经典等差数列性质练习题(含)

1、等差数列基础习题选（附有详细解答）等差数列基础习题选（附有详细解答） 一选择题（共一选择题（共 2626 小题）小题） 1已知等差数列中，a 3=9，a9=3，则公差 d 的值为（ ） A 2已知数列的通项公式是 25，则此数列是（） A 以 7 为首项，公差为 2 的等差数列B 以 7 为首项，公差为 5 的等差数列 C 以 5 为首项，公差为 2 的等差数列D 不是等差数列 3在等差数列中，a 1=13，a3=12，若 2，则 n 等于（ ） A 23 4等差数列的前 n 项和为，已知 S 3=6，a4=8，则公差（ ） A 一 1 5两个数 1 与 5 的等差中项是（） A 1 6一个首

2、项为 23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起 为负数，则它的公差是（） A 2 / 31 B 3C 4D B 3C 2D B 2C 3D 一 2 B 24C 25D 26 B 1CD 1 7（2012福建）等差数列中，a 15=10，a4=7，则数列的公差为（ ） A 1 8数列的首项为 3，为等差数列且，若， B 2C 3D 4 ，则=（） A 0 9已知两个等差数列 5，8，11，和 3，7，11，都有 100 项，则它们的公 共项的个数为（） A 25 10设为等差数列的前 n 项和，若满足 1+2（n2），且S3=9，则a1=（ ） A 5 11（2005黑龙江）如果

3、数列是等差数列，则（） A a a 1845 B 8C 3D 11 B 24C 20D 19 B 3C 1D 1 B a 1845 C a a 1845 D a a a 1845 12（2004福建）设是等差数列的前 n 项和，若 A 1 13（2009安徽）已知为等差数列，a 135=105，a246=99，则 a20 等于（） A 1 / 31 B 1C 3D 7 B 1C 2 =（） D 14在等差数列中，a 2=4，a6=12，那么数列 ABC 的前 n 项和等于（） D 15已知为等差数列的前 n 项的和，a 25=4，S7=21，则 a7 的值为（） A 6 16已知数列为等差数列

4、，a 135=15，a4=7，则 s6 的值为（） A 30 17（2012营口）等差数列的公差 d0，且 得最大值时的项数 n 是（） A 5 18 （2012辽宁） 在等差数列中， 已知 a 48=16， 则该数列前 11 项和 S11= （ ） A 58 19已知数列等差数列，且 a 13579=10，a246810=20，则 a4=（ ） A 1 20（理）已知数列的前 n 项和 8n，第 k 项满足 47，则（） A 6 / 31 B 7C 8D 9 2 B 7C 8D 9 B 35C 36D 24 ，则数列的前 n 项和取 B 6C 5 或 6D 6 或 7 B 88C 143D

5、176 B 0C 1D 2 21数列的前 n 项和为，若 2n 17n，则当取得最小值时 n 的值为（） A 4 或 5 22等差数列中，2n4，则 S 4 等于（） A 12 23若为等差数列，a 3=4，a8=19，则数列的前 10 项和为（ ） A 230 24等差数列中，a 38=5，则前 10 项和 S10=（ ） A 5 25设是公差不为0 的等差数列的前 n 项和，且S 1，S2，S4 成等比数列，则 等于（） A 1 26设221，则数列从首项到第几项的和最大（） A 第 10 项 二填空题（共二填空题（共 4 4 小题）小题） 27如果数列满足： 28如果 f（1）（n）+1

6、（1，2，3），且 f（1）=2，则 f（100）= / 31 = B 第 11 项C 第 10 项或 11 项 D 第 12 项 B 2C 3D 4 B 25C 50D 100 B 140C 115D 95 B 10C 8D 4 B 5 或 6C 4D 5 2 29等差数列的前 n 项的和 30已知是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a 3a6=55，a27=16 （）求数列的通项公式： （）若数列和数列满足等式： 的前 n 项和 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 2626 小题）小题） 1已知等差数列中，a 3=9，a9=3，则公差 d 的值为（ ） A

7、考等差数列 ，则数列的前 10 项之和为 （n 为正整数），求数列 B 1CD 1 点： 专计算题 题： 分 本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案 析： 解解：等差数列中，a=9，a =3， 39 / 31 答： 由等差数列的通项公式，可得 解得 故选 D 点 ，即等差数列的公差1 本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题 评： 2已知数列的通项公式是 25，则此数列是（） A 以 7 为首项，公差为 2 的等差数列B 以 7 为首项，公差为 5 的等差数列 C 以 5 为首项，公差为 2 的等差数列D 不是等差数列 考等差数列 点： 专计算题 题： 分直接根据

8、数列的通项公式是 25 求出首项，再把相邻两项作差求出公差即 析： 可得出结论 解解：因为 25， 1 答： 所以 a=21+5=7； 12（1）+5（25）=2 故此数列是以 7 为首项，公差为 2 的等差数列 故选 A 点本题主要考查等差数列的通项公式的应用如果已知数列的通项公式，可 / 31 评： 以求出数列中的任意一项 3在等差数列中，a 1=13，a3=12，若 2，则 n 等于（ ） A 23 考等差数列 B 24C 25D 26 点： 专综合题 题： 分根据 a=13，a =12，利用等差数列的通项公式求得d 的值，然后根据首项和 13 析： 公差写出数列的通项公式，让其等于 2

9、 得到关于 n 的方程，求出方程的解 即可得到 n 的值 解 解：由题意得 a +212，把 a=13 代入求得 ， 311 答： 则 13 （n1）= 故选 A 点 2，解得 23 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题 评： 4等差数列的前 n 项和为，已知 S 3=6，a4=8，则公差（ ） A 一 1 考等差数列 B 2C 3D 一 2 点： / 31 专计算题 题： 分根据等差数列的前三项之和是 6，得到这个数列的第二项是 2，这样已知等 析： 差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差 解解：等差数列的前 n 项和为， 3 答： S =6， a =

10、2 2 a =8， 4 8=2+2d 3， 故选 C 点本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质， 评： 即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算 5两个数 1 与 5 的等差中项是（） A 1 考等差数列 B 3C 2D 点： 专计算题 题： 分 由于 a，b 的等差中项为，由此可求出 1 与 5 的等差中项 析： / 31 解 解：1 与 5 的等差中项为：=3， 答： 故选 B 点 本题考查两个数的等差中项，牢记公式 a，b 的等差中项为：是解题的关 评： 键，属基础题 6一个首项为 23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起 为负数，则

11、它的公差是（） A 2 考等差数列 B 3C 4D 点： 专计算题 题： 分设等差数列的公差为 d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所 ，结合公差为整数进而求出数列的公差 析： 以 解解：设等差数列的公差为 d， 67 答： 所以 a=23+5d，a =23+6d， 又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数， 所以， 因为数列是公差为整数的等差数列， 所以4 故选 C 点解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运 / 31 评： 算 7（2012福建）等差数列中，a 15=10，a4=7，则数列的公差为（ ） A 1 考等差数列的通项公式 B 2C 3D 4 点：

12、 专计算题 题： 分设数列的公差为 d，则由题意可得 2a+410，a +37，由此解得 d 的值 11 析： 解解：设数列的公差为 d，则由 a =10，a =7，可得 2a+410，a +37，解得 2， 15411 答： 故选 B 点本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题 评： 8数列的首项为 3，为等差数列且，若， ，则=（） A 0 考等差数列的通项公式 B 8C 3D 11 点： 专计算题 / 31 题： 分 先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得 析： 的值 解 解：为等差数列， 3 ， 答： +（n3）2=2n8 b a 881 数列 8 的首项为 3 2883，

13、 a =11 8 故选 D 点本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以 评： 求出数列的通项，是基础题 9已知两个等差数列 5，8，11，和 3，7，11，都有 100 项，则它们的公 共项的个数为（） A 25 考等差数列的通项公式 B 24C 20D 19 点： 专计算题 / 31 题： 分（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差 析： 数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解， （法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法 来求解 解解法一： 设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为， 则 a =11 1 答：

14、 数列 5，8，11，与 3，7，11，公差分别为 3 与 4， 的公差 34=12， 11+12（n1）=12n1 又5，8，11，与 3，7，11，的第 100 项分别是 302 与 399， 12n1302，即 n25.5 又nN*， 两个数列有 25 个相同的项 故选 A 解法二：设 5，8，11，与 3，7，11，分别为与，则 32，4n1 设中的第 n 项与中的第 m 项相同， 即 32=4m1， m1 又 m、nN*，可设 3r（rN*），得 4r1 根据题意得 13r100 14r1100 解得 r rN* 从而有 25 个相同的项 故选 A 点解法一利用了等差数列的性质，解法

15、二利用了不定方程的求解方法，对学 / 31 评： 生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高 10设为等差数列的前 n 项和，若满足 1+2（n2），且S3=9，则a1=（ ） A 5 考等差数列的通项公式 B 3C 1D 1 点： 专计算题 题： 分根据递推公式求出公差为 2，再由 S=9 以及前 n 项和公式求出 a 的值 31 析： 解解： +2（n2）， =2（n2）， 11 答： 等差数列的公差是 2， 由 S=3a 31 9 解得，a=1 1 故选 D 点本题考查了等差数列的定义，以及前 n 项和公式的应用，即根据代入公式 评： 进行求解 11（2005黑龙江）如果数列是等差数列，则（）

16、 A a a 1845 B a 1845 C a a 1845 D a a a 1845 考等差数列的性质 点： / 31 分用通项公式来寻求 a 18 与 a 45 的关系 析： 解解：a 18（a45）=2a1+7d（2a1+7d）=0 答： a 1845 故选 B 点本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质 评： 12（2004福建）设是等差数列的前 n 项和，若=（ A 1B 1C 2D 考等差数列的性质 点： 专计算题 题： 分充分利用等差数列前 n 项和与某些特殊项之间的关系解题 析： 解解：设等差数列的首项为 a 1，由等差数列的性质可得 答： a 19=2a5，a15

17、=2a3， 1， 故选 A / 31 ） 点本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前 n 项和公式以及等差中项的 评： 综合应用， 已知等差数列的前 n 项和为，则有如下关系 S=（2n1） 2n1 13（2009安徽）已知为等差数列，a 135=105，a246=99，则 a20 等于（） A 1 考等差数列的性质 B 1C 3D 7 点： 专计算题 题： 分根据已知条件和等差中项的性质可分别求得 a 和 a 的值，进而求得数列的 34 析： 公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案 解解：由已知得 a =3a =105， 1353 2464 答： a =3a =99， a =35，a=33

18、， a=2 3443 a +1735+（2）17=1 203 故选 B 点本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用解题的关 34 评： 键是利用等差数列中等差中项的性质求得 a 和 a 14在等差数列中，a 2=4，a6=12，那么数列 的前 n 项和等于（） / 31 A 考 BCD 数列的求和；等差数列的性质 点： 专计算题 题： 分求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成 析： 的数列，利用错位相减法求出数列的前 n 项的和 解解：等差数列中，a=4，a =12； 26 答： 公差 2 ； +（n2）2=2n； ； 的前 n 项和， = 两式相减得

19、= 故选 B / 31 点求数列的前 n 项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和 评： 方法 15已知为等差数列的前 n 项的和，a 25=4，S7=21，则 a7 的值为（） A 6 考等差数列的性质 B 7C 8D 9 点： 专计算题 题： 分由 a =4，S =21 根据等差数列的性质可得 a =4，根据等差数列的前 n 项 2573416 析： 和公式可得， 解 25 ，联立可求 d，a，代入等差数列的通项公式可求 1 7 解：等差数列中，a =4，S =21 3416 答： 根据等差数列的性质可得 a =4 根据等差数列的前 n 项和公式可得， 所以 a =6 17 可

20、得 2，a =3 1 所以 a=9 7 故选 D 点本题主要考查了等差数列的前 n 项和公式及等差数列的性质的综合应用， 评： 属于基础试题 16已知数列为等差数列，a 135=15，a4=7，则 s6 的值为（） / 31 A 30 考 B 35C 36D 24 等差数列的性质 点： 专计算题 题： 分利用等差中项的性质求得 a 的值， 进而利用 a求得 a 的值， 代入等差数列 3163416 析： 的求和公式中求得答案 解解：a =3a =15， 1353 3 答： a =5 a=12 1634 s = 6 6=36 故选 C 点本题主要考查了等差数列的性质特别是等差中项的性质 评： 1

21、7（2012营口）等差数列的公差 d0，且 得最大值时的项数 n 是（） A 5 考等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式 ，则数列的前 n 项和取 B 6C 5 或 6D 6 或 7 点： / 31 专计算题 题： 分 由， 知 a =0 由此能求出数列的前 n 项和取得最大值时的项 111 析： 数 n 解 解：由 111 ， 答： 知 a =0 a =0， 6 故选 C 点本题主要考查等差数列的性质，求和公式要求学生能够运用性质简化计 评： 算 18 （2012辽宁） 在等差数列中， 已知 a 48=16， 则该数列前 11 项和 S11= （ ） A 58 考等差数列的性质；等差数

22、列的前 n 项和 B 88C 143D 176 点： 专计算题 题： 分 根据等差数列的定义和性质得 a 11148=16，再由 S =11 运算求得结 析： 果 解 解：在等差数列中，已知 a =16，a=16，S 481114811 88， 答： 故选 B / 31 点本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前 n 项和公式的应用， 评： 属于中档题 19已知数列等差数列，且 a 13579=10，a246810=20，则 a4=（ ） A 1 考等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和 B 0C 1D 2 点： 专计算题 题： 分由等差数列得性质可得：5a =10，即 a =2同理

23、可得 5a =20，a =4，再由等 5566 456 析： 差中项可知：a=2a a =0 解解：由等差数列得性质可得：a =2a，又 a=10， 1937513579 5566 答： 故 5a=10，即 a=2同理可得 5a =20，a=4 再由等差中项可知：a=2aa=0 456 故选 B 点本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键， 评： 属基础题 20（理）已知数列的前 n 项和 8n，第 k 项满足 47，则（） A 6 考等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和 2 B 7C 8D 9 / 31 点： 专计算题 题： 分 先利用公式求出，再由第 k 项满足

24、 47，建立不等式， 析： 求出 k 的值 解 解： 答： = 1 时适合 2n9，2n9 47，42k97， k8，又k ，7， 故选 B 点 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式的合 评： 理运用，属于基础题 21数列的前 n 项和为，若 2n 17n，则当取得最小值时 n 的值为（） A 4 或 5 考等差数列的前 n 项和 2 B 5 或 6C 4D 5 点： 专计算题 题： / 31 分把数列的前 n 项的和看作是关于 n 的二次函数，把关系式配方后，又根据 n 析： 为正整数，即可得到取得最小值时 n 的值 解解：因为 2n1722， 答： 又 n 为正整数， 所以当 4

25、 时，取得最小值 故选 C 点此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题 评： 22等差数列中，2n4，则 S4等于（） A 12 考等差数列的前 n 项和 B 10C 8D 4 点： 专计算题 题： 分利用等差数列中，2n4，先求出 a，d，再由等差数列的前 n 项和公式求 1 4 析： S 解解：等差数列中，2n4， 1 答： a =24=2， a =44=0， 2 0（2）=2， S =4a + 41 / 31 =4（2）+43 =4 故选 D 点本题考查等差数列的前 n 项和公式的应用，是基础题解题时要认真审题， 评： 注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和 23若

26、为等差数列，a 3=4，a8=19，则数列的前 10 项和为（ ） A 230 考等差数列的前 n 项和 B 140C 115D 95 点： 专综合题 题： 分分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到和，联立即 析： 可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前 n 项 和的公式即可求出数列前 10 项的和 解解：a +24，a +719， 3181 答： 得 515， 解得 3， 把 3 代入求得 a=2， 1 所以 S =10（2）+ 10 3=115 故选 C 点此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值， / 31 评： 是一道基础题

27、24等差数列中，a 38=5，则前 10 项和 S10=（ ） A 5 考等差数列的前 n 项和；等差数列的性质 B 25C 50D 100 点： 专计算题 题： 分根据条件并利用等差数列的定义和性质可得 a =5，代入前 10 项和 S 11010 析： = 解 运算求得结果 38110 解：等差数列中，a =5，a =5， 10 答： 前 10 项和 S 故选 B 点 25， 本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前 n 项和公式的应用，求得 110 评： a =5，是解题的关键，属于基础题 25设是公差不为0 的等差数列的前 n 项和，且S 1，S2，S4 成等比数列，则 等于（） A

28、1B 2C 3D 4 / 31 考等差数列的前 n 项和 点： 专计算题 题： 分由 S，S，S 成等比数列，根据等比数列的性质得到 S S ，然后利用等差数 124 2 2 14 析： 列的前 n 项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系 式，根据公差不为 0，即可求出公差与首项的关系并解出公差 d，然后把所 求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差 d 的关系式代入即可求 出比值 解解：由 S，S，S 成等比数列， 124 2 111 答： （2a） （4a +6d） d0，2a 1 故选 C 点 3 此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前 n

29、评： 项和的公式化简求值，是一道综合题 26设221，则数列从首项到第几项的和最大（） A 第 10 项 考等差数列的前 n 项和；二次函数的性质 B 第 11 项C 第 10 项或 11 项 D 第 12 项 点： / 31 专转化思想 题： 分方法一：由，令1 求出数列的首项，利用 等于一个常数，得到此数列为 1 析： 等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前 n 项和的公式， 得到前 n 项的和与 n 成二次函数关系， 其图象为开口向下的抛物线， 当 时，前 n 项的和有最大值，即可得到正确答案； 方法二：令大于等于0，列出关于n 的不等式，求出不等式的解集即可得到 n 的范围

30、， 在 n 的范围中找出最大的正整数解， 从这项以后的各项都为负数， 即可得到正确答案 解解：方法一：由221，得到首项a=2+21=19， =2（n1）+21=223， 11 1 答： 则 =（221）（223）=2，（n1，n ）， 所以此数列是首项为 19，公差为2 的等差数列， 则 19 当 （2）=n +20n，为开口向下的抛物线， 2 =10 时，最大 所以数列从首项到第 10 项和最大 方法二：令2210， 解得 n，因为 n 取正整数，所以 n 的最大值为 10， 所以此数列从首项到第 10 项的和都为正数，从第 11 项开始为负数， 则数列从首项到第 10 项的和最大 故选

31、A 点此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前 n 项和的公 评： 式及二次函数求最值的方法得到 n 的值；也可以直接令0，求出解集中的 最大正整数解，要求学生一题多解 / 31 二填空题（共二填空题（共 4 4 小题）小题） 27如果数列满足： 考数列递推式；等差数列的通项公式 = 点： 专计算题 题： 分根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数 析： 列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一 步得到结果 解 解：根据所给的数列的递推式 答： 数列是一个公差是 5 的等差数列， a =3， 1 = ， 数列的通项是 故答案为： 点本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是 评： 一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目 28如果 f（1）（n）+1（1，2，3），且 f（1）=2，则 f（100）=101 / 31 考数列递推式；等差数列的通项公式 点： 专计算题 题： 分由 f（1）（n）+1，x，f（1）=2，依次令 1，2，3，总结规律得到 f 析： （n）1，由此能够求出 f（100） 解解：f（1）（n）+1，x， 答： f（1）=2， f（2）（1）+1=2+1=3， f（3）（2）+1=3+1=4，