键是将三视图还原为几何体.利用三视图中的线段长度求出几何体的体积.,方法3 几何体的展开与折叠问题,(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变. (2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题.,解题指导(1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MNNP最短在展开图上呈现怎样的形式；(3)三棱锥以谁做底好.,点评 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题. (2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上. 如果是圆柱、圆锥则可沿母