第三章 小波变换.ppt

1、第三章 小波变换(Wavelet Transform，WT),Fourier分析对于平稳信号的分析是非常有效的,但是由于其不具有分析局部时域信号的局部频谱特性,没有时频局部化功能;短时Fourier变换虽然具有时频分析能力,但是时频窗是固定的,不能自动适应频率变化的需要.,3-1自适应窗函数的设计,Fourier变化的表达式为: 只能求取整个时域上的频率特性，不能反映局部频率特性。 短时Fourier变化的表达式为:,令,，则：,可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄，高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。 为此，定义窗函数的一般形式为： 它是

2、经过平移和放缩的结果。,当a1时， 被压窄且振幅被拉高， 含有表现高频分量的特征。,3-2 小波、小波变换的定义和条件,1、小波变换的定义 把对给定平方可积信号f(t)的积分变换： 称为小波变换。满足一定条件的函数 称为允许小波函数。又称为基本小波，或母小波。 是母小波经时移和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。b 是时移因子， a 是尺度因子。 式中a,b 和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT),在上式中，b 的作用是确定对x(t) 分析的时间位置。尺度因子a 的作用是把基本小波 (t) 作伸缩。由 (t) 变成(a t )，当a 1时，若a 越大，则

3、 (a t)的时域支撑范围（即时域宽度）较之 (t) 变得越小；反之，当a 1时，a 越小，则(at)的宽度越宽。这样，a 和b 联合越来确定了对x(t) 分析的中心位置及分析的时间宽度。,小波函数的范数不变性： 此式表明： 经过平移与伸缩以后，其模量没有改变。 在不同的尺度a 时，a b (t) 终能和母函数(t)有着相同的能量 。 小波函数的频域特性： 此式表明， 经过平移和伸缩以后得到的新函数 的频域特性随参数a的变化而变化。,2、小波变化的回复公式推导 任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积公式。 在Fourier变换中，有公式：

4、对于小波变换而言:,同理：,用到公式,式中：,，,补充： （1）函数特点：质量为1的质点均匀分布在x轴 的区间，平均密度分布函数为： 若将该质点放置在座标原点，则密度分布函数为,由此，引出 函数概念：,（2）阶跃函数,就有： ，因此：,允许小波的条件： （1） ，即小波具有快速衰减性（平方可积，能量有限）； （2）由 的连续性和 可推知： 。从而有：,这一结论指出， (t) 的取值必然是有正有负，也即它是振荡的。,以上给我们勾画出了作为小波的函数所应具有的大致特征，即 (t) 是一带通函数，它的时域波形应是振荡的。此外，从时频定位的角度，我们总希望 (t) 是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。

5、这样，时域有限长且是振荡的这一类函数即是被称作小波（wavelet）的原因。,3.3 小波变换的自适应时频窗分析,前面已经提到，WFT不具有自适应时频窗的能力，而小波变换具有这种能力，下面具体分析其时频局部化效果。 与WFT相比，可将 看成窗函数，令 为时窗中心， 为时窗半径， 为频窗中心， 为频窗半径，有：,如式： 将窗函数 的以上各量分别记为: ， ， , 。,可以证明：,，,由以上关系不难看出：平移因子b使时窗中心发生同量的平移，不影响时窗的宽度；而放缩因子a既可使时窗中心发生变化，也使时窗半径压缩为1/a；同样缩放因子将频窗中心和频窗半径拉宽a倍。,总结如下：,连续小波变换的计算性质,

6、1时移性质,若f(t) 的CWT 是 Wf (a,b) ，那么f(t ) 的CWT 是Wf(a,b a ) 。,证明：令，g(t) = f(t ) ，则,连续小波变换的计算性质,2 尺度转换性质,如果f(t) 的CWT 是Wf (a,b) ，令g(t) = f(t)，则,证明：,该性质指出，当信号的时间轴按 作伸缩时，其小波变换在a 轴上同时要作相反比例的伸缩，但小波变换的波形不变。这是小波变换优点的又一体现。,连续小波变换的计算性质,3 微分性质,4 小波变换的内积（乘积）定理(Parseval等式）,如果令,该式更清楚地说明，小波变换的幅平方在尺度位移平面上的加权积分等于信号在时域的总能量

7、，因此，小波变换的幅平方可看作是信号能量时频分布的一种表示形式。,5、叠加性质 设 的小波变换为 ， 的小波变换为 则,常用小波,由前面的讨论可知，作为一个小波的函数 (t) ，它一定要满足容许条件，在时域一定要是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的，当然，若时域越窄，其频域必然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有限支撑方面我们往往只能取一个折中。此外，我们希望由母小波 (x)形成的 a b (t ) , 是两两正交的，或是双正交的；进一步，我们希望 (x)有高阶的消失矩，希望与 (x)相关的滤波器具有线性相位，等等。我们可以根据上述要求对现已提出的大量的小波函数作一粗略地分类。在下面的

8、分类中，第一类是所谓的“经典小波”，在MATLAB 中把它们称作“原始（Crude）小波”。这是一批在小波发展历史上比较有名的小波；第二类是Daubecheis 构造的正交小波，第三类是由Cohen，Daubechies 构造的双正交小波。,经典类小波,1. Haar 小波 Haar 小波来自于数学家Haar 于1910 年提出的Haar正交函数集，其定义是：, (t) 的傅里叶变换是：,Haar 小波有很多好的优点，如： （1） Haar 小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）； （2） 若取a = 2 j , j Z + ,b Z ，那么Haar 小波不但在其整数位移处是正交的，即

9、 = 0， 而且在j 取不同值时也是两两正交的，即 = 0 （3） Haar 波是对称的。我们知道，离散的单位抽样响应若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有利的。Haar 小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波； （4）Haar 小波仅取1 和1，因此计算简单。,2.Morlet 小波,Morlet 小波定义为,其傅里叶变换,它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到待分析的信号一般是实信号，所以在MATLAB 中将其式改造为：,并取 0 = 5 。该小波不是紧支撑的，理论上讲t 可取 + 。但是当 0 = 5 ，或再取更大的值时， (t) 和() 在

10、时域和频域都具有很好的集中。Morlet 小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小波。,3 .Mexican hat 小波,该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称Marr 小波。它定义为,该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一顶草帽，故由此而得名。其波形和其频谱如图,help mexihat,该小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小波变换。由于该小波在 = 0 处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人眼视觉的空间响应特征，因此它在1983 年即被用于

11、计算机视觉中的图像边缘检测。,4Gaussian 小波,高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到的，定义为：,该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。当k 取偶数时 (t) 正对称，当k 取奇数时， (t) 反对称。上图给出了k = 4 时的 (t) 的时域波形及对应的频谱。,正交小波,目前提出的正交小波大致可分为四种，即Daubechies 小波，对称小波，Coiflets 小波和Meyer 小波。这些正交小波和前面所讨论的“经典小波”不同，它们一般不能由一个简洁的表达式给出 (t) ，而是通过一个叫做“尺度函数（Scalling function）”的 (t) 的加权组合来产生的

12、。尺度函数是小波变换的又一个重要概念。由后面的讨论可知，小波函数 (t) ，尺度函数 (t) 同时和一个低通滤波器H0 (z)及高通滤波器H1 (z) 相关连， H0 (z) 和H1 (z)可构成一个两通道的分析滤波器组。这些内容构成了小波变换的多分辨率分析的理论基础。因此，在讨论正交小波时，同时涉及到尺度函数 (t) ，分析滤波器组H0 (z) 、H1 (z) ， 及综合滤波器组G 0(z) ， G 1(z ) 。,1Daubechies 小波,Daubechies 小波简称db 小波。它是由法国女学者Ingrid Dauechies 于90 年 代初提出并构造的。Daubechies 对小

13、波变换的理论做出了突出的贡献，特别是在尺度a 取2 的整数次幂时的小波理论及正交小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作Ten Lectures on Wavelet（小波十讲）深受同行们的欢迎。,dbN 中的N 表示db 小波的阶次， N = 2 10 .当N = 1时，db1 即是Haar 小波。因此，前述的Haar 小波应归于“正交小波”类。Daubechies 计算出了N = 2 10 时的 (t),h 0,h 1 , g 0及 g 1 。在MATLAB5.3 中， N 的阶次还可以扩展。db 小波是正交小波，当然也是双正交小波，并是紧支撑的。 (t) 的支撑范围在t = 0 (2N

14、1) ， (t) 的支撑范围在(1 N) N 。小波 (t) 具有N 阶消失矩，() 在 = 0 处具有N 阶零点。但db 小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）。,2. 对称小波,对称小波简记为symN， N = 2,3,L,8 ，它是db 小波的改进，也是由Daubechies提出并构造的。它除了有db 小波的特点外，主要是 (t) 是接近对称的，因此，所用的滤波器可接近于线性相位。下图是N = 4时的对称小波。,3. Coiflets 小波,该小波简记为coifN， N = 1,2,5.在db 小波中，Daubechies 小波仅考虑了使小波函数 (t) 具

15、有消失矩（ N 阶），而没考虑尺度函数 (t) 。R.Coifman 于1989 年向Daubechies 提出建议，希望能构造出使 (t) 也具有高阶消失矩的正交紧支撑小波。Daubechies 接受了这一建议，构造出了这一类小波，并以Coifman 的名字命名。 coifN 是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围为6N 1，也是接近对称的。 (t) 的 消失矩是2N ， (t) 的消失矩是2N 1。下图是N = 4时的coif4 小波。,4Meyer 小波,Meyer 小波简记为meyr，它是由Meyer 于1986 年提出的。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜像滤波器组的频谱来定义的。

16、 Meyer 小波是正交、双正交的，但不是有限支撑的，但其有效的支撑范围在8，8之间。该小波是对称的，且有着非常好的规则性。下图给出了Meyer 小波的尺度函数 (t) 和小波函数 (t) 。,双正交小波,两通道正交镜像滤波器组具有仿酋性质。满足这一条件的分析滤波器H 0(z) 和 H 1(z ) 是功率对称的，且h 0(n) 和h 1(n) 之间有着正交性，再是h 0(n) ，h 1(n) ， g 0(n) ，g1(n)有着同样的长度，都不是线性相位的。为了取得线性相位的滤波器组，我们需放弃H 0(z ) 的功率互补性质。这也就放弃了h 0(n)和h 1(n)之间的正交性，代之的是双正交关系

17、。 由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。因此，正交小波条件下的 (t) ， (t) 和 h 0 ,h 1, g 0与 g 1都不具有线性相位（Haar 小波除外）。为此，Daubechies 和Cohen 提出并构造了双正交小波，其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位的小波及相应的滤波器组。 双正交滤波器组简称biorNr,Nd，其中Nr 是低通重建滤波器的阶次， Nd 是低通分解滤波器的阶次。在MATLAB 中， Nr 和Nd 的可能组合是： Nr =1, Nd =1,3,5 Nr =2, Nd =2,4,6,8 Nr =3, Nd =1,3,5,7,9 Nr =4, Nd =4 Nr =5, Nd =5 Nr =6, Nd =8,这一类小波自然不是正交的，但它们是双正交的，是紧支撑的，更主要的是它们是对称的，因此具有线性相位。分解小波 (t) 的消失矩为Nr 1 。下图给出的bior3.7 的分解小波、尺度函数及重建小波和尺度函数。,3.4 离散小波变换及其频带特性,将a、b取为离散型整数形式，即： ，可将 表示为： 相应的小波变换表示为离散小波变换：,因为离散小波 是由 经 整数倍缩放和整数k平移所生成，它同样满足： 若 满足允许小波的条件，则 也是允许小波；若 具有时