2014一轮复习课件第2章第2节函数的单调性与最值

1、一、函数的单调性 1单调函数的定义,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),逐渐上升,逐渐下降,2.单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 或 ，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做f(x)的单调区间,增函数,减函数,区间D,1函数yf(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的增区间是(，0(0，)吗？ 提示：不是，函数f(x)的增区间是 (，0和(0，)， 不是(，0(0，),函数的单调区间之间不能取并集,二、函数的最值,f(x)M,f(x0)M,f(x)M,f(x0)M,2最大(小)值反映在函数图象上有何特征？ 提示：函数的最大(小)值反映在其图象上分别具有最高(

2、低)点,解析：由条件知函数f(x)在(0，)上为减函数，四个选项中只有A满足 答案：A,2(2013许昌模拟)函数f(x)log2(3x1)的值域为() A(0，)B0，) C(1，)D1，) 解析：3x11，log2(3x1)0，故选A. 答案：A,4函数y(x3)|x|的单调递增区间是_,【考向探寻】 判断或证明函数的单调性,【互动探究】 在本例(2)中，将“在(0，)上”改为“在定义域上”，结果如何？,判断函数单调性的常用方法 (1)定义法； (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数，一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数； (3)奇函数在两个对称区间上的单调性相同，偶函

3、数在两个对称区间上的单调性相反； (4)如果f(x)在区间D上是增(减)函数，那么在它的子区间上也是增(减)函数；,(5)如果yf(u)，ug(x)单调性相同，那么yfg(x)是增函数；如果yf(u)，ug(x)单调性相反，那么yfg(x)是减函数； (6)利用图象判断函数的单调性； (7)利用导数研究函数的单调性.,【考向探寻】 利用观察法、换元法、配方法、函数的单调性、不等式的性质、代数式的几何意义等求函数的最值(值域),【考向探寻】 1求函数的单调区间； 2已知函数的单调性求参数范围； 3利用单调性解不等式、求值域,(2)已知函数f(x)是R上的增函数，且f(x2x)f(ax)对一切xR

4、都成立，则实数a的取值范围为_ (3)求出下列函数的单调区间： f(x)|x24x3|； f(x)log2(x21),(1)利用对称性将函数值转化到区间1，)上，根据单调性判断大小 (2)由单调性得到x2xax，即ax22x恒成立，转化为求函数g(x)x22x的最小值 (3)函数含有绝对值，故可将其转化为分段函数后作出图象求解；中的函数为函数ylog2u，ux21的复合函数，要注意其定义域,(2)解析：由题意知x2xax对一切xR都成立， 即ax22x对一切xR都成立 令g(x)x22x，则g(x)x22x(x1)211， a1，所求a的范围为(，1) 答案：(，1),(3)解：先作出函数yx

5、24x3的图象，把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得函数f(x)的图象如图甲所示,由图可知，函数的增区间为1,2，(3，)，减区间为(，1)，(2,3 函数的定义域为x210， 即x|x1或x1 令u(x)x21，图象如图乙所示 由图象知，u(x)在(，1)上是减函数，在(1，)上是增函数 而f(u)log2u是增函数 故f(x)log2(x21)的单调增区间是 (1，)，单调减区间是(，1),(1)求函数的单调区间与确定单调性的方法： 利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间 定义法：先求定义域，再利用单调性定义 图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x

6、)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间 导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间,(2)求函数yf(g(x)的单调区间的步骤： 确定定义域； 将函数yf(g(x)分解成两个基本初等函数； 分别确定两基本初等函数的单调性； 按“同增异减”的原则确定原函数的单调区间,【活学活用】 2(1)已知函数f(x)log2(x2ax3a)在区间2，)上递增，则实数a的取值范围是_,答案：1，)(，1,(12分)函数f(x)对任意的a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1. (1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.,(1)是抽象函数单调性的证明，运用定义法，需构造f(x1)f(x2)的形式(2)是抽象不等式，需利用(1)的结论，化抽象不等式为具体不等式，为此还要将右边常数3看成某个变量的函数值,(1)设x1，x2R，且x10， f(x2x1)1.2分 f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1) f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10， 即f(x2)f(x1)，5分 函数f(x)在R上是增函数.6分,证明抽象函数单调性的步骤 步骤一：在