1.3.2函数的极值与导数(上课).ppt

1、,1.3.2 函数的极值与导数,单调性与导数的关系：,设函数y=f(x)在某个区间内可导，,如果f (x)0，则f(x)为增函数；,如果f (x)0，则f(x)为减函数；,如果f (x)=0，则f(x)为常数函数；,复习:,观察图像：,函数的极值定义,使函数取得极值的点x0称为极值点,（3）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小.,注意：,（1）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值;,（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间 内可能有多个极大值和极小值；,观察与思考：极值与导数有何关系？,对于可导函数, 若x0是极值点,则 f(x0)=0; 反之,

2、若f(x0)=0,则x0不一定是极值点.,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x) 0,如何判断f (x0)是极大值或是极小值？,左正右负为极大，右正左负为极小,若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?,思考,探索: x =0是否为函数f(x)=x3 的极值点?,f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.,f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0 注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,练习1,下图

3、是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.,a,b,x,y,x1,O,x2,x3,x4,x5,x6,因为 所以,例1 求函数 的极值.,解:,令 解得 或,当 , 即 , 或 ; 当 , 即 .,当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:,+,+,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极大值 ;,当 x = 2 时, f (x)有极小值 .,例题选讲:,解:,令 ,解得x1=-2,x2=2.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值= ; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值= .,例1 求函数 的极

4、值.,例题1的图像,-2,o,x,y,2,+,-,-,+,f(x)= x3-4x+4,求可导函数f(x)极值的 步骤：,(2)求导数f (x)；,(3)求方程f (x）=0的根；,(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格,检查f (x)在方程根左右的符号 如果左正右负（+ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；,如果左负右正（- +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；,(1) 确定函数的定义域；,注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,练习1.判断下

5、面4个命题，其中是真命题序号为 。 可导函数必有极值； 可导函数在极值点的导数一定等于零； 函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）； 函数的极小值（或极大值）不会多于一个。,练习2,求下列函数的极值:,解:,令 解得 列表:,+,递增,递减,所以, 当 时, f (x)有极小值,练习2,求下列函数的极值:,解:,解得 列表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ;,当 x = 3 时, f (x)有极小值 54 .,练习2,求下列函数的极值:,解:,解得,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极小值 10 ;,当 x

6、 = 2 时, f (x)有极大值 22 .,解得,所以, 当 x = 1 时, f (x)有极小值 2 ;,当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .,例题2.(2006年北京卷)已知函数,在点 处取得极大值5,其导函数 的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）, 求：（1） 的值；（2）a,b,c的值；,.,(1)由图像可知：,(2),注意：数形结合以及函数与方程思想的应用,课外练习: 1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为 .,(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4,练习,下图是导函数 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处,(1)导函数 有极大值? (2)导函数 有极小值? (3)函数 有极大值? (4)函数 有极小值?,或,2、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y