清华大学数学建模讲义

1、数学建模 王新茂 中国科学技术大学数学系 教学目标和教学内容 本课程主要培养学生对实际问题的分析能力 和对数学知识的运用能力。学生需要 掌握数学建模的基本步骤。 了解一些典型的数学模型（连续函数模型、 微分方程模型、优化规划模型、运筹决策模 型、概率统计模型、图与网络模型）的建立 和求解方法。 会用一些常用的数学软件。 教材和参考书 数学建模方法及其应用，韩中庚编著，高等教育出版社，2009。 数学建模，F.R.Giordano等著，叶其孝、姜启源等译，机械工业出版社，2009。 数学模型讲义，雷功炎编著，北京大学出版社，2009 。 数学模型选讲，王树禾编著，科学出版社，2008。 数学建模

2、与实验，陈恩水、王峰编著，科学出版社，2008。 数学建模简明教程，西北工业大学数学建模指导委员会编，高等教育出版社，2008。 数学建模案例选集，姜启源、谢金星主编，高等教育出版社，2006。 数学建模方法与分析，M.M.Meerschaert著，刘来福、杨淳、黄海洋译，机械工业出版 社，2005。 数学模型，谭永基、蔡志杰、俞文编著，复旦大学出版社，2005。 数学建模，杨启帆主编，康旭升、赵雅囡编著，高等教育出版社，2005。 数学模型方法与算法，边馥萍、侯文华、梁冯珍编著，高等教育出版社，2005。 数学模型，姜启源、谢金星、叶俊编著，高等教育出版社，2003。 数学建模案例精选，朱道

3、元等编著，科学出版社,2003。 数学模型与数学建模，刘来福、曾文艺编著， 北京师范大学出版社，2002。 数学模型，华南理工大学出版社，2001。 中国大学生数学建模竞赛，李大潜主编，高等教育出版社。 大学生数学建模竞赛辅导教材，叶其孝主编，湖南教育出版社。 全国大学生数学建模竞赛网站，。 美国大学生数学建模竞赛网站， 成绩评定和课程要求 总评成绩平时作业期末作业 印象分 平时作业：把课堂内容整理成一篇小论文。 共交3次平时作业，每次20分。 期末作业：七日内完成所布置的建模题目， 写成一篇小论文，占40分。 按时独立完成作业，严禁抄袭代做。如有 弄虚作假行为，相关人的总评成绩都是零。 教学

4、安排 2月21日 授课 2月24日 授课 2月28日 授课 3月3日 授课、交作业一 3月7日 授课 3月10日 授课 3月14日 授课 3月17日 授课、交作业二 3月21日 授课 3月24日 授课 3月28日 授课 3月31日 授课、交作业三 4月4日 授课 4月7日 授课 4月11日 授课 4月14日 授课、公布期末作业 4月21日 交期末作业 4月25日 上报成绩 什么是数学建模？ 数学建模是用数学语言描述事物的变化规律、事物之间的 相互联系等实际对象的过程。 数学模型是对实际对象进行抽象、近似、简化、量化后所 得到的一种数学对象，是联系实际问题与数学问题的桥梁。 数学建模的目的是通过

5、建立相对准确的数学模型，把实际 问题转化为数学问题。 评价数学模型的标准是“它是否有利于解决实际问题”。 实际问题数学问题 数学模型 (数学对象) 实际问题的解数学问题的解 实际对象 数学建模的基本步骤 一、分析问题。明确建模的对象和需要解决的实际问题。列 出影响模型的主要因素、因素之间的联系等。 二、作出假设。根据客观规律对建模对象作出合理的假设， 对复杂问题进行必要的化简。 三、建立模型。选择适当的数学语言来描述建模对象，把数 学关系具体量化，得到数学模型。由此，把需要解决的 实际问题转化为数学问题。 四、求解模型。选择适当的数学方法求解由实际问题转化而 来的数学问题。 五、检验模型。分析

6、解的误差、适用范围、实际意义等。如 果解决不了实际问题，还需要对模型进行修改完善。 六、应用模型。解决实际问题。 建模问题目录 1.CUMCM2006C：易拉罐形状和尺寸的最优设计 2.CUMCM2010C：输油管的布置 3.CUMCM2009C：卫星和飞船的跟踪测控 4.CUMCM2010A：储油罐的变位识别与罐容表标定 5.CUMCM2004C：饮酒驾车 6.CUMCM2007A：中国人口增长预测 7.CUMCM2009A：制动器试验台的控制方法分析 8.CUMCM2006A：出版社的资源配置 9.CUMCM2009B：眼科病床的合理安排 10. CUMCM2009D：会议筹备 11. C

7、UMCM2005C：雨量预报方法的评价 12. CUMCM2007D：体能测试时间安排 13. USTC统计建模2009A：花旗松原始森林特征研究 14. USTC统计建模2009B：基于声音特征的海豹分类 15. CUMCM2007B：乘公交，看奥运 16. CUMCM2008C：地面搜索 易拉罐形状和尺寸的最优设计 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒 等) 的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是 某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能 是很有限的，但是如果是生产几亿

8、，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下 的任务： 1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证 模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明； 如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地 说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3. 设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分 是一个正圆柱体。什么是

9、它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们 所测量的易拉罐的形状和尺寸。 4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的 最优设计。 5. 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字， 你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。 输油管的布置 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品 油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学 模型与方法。 1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案

10、。在 方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2.设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。 两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区 （图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域）， 两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表 示的距离（单位：千米）分别为a=5,b=8,c=15,l=20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在 城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用， 为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公 司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具 有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示。 请为设计院给出

11、管线布置方案及相应的费用。 3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。 这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千 米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布 置方案及相应的费用。 工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用 （万元/千米） 212420 卫星和飞船的跟踪测控 卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对 它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组 成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船） 进行全程跟踪测控。测控设备只能观测到所在点切平面

12、以 上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好， 实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以 上的空域。在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往 有多个测控站联合完成测控任务，如神州七号飞船发射和 运行过程中测控站的分布如下图所示。 请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下： 1.在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能 对其进行全程跟踪测控？ 2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球 面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异， 问至少应该建立多少个测控站才

13、能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程 跟踪测控的目的？ 3.收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点 对该卫星所能测控的范围。 图片来源 09/24/content_1104882.htm 储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理 系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐 容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油 量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发 生纵向倾斜

14、和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规 定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体 为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位 的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 1.为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱 体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如 附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高 度间隔为1cm的罐容表标定值。 2.对于

15、图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与 油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体 变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变 位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的 实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 储油罐的变位识别与罐容表标定 数学建模中常用的数值计算方法 Lagrange插值：? ? = ? ? ? ? ? ? 三次样条插值：分段3次多项式，在节点处0,1,2

16、阶导数连续。 最小二乘法拟合? = ?：?|? ?| ? = (?)? 数值微分：局部多项式拟合? ? = ? ? ? ?! (? ?)? ? ? 数值积分梯形公式：? ?(?)? ? ? = ? ? ? ?+ ? ? ? ? ? ? ? (?)? ? Simpson公式：? ?(?)? ? ? = ? ? ? ?+ 4? ?+ ? ? ? ? ? ? ? (?)? ? Newton迭代法解方程/方程组? ? = 0：?= ? ? ? 共轭梯度法求多元函数?(?)极值：?= ?+ ? ?，?= ? |?|? |?|? ? Euler折线法解微分方程?= ?(?,?)：?= ?+ ? ?,? R

17、unge-Kutta公式：?= ?+ ? ? ?+ 2?+ 2?+ ?，其中?= ? ?,?， ?= ? ?+ ? ? ,?+ ? ? ，?= ? ?+ ? ? ,?+ ? ? ，?= ? ?+ ,?+ ?。 中国人口增长预测 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运 用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展 出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口 城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究 报告(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口

18、问题已有多方面的研究，并积累了 大量数据资料。附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。试从中国的实际 情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新 的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做 出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。 附录1：国家人口发展战略研究报告 附录2：人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）及其说明 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。针 对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新

19、的车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克 /百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克/百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克/百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克/百毫升）。大李在中午12点喝了一瓶啤 酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌 晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒， 两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的 数学模型

20、，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释。 2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答： （1）酒是在很短时间内喝的；（2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。 参考数据参考数据 1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的 含量与在体液中的含量大体是一样的。 2.体重约70kg的某人在短时间内喝下

21、2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克/百毫升）， 得到数据如下： 时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55 酒精含量306875828277686858515041 时间(小时)678910111213141516 酒精含量3835282518151210774 制动器试验台的控制方法分析 汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动 器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须 进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面

22、上加速到 指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止 下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。假设路试时轮胎与地面的摩擦力 为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。 为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只 能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过 程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验 全车所有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施 加制

23、动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会 使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速（模拟实验中， 可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致）后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时 就称为完成一次制动。 路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有 的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量（以下 转动惯量简称为惯量）在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础 惯量。飞轮组由若干个飞轮组成

24、，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再 加上基础惯量称为机械惯量。例如，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80kgm2，基 础惯量为10kgm2，则可以组成10，20，30，160kgm2的16种数值的机械惯量。但对于等效的转动 惯量为45.7kgm2的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。这个问题的一种解决方法是：把机械惯 量设定为40kgm2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯 量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。 一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5A/N

25、m）；且 试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。 由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计 算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10ms为一段，然后根据前面时间段 观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。 评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制 动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续 问题离散化所产生的误差。现在要求你们解答以下问题： 1.设车辆单个前轮的

26、滚动半径为0.286m，制动时承受的载荷为6230N，求等效的转动惯量。 2.飞轮组由3个外直径1m、内直径0.2m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392m、0.0784m、 0.1568m，钢材密度为7810kg/m3，基础惯量为10kgm2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补 偿的能量相应的惯量的范围为-30,30kgm2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补 偿多大的惯量？ 3.建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数， 初始速度为50km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。 4.对于与所设计的路试等效的转动惯量

27、为48kgm2，机械惯量为35kgm2，主轴初转速为514转/分钟， 末转速为257转/分钟，时间步长为10ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方 法执行的结果进行评价。 5.按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段 电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。 6.第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作 评价。 制动器试验台的控制方法分析 出版社的资源配置 出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上， 经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、

28、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、 财务与管理成本等）和利润。某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对 分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理 地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需 求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资 源配置。资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新 对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。资源配置是总社每年进行的重要决策，直 接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于市场信息（主要是需求与竞争力）

29、 通常是不完全的，企业自身的数据收集和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业 中是普遍存在的。本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数 据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书 号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。 附件1：问卷调查表； 附件2：问卷调查数据（五年）； 附件3：各课程计划及实际销售数据表（5年）； 附件4：各课程计划申请或实际获得的书号数列表（6年）； 附件5：9个分社人力资源细目。 眼科病床的合理安排 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如， 患者到

30、门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排 队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科 门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾 病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的 情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病 人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如 果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即 安排住院，住院后第二天便

31、会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大 致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根 据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考 虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但 考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排 在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照 FCFS（First come, First serve） 规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮 助解决该住院部的病床合理安排问题

32、，以提高对医院资源的有效利用。 眼科病床的合理安排 问题： 一试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。 二试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病 人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系 作出评价。 三作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住 院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 四若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是 否应作出相应调整? 五有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类

33、病人占 用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留 时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。 会议筹备 某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代 表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。 由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所 以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方 面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。筹备组经过实地 考察，筛选出10家宾馆作为备选，它们的名称用代号至表示，相对位置见附图，有关 客房

34、及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1。根据这届会议代表回执整理出来的有关 住房的信息见附表2。从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有 一些与会的代表事先不提交回执，相关数据见附表3。附表2，3都可以作为预订宾馆客房 的参考。需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实 际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常 被动的局面，引起代表的不满。 会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会 议室。 由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客车接

35、 送代表。现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元。 请你们通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订 宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。 雨量预报方法的评价 雨量预报对农业生产和城市工作和生活有重要作用，但准确、及时地对雨量作出预报是一 个十分困难的问题，广受世界各国关注。我国某地气象台和气象研究所正在研究6小时雨量 预报方法，即每天晚上20点预报从21点开始的4个时段（21点至次日3点，次日3点至9点， 9点至15点，15点至21点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经120度、北纬32度附近的 5347的等距

36、网格点上。同时设立91个观测站点实测这些时段的实际雨量，由于各种条件 的限制，站点的设置是不均匀的。气象部门希望建立一种科学评价预报方法好坏的数学模 型与方法。气象部门提供了41天的用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据。预报数 据在文件夹FORECAST中，实测数据在文件夹MEASURING中，其中的文件都可以用 Windows系统的写字板程序打开阅读。FORECAST中的文件lon.dat和lat.dat分别包含网格点 的经纬度，其余文件名为_dis1和_dis2，例如f6181_dis1中包含2002年6 月18日晚上20点采用第一种方法预报的第一时段数据（其2491个数据为该时段各网

37、格点的 雨量），而f6183_dis2中包含2002年6月18日晚上20点采用第二种方法预报的第三时段数 据。MEASURING中包含了41个名为.SIX的文件，如020618.SIX表示2002年6月18 日晚上21点开始的连续4个时段各站点的实测数据（雨量），这些文件的数据格式是： 1. 请建立数学模型来评价两种6小时雨量预报方法的准确性； 2. 气象部门将6小时降雨量分为6等：0.12.5毫米为小雨，2.66毫米为中雨，6.112毫 米为大雨，12.125毫米为暴雨，25.160毫米为大暴雨，大于60.1毫米为特大暴雨。 若按此分级向公众预报，如何在评价方法中考虑公众的感受？ 站号纬度经

38、度第1段第2段第3段第4段 雨量用毫米做单位，小于0.1毫米视为无雨。 5813832.9833118.51670.00000.200010.10003.1000 体能测试时间安排 某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试包括身高与 体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保 存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台 阶试验测量仪器各2台。身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生 的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器 一次

39、测试5个学生，需要3分30秒。每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平 均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学 号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。学校安排每天的测试时间 为8：0012：10与13：3016：45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型 场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。参加体能测试的各班人数见附表。学校要求同 一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少 的条件下，尽量节省学生的等待时间。请你用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题， 给出该数学问题的算法，

40、尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出 测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。最后，请对学校 以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：如引进各项测量仪器的数量；测试场 所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。 附表：参加体能测试的各班人数 花旗松原始森林特征研究 1. 背景介绍：世界上很少有其它地方的树种能达到加拿大英属哥伦比亚海岸线地区那样强 大的生命力、高度和寿命。为何该地区的森林和树木有此特性是自然爱好者非常感兴趣的 一个问题。生态学中，森林的发展动态过程称为演替，是生存竞争和环境的变化所导致的 树木和树种的更新替代过程。

41、在这个过程中，弱小的和不耐荫凉的树种会慢慢消失掉，高 大和耐荫凉的树种会慢慢占据主导地位。伴随着演替，生态系统的结构、功能和生存能力 等都会相应地变化。如果没有外力（比如大火，砍伐）的影响，一个森林生态系统在经过 较长时间的演替过程之后会达到一个成熟的稳定状态，即我们常说的原始森林。了解原始 森林的演替过程和树木、树种的空间分布特征有助于理解该地区森林生态系统。加拿大林 业部的一项研究中研究了南温哥华岛某地区的一片约300年的原始森林。这片森林主要由 花旗松(DF)、西部铁杉(HL)和红雪松(CD)构成，其中花旗松是最早就存在而且占主导地位 的树种，而西部铁杉和红雪松在后来的演替过程中进入这片

42、森林并占据了相当的比重。 1997年，在该森林选取了一块10287米2的面向南面的山坡，平均海拔高度为382米。在 这块上坡上共有2050棵树（DF, HL,CD），每棵树有9个指标，这些指标列表如下 2. 数据：forest.txt （2050行，9列）。 3. 参考问题（可以考虑的问题，但绝不局限于这些问题）： 描述或分析山坡特征。 HTC与HTT的关系如何？树种之间这种关系有无差异？ 死树的存在与近邻的其它树的DBH，HTT，HTC有关系吗？这种关 系(如果有关系)与树种有无关系，是否受所在的高度(Z)的影响？ 树种在山坡上的分布是否均匀？各种树的分布有什么特征？ TAG树的标签 SPE

43、CIES树种 X,Y,Z坐标 STATUS树的状态 DBH树的直径 HTT树高 HTB树干高度 基于声音特征的海豹分类 1.背景介绍：海豹有各种各样的水底发音方式。不同海域的海豹发音方式可能不同，这种 差异与不同海域海豹群体的互相隔离有关。本问题研究的是A海湾和B海湾的格陵兰海豹的 发音差异。标记跟踪和形态测量研究表明这两个海域的格陵兰海豹很少进入对方领域。发 声上的差异可以进一步证实两个群体的独立性, 声音研究的一个主要困难是研究人员既不 知道海豹的声音类型如何确定，也不知道有多少种类型。以前，研究者通常根据听到的海 豹声音的录音进行主观分类。由于海豹声音是连续的，不同的研究人员对发声类型可能有 不同的判别标准。所以, 如果对于发声分类过细, 即给出很多不同的发声类型，那么往往 就会夸大海豹群体间的差异；而如果海豹发声类型的分类过宽，则往往会错失群体间确实 存在的差异。本问题的数据由A海湾和B海湾的格陵兰海豹水下录音记录整理得到，两个群 体各记录了900和800个海豹声音，从中得到声音的7个特征列表如下： 2.训练数据：seal.txt (前7列为声音指标；第8列为标号,1: A海湾, 2: B海湾) 3.参考问题（可以考虑的问