第六章 刚架结构的有限单元法.ppt

1、在工程中，刚架应用很广，特别是在机械工程领域，结构件的使用日益广泛。如机械的底座、起重运输机械的大梁和动臂、挖掘机的平台、钻机的钻架、矿井提升机的井架、汽车的车架和底盘等，都是由结构件组成。桥梁和建筑工业中金属构件的应用更加普遍。 过去，用结构力学计算这些构件，由于结构受力情况复杂，以及超静定次数较高而使计算工作量大，特别是要做精确计算，困难更大，不得不做某些简化而使计算结果比较粗糙。由于电子算机的发展和有限单元法的应用，以前认为不易分析的复杂结构，现在已成为不难解决的问题了。,第六章 刚架结构的有限单元法,刚架系统的有限元法和结构力学中的经典位移法比较，并没有很大区别，只是在有限元法中，对所

2、研究对象“基本结构”的选取有所不同。结构力学往往把整个结构或很大一部分结构作为解题对象，而有限元法是把刚架结构的构件交叉点、边界点、集中力作用点，甚至构件的任意截面处都可作为结点，而两结点之间的一段构件均做为一个单元，也就是说，有限元法是用单元代替了结构力学中经典位移法的“基本结构”。,如刚架结构每个构件横截面主惯性轴之一和刚架所承受的载荷都在同一个平面内，则称这种刚架结构为平面刚架。 在平面刚架中任取一般结点为i , j的单元，由于此单元可以有轴向位移、横向位移、转角，其变形与梁的变形相同，故亦称为梁单元。,6-1 平面刚架结构的梁单元分析,一平面梁单元的位移模式,选取右手坐标系ixyz作为

3、局部坐标系，且使x轴与梁单元的轴线重合，而使y轴和z轴为梁横截面的主惯性轴方向。由于平面刚架结构所受外载荷都作用在xiy平面内。故梁单元处于轴向拉压和平面弯曲的组合变形状态（因单元两端刚性联接）。结点i和j在局部坐标下所受的结点力（梁元端点内力；其中包括中间载荷产生的梁元端点内力）为轴向力 和 ；剪力 和 ；弯矩 和 ；与这些结点力相对应的结点位移分量分别为 ，,当这些结点力与结点位移都取为正方向时，就可以把单元ij的这些结点位移和结点力分别组成单元的结点位移向量 和结点载荷向量 。,(6-1),(6-2),由于平面梁单元只受平面内的载荷，在小变形情况下，它的总变形可分成轴向拉压和平面纯弯曲两

4、种各自独立的变形状态，然后互相叠加。因此，根据材料力学可把平面梁单元的轴向位移模式取为x的线性函数，把其y向位移模式（挠度）取为x的三次多项式函数。,式中,为待定常数。,(6-3),也可把式(6-3)写成矩阵形式：,式中,；,；,；,(6-4),如果把梁单元两结点ij的轴向位移写成 ，而把挠度和转角写成 ，再把梁单元ij结点的x坐标代,则可求得,(6-5),入式(6-4)，并考虑,故有,(6-6),由(6-5)、(6-6)求得：,式中逆阵,(6-7),将式(6-7)代入式(6-4)得：,式中 Nu 是梁单元受轴向拉（压）载荷的形函数矩阵。,(6-8), Nv 是梁单元受纯弯曲载荷的形函数矩阵。

5、,根据 排列顺序，将 扩展成 ，,将 扩展成 ；再将,，将 扩展成,。这样，就可以把(6-8)式的两个式子合并成,扩展成,式中 N 是梁单元的形态矩阵，式(6-9)就是梁单元在局部坐标下的位移插函数式。,由于平面梁单元上任一点的变形是由轴向拉（压）变形和纯弯曲变形相叠加而成，而且两种变形是各自独立的。因此，根据线性理论，它的应变也可以分成两部分：,为弯曲应变。如果略去平面梁单元的剪切应变（当梁高小于梁长的1/5时，剪切应变影响很小），则 ；根据梁的弯曲理论，可写出其弯曲应变公式 。因此，梁单元在局部坐标下因梁单元端点力和梁单元端点内力所引起的总应变 为,(6-10),为轴向拉（压）应变，,二平

6、面梁单元的应变与应力,将式(6-9)代入式(6-10)得,式中 B 为平面梁单元的应变矩阵,(6-12),(6-11),根据虎克定律，则有,式中 为轴向拉（压）应力 ；为梁单元因纯弯曲产生的应力；E为材料的弹性模量。,(6-13),假想平面梁单元内各点在局部坐标下均产生虚位移 ，则由式（6-9）可写出：,式中 是梁单元各结点处的虚位移。由式（6-11）可求得梁单元的虚应变：,根据弹性体的虚功原理，梁单元内的应力在虚应变上的虚变形能应等于单元等效结点载荷在结点虚位移上所做的虚功：,三平面梁单元的单元刚度矩阵,从上式两端消去 得,式(6-14)即是平面梁单元在局部坐标下的单元刚度方程式 如令,(6

7、-15),即是平面梁单元在局部坐标下的单元刚度矩阵。,(6-14),将式(6-12)代入式(6-15)，展开矩阵乘积 B T B ，并对其进行逐项积分，dx的积分上下限为零到l，且有 （A是梁单元的横截面面积）； （Jz是梁单元的横截面对z轴的惯性矩；可得到平面梁单元的单元刚度矩阵的显式（局部坐标下的）：,实际上，式(6-16)是平面桁架的杆单元刚度矩阵与纯弯曲梁单元刚度矩阵相叠加。 对于平面桁架结构，(6-16)式蜕化成,(6-16),如同材料力学和结构力学中所研究的梁那样，当梁的横截面高度小于梁长的1/5时，梁受横向载荷作用所产生的挠度，受剪切应变影响很小；否则，应计入剪切应变对挠度的影响

8、。特别是，对于薄壁截面的梁单元，剪切应变对其挠度的影响将是很大的。因此，根据结构力学理论，对于薄壁截面梁单元（深梁单元），考虑剪切应变的影响，它的单元刚度矩阵应对式（6-16）做如下修正：,四考虑剪切应变的梁单元刚度矩阵,(6-17),式中 ， 是对y轴方向的剪切影响系数。,G材料的剪切弹性模量，,Ay沿y轴方向的有效抗剪面积，,对于圆截面的梁，k=1.128；对于圆管截面的梁，k=1.885；对于矩形截面的梁，k=1.177对于工字梁，Ay为工字梁腹板截面积。,材料的弹性模量与泊松比,梁元中间载荷的移置，可采用两种方法： 这种方法的基本思路：首先在梁元的两结点加上固结约束，求出梁元的固端内力

9、；然后将求出的固端内力的方向反过来（实际上，梁元没有这种约束，把固端内力方向反过来，相当于解除约束）并按式(6-2)组集，即得出中间载荷做构成的单元等效结点载荷。,6-2 梁元的非结点载荷（中间载荷）处理,一结构力学中的固端内力法,1垂直于梁元ij的集中力P的移置,求图(a)所示梁元ij的固端内力，相当于求图(b)所示固端梁ij的约束反力。 由材料力学或结构力学公式直接求得固端反力。 约束反力,约束反力矩,根据图(c)（解除约束后）可组成梁元ij在局部坐标下受集中力P的等效结点载荷列阵,(6-18),2梁元受垂直均布载荷的移置 对于图(a)所示的梁元ij的固端反力（即图(b)的约束反力）可直接

10、求出：,而由图(c)可组集成该梁元的,应该指出，上述确定梁元等效结点载荷列阵的方法，要用到材料力学或结构力学中求固端梁的约束反力的方法，而在有限元法中则经常采取虚功原理进行载荷移置。,这种方法是适用载荷移置前、后梁元所做虚功相等的原则来进行。 1. 垂直梁元ij的集中力P（作用于C点）的移置依式(2-37)可写出,二按虚功原理进行梁元中间载荷的移置,故,可见(6-18)式与(6-18)完全相同。,(6-18),2. 梁元ij受垂直均布载荷q的移置，由式(2-39)可写出,故,式(6-19)又与式(6-19)完全相同。可见，利用虚功原理进行梁元的载荷移置，具有普遍性，无论梁元ij上受什么样的载荷

11、，都能很容易地求出确定的结果。,(6-19),3. 梁元ij上作用有分布或集中的轴向载荷p(x)或p，则有：,如果令，,则上式变成：,若p(x) = p，p为均布轴向载荷，则,，此时,，故有,如果梁元上c点受有轴向集中力P，则,故有,还有许多其他类型中间载荷，其移置结果见有关书籍。,、,、,前面所得平面梁元的结点位移列阵 ，单元刚度矩阵 ，,单元结点载荷列阵 ，以及由这三者组成的单元刚度方程式,=,和结点位移列阵 都不能把局部坐标系下各单元的 、,和 简单地叠加，即不能象平面三角形单元那样，去组集,6-3 平面梁元的坐标变换及整体坐标下的,，都是在局部坐标系xiy下导出的，而这种局部坐标系的方

12、向是由单元方位所确定。采用这种局部坐标系，可以对不同方位的梁单元写出具有统一形式的单元刚度矩阵 。但是，由不同方位的梁元组成的整体结构，其刚度矩阵 ，结点载荷列阵,、 和 ，而必须先建立一个统一的整体坐标系xoy，再把每个梁元在局部坐标系下的 、 、 分别转换到整体坐标系中去，然后可按直接叠加规则组集成 、 、 ，在考虑约束情况后，再去求解刚度方程 = 。,现在，我们要研究如何把各单元的 、 、 转换到整体坐标系中去？,由前述知，在局部坐标系xiy下，已求得梁单元的单元刚度矩阵,，单元结点位移列阵 ，单元结点载荷列阵 ；如果假设该单元在整体坐标系xoy下单元刚度矩阵为 ，单元结点位移列阵为 ，

13、单元结点载荷列阵为 ，则可分别写出其单元刚度方程为,(6-14),(6-22),以 T 代表单元结点载荷列阵及结点位移列阵由局部坐标系转换到整体坐标系中的变换矩阵，则有,(6-23),将式(6-14)和(6-23)代入式(6-24)右端，将式(6-22)代入式(6-24)左端，可得：,故有,式中,坐标变换矩阵,的逆矩阵。,(6-24),(6-25),由式(6-23)，(6-24)和(6-25)看出，只要求得坐标变换矩阵 ，,就可以把局部坐标系下梁元的单元位移列阵、单元结点载荷列阵和单元刚度矩阵变换到整体坐标系中去。 现把整体坐标系oxy 的xy 轴放在平面刚架各梁元的平面内；z 轴垂直于该平面

14、，且与认为任意梁元ij的局部坐标ixyz的z轴相平行或相重合。对于平面刚架任意梁元ij的局部坐标轴x 和y 轴成 角，如图。,现在，假设梁元ij的i结点在整体坐标系中的三个位移分量为,，而由前述知，i结点局部坐标系中的三个位移分量为,，则两种位移分量之间存在如下的关系：,故有,对于梁元ij，则有,式中坐标变换矩阵 T 为,(6-26),可以证明,则式(6-25)变为,(6-29),(6-28),由式(6-26)求出平面刚架结构各梁元的坐标变换矩阵 T ，代入式(6-23)、(6-24)及(6-29)中，就把各梁元在局部坐标下的 、,和 变换到整体坐标系下的 、 和 ，以便组集成,、 及 = 。

15、此时， 中只包含梁元端点力及中间载荷移置到结点上的等效结点力，而单元的梁元端点内力已显示不出来了。 应该指出，无论 ，以及 都是对称矩阵，而且是奇异矩阵。 中可分为22个子块 ，每个子块含有33个元素 。仍然可以利用子块搬家的办法（刚度矩阵直接叠加规则），将各个梁元的单元刚度阵 组集整体刚度阵 。,至于引入平面刚架的支承条件，消去整体刚度方程中受约束点位移为零的行和列的方法，以及对已知位移的处理方法，完全类似弹性力学平面问题的有限元法。 如果平面刚架的结点载荷和约束条件已知后，可以通过求解消去位移为零的行和列后的整体刚度方程式，而得到各结点的位移分量，从中找出各个梁元的结点位移列阵 。然后，代

16、入式（6-23），求出梁元在局部坐标下的结点位移列阵 ，再把 代入式（6-13）中，即可求的每个梁元的应力； 或者将 代入式（6-14），可求的梁元在局部坐标系下的单元结点载荷列阵 。而且 = + ， 是由梁元中间载荷引起的等效结点力（梁元端点内力或取固端内力的负值）， 是平面刚架结构作用于结点上的外载荷 引起的梁元的梁端内力，因此可写,式中 是梁元ij的固端内力列阵， =,或,求图示刚架的内力 解：1. 整理原始数据，进行编码（如图） 2. 求结点总载荷,首先将非结点载荷转换为等效结点载荷。 在局部坐标系中的固端内力,(1) 单元，q = 4.8 KN/m，l = 5 m,6-4 计算实例,

17、单元，P = 8 KN，l = 5 m，a = b = 2.5 m,(2) 各单元的等效结点载荷,单元、的倾角分别为 ，则,(3) 求刚架的等效结点荷载,然后求等效总结点载荷,3 求,4 求,5 求,6 引入支承条件,7 解方程,其解为,8 求各杆的杆端内力,在工程实际问题中，会经常遇到杆件和块体混合组成的结构。如图所示，一个厚壁容器由许多斜杆连接支撑于地面，就属于这类问题。,在过去，这种结构的计算方案，首先假设筒体作为刚体，算出杆件的轴向力，再把轴向力作用到容器作筒体的应力分析。这样，就略去了筒体和斜杆连接处的变形协调，这只有在斜杆非常柔细的情况下，才能近似地认为筒体是一个刚体。若斜杆具有一

18、定的刚性，这样分析的结果，当然要引起一定的误差。,6-5 杆件和块体的组合,对于这类问题，用有限单元法计算甚为方便。只须在划分单元时，把块体和连杆的连接点都安排为结点，把每根杆件也作为一个单元，和块单元同样地对待，建立单元刚度矩阵。当组合成结构的整体刚度矩阵时，可以按叠加规则将杆单元刚度矩阵和块单元刚度矩阵叠加在一起，就可以得到整个结构的平衡方程式。 由于杆件是倾斜的，它的单元刚度矩阵是在局部坐标系oxyz 中建立，但当组合成整体刚度矩阵时，必须统一在整体坐标系中的单元刚度矩阵： 斜杆ij是二力杆件，它在局部坐标下结点力和结点位移之间的关系是,式中,而 包括等效结点力。矩阵 是二力杆件在局部坐标下的单元刚度矩阵，如写成显式。则,式中,(c),在整体坐标下，杆件的结点力和结点位移之间的关系式是,式中,是整体坐标下的单元刚度矩阵。它和 的关系是,(g), T 可以从(6-26)式给出，它在二力构件中为,式中,于是，把(h)式代入(g)式并利用(c)式，