高中数学32第1课时一元二次不等式同步导学案北师大版

1、2 2一元二次不等式一元二次不等式 第第 1 1 课时课时一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 知能目标解读知能目标解读 1.理解一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系，能借助二次函数的图像解一元二次不 等式. 2.熟练掌握将一元二次不等式转化为一元一次不等式组. 3.对于含参数的一元二次不等式，能进行分类讨论求解. 重点难点点拨 重点：一元二次不等式的解法. 难点：一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系及对含参数的一元二次不等式的分类讨 论. 学习方法指导学习方法指导 1.一元二次不等式与相应的二次函数，二次方程的联系 一元二 次方程ax+bx+c=0(a0),一元二

2、次 不等式ax+bx+c0、ax+bx+c0 =00)的图像 ax2+bx+c=0(a0)的根 ax2+bx+c0(a0)的解集 ax2+bx+c0)的解集 有两个不相等的有两个相等的实没有实数根 R R 实根x1,x2且x1x2根x1,x2且x1=x2 x|xx2 x|x- b 2a x|x1xx2 2.解一元二次不等式的一般步骤 （1）对不等式变形，使一端为0 且二次项系数大于0. （2）计算相应的判别式. （3）当0 时，求出相应的一元二次方程的根. （4）根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集. 注意： （1） 利用数形结合法解一元二次不等式.在熟悉图像的前提下， 关键是迅速求解对应

3、的一元二次方程. 求解时优先考虑因式分解法，其次才是公式法. （2）特别地，若a0(a0)与ax+bx+c0(a0)的解集不同. 3.解含参数的一元二次不等式 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，解这类不等式可 22 以从分析两个根的大小及二次项系数的正负入手去解答，必要的时候应根据二次项系数的正负或两根的大 小关系上分类讨论，对于每一种情况都要注意结合二次函数的图像写出不等式的解集. 4.解不等式应注意的问题 （1）解不等式的核心问题是不等式的同解变形，是将复杂的、生疏的不等式问题转化为简单的、熟 悉的最简不等式问题.不等式的性质则是不等式变形的理论依据

4、，方程的根、函数的性质和图像都与不等 式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化.（2）一元一次不等式（组）和一元二次 不等式（组）的解法是不等式的基础，因为很多不等式的求解最终都是转化为一元一次不等式（组）和一 元二次不等式（组）进行的. （3）解不等式的过程中，经常要去分母、去绝对值符号等，往往易忽略限制条件和变量取值范围的 改变；对分步或分类求出的结果，何时求交集，何时求并集很容易失误. （4）解含参数的不等式时，注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论 .分类的标准是 通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件） 、根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单

5、调性发生变参数值） 、按照解答的需要（例如进行不等式变形时，必须具备的变形条件）等方面来决定， 一般都应做到不重复、不遗漏. 知能自主梳理知能自主梳理 1.一元二次不等式 含有未知数，且未知数的次数为不等式，叫做一元二 次不等式. 2.一元二次不等式的解及其解集 一般地，使某个一元二次不等式成立的叫做这个不等式的解.一元二次不等式的所有 解组成的，叫做这个不等式的解集. 答案1.一个最高2 的整式 2.x的值集合 思路方法技巧思路方法技巧 命题方向一元二次不等式的解法 例 1解下列不等式： （1）2x-3x-20； （2）-3x+6x2. 分析先求相应方程的根，然后根据相应函数的图像，观察得出

6、不等式的解集. 解析(1)方程 2x-3x-2=0 的两根为x1=- 2 2 2 2 1 ,x2=2. 2 1 ，0）和（2，0） ，如图 2 函数y=2x-3x-2 的图像是开口向上的抛物线，图像与x轴有两个交点为（- 所示. 观察图像可得原不等式的解集为xx2. 2 2 （2）原不等式可化为 3x-6x+20，方程 3x-6x+2=0 的两根为 x 1=1- 0）和（1+ 333 2 ,x2=1+,函数y=3x-6x+2 的图像是开口向上的抛物线， 图像与x轴的两个交点为 （1-， 333 3 ，0） ，如图所示. 3 观察图像可得原不等式的解集是x|1- 33 x0 的解集为x|- 2

7、22 2 2 2 2 11 2 x0.分 32 析由题意可知- 11 2 ,是方程ax+2x+c=0 的两根，故可用韦达定理求得a、c的值. 32 2 解析 由ax+2x+c0 的解集为x|- 由韦达定理知 1111 2 x， 知a0， 且方程ax+2x+c=0 的两根为x1=-,x2=, 3232 a0，即 2x-2x-120, 解得-2x3. 所求不等式的解集为x|-2x3. 说明一元二次不等式解集的端点恰好是其对应的一元二次方程的两根，也是与其对应的二次函 数与 x 轴交点的横坐标. 变式应用 2 已知关于x的不等式x+ax+b0 的解集. 解析由韦达定理有 -a=1+2 22 b=12

8、 ，得 a=-3, b=2 代入不等式，2x-3x+10,由 2x-3x+10 (2x-1)(x-1)0 x1. 2 bx+ax+10 的解集为（-, 1 ）(1,+). 2 探索延拓创新探索延拓创新 命题方向含参数的一元二次不等式的解法 例 3解关于x的不等式ax-(a+1)x+10(a1). 分析当a=0 时，不等式的解集a0 时，不等式的解集0a1 时不等式的解集 解析（1）若a=0,则原不等式可化为-x+11. (2)若a0,即x1. aa 1 . a (3)若 0a1 时，原不等式的解为1x 综上所述：当a0 时，解集为x|x1; 当 0a1 时，解集为x|1x1; a 1 . a

9、说明含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数可先考虑分解因式，再对参数进行讨论； 若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏.若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项 系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次对相应方程的根进行讨 论，比较大小，以便写出解集. 变式应用 3 解关于x的不等式（x-2）(ax-2)0(a0). 解析由于a0,所以原不等式可化为（x-2） （x- 2 ）0, a 由 2 2 可得a=1, a 当 0a1 时，解不等式可得x 2 ; a 当a=1 时，解不等式得xR R 且x2; 当a1 时，解不等式得x2. a 2 或x2,

10、 a 综上所述，当 0a 当a=1 时，原不等式的解集为x|x2, 当a1 时，原不等式的解集为x|x2 或x 2 . a 222 名师辨误做答名师辨误做答 例 4已知x1,x2是关于x的方程x-(a-2)x+(a+3a+5)=0 的两个实根，求x 1+x2 的最大值. 误解由根与系数的关系，得x1+x2=a-2,x1x2=a+3a+5, x 1+x2=(x1+x2) -2x1x2=(a-2) -2(a +3a+5) =-a-10a-6 =-(a+5) +1919， x 1+x2的最大值为 19. 辨析由于一元二次方程只是在判别式0 时才有两个实根，故a的取值范围有限制，本题没 有考虑这一限制

11、，会使x 1+x2 的范围不准确. 正解由=（a-2） -4(a+3a+5)0，得 -4a- 22 22 22 22 2 2 22 2 22 2 2 4 . 3 2 2 22 x 1+x2=(x1+x2) -2x1x2=-(a+5) +19， 当a-4 时，x 1+x2取最大值 18. 课堂巩固训练课堂巩固训练 一、选择题 1.不等式 16x+8x+10 的解集为（） A.x|x- 2 111 B.x|-x 444 1 C. D.x|x=- 4 答案D 解析16x2+8x+1=(4x+1) 20， 不等式 16x2+8x+10 的解集为x|x=- 1 4 ，故选 D. 2.不等式-3x2+7x

12、-20 的解集为（） A.x| 1 3 x2 或x 1 3 C.x|-2x2 答案B 解析原不等式可化为 3x2-7x+20, 即(3x-1)(x-2)0,x2 或x0,解得m2 或m2. 二、填空题 4.设集合A=x|(x-1) 23x-7,则集合A中有个元素. 答案0 解析不等式(x-1) 23x-7 可化为x2-5x+80, 即(x- 5 2 )2+ 7 4 0 的解集是 . 答案 x|x3 解析 由表知x=-2 时，y=0，x=3 时，y=0. 二次函数y=ax2+bx+c可化为y=a(x+2)(x-3),又当x=1 时，y=-6,a=1. 不等式ax2+bx+c0 的解集为x|x-2

13、 或x3. 三、解答题 6.若不等式ax2+bx+c0 的解集为x|-3x4,求不等式bx2+2ax-c-3b0 的解集为x|-3x4, a0 且-3 和 4 是方程ax+bx+c=0 的两根， -3+4 2 2 b a -34 解得 c a b=-a c=-12a 不等式bx+2ax-c-3b0 可化为-ax+2ax+15a0, 即x-2x-150, -3x5, 所求不等式的解集为x|-3x5. 课后强化作业课后强化作业 一、选择题 1.(2011山东理，1)设集合M =x|x+x-60，N =x|1x3,则MN =（） A.1,2) B.1,2 C.( 2,3 D.2,3 答案A 解析本题

14、主要考查集合的运算（交集） 、集合的表示法及二次不等式的解法. 依题意：M=(-3,2),又N=1,3,MN=1,2),故选 A. .不等式-xx-2 的解集为（） A.x|x-2 或x1 B.x|-2x0 的解集是x|- 2 2 2 2 2 22 11 x0 的解集为x|- 11 x, 23 - 11 2 、是方程ax+bx+2=0 的两根, 23 11b 23a 解得 112 23a a=-12 b=-2. a-b=-10. 4.若 0t1,则不等式(x-t)(x-)0 的解集为（） 1 t A.x|x或xt 1 t 1 t C.x|xtD.x|tx 答案D 1 t 1 t 解析0t1,

15、1 t (x-t)(x-)0,tx,故选 D. 5.x=2 是方程x+kx+2=0 的一根，则不等式x+kx+20 的解集为（） A.x|x2B.x|1x2 C.x|x2D. 答案B 解析方程x+kx+2=0 的一根为x=2,则由根与系数关系知另一根为 1，所以x+kx+20 的解集为 x|1x0; 2 2 22 22 1 t 1 t x+6x+100; 2x-3x+40,解集不为 R R. 2 中=6 -4100.故选 C. 7.不等式x-ax-12a0（其中a0）的解集为（） A.（-3a,4a）B.(4a,-3a) C.(-3,4) D.(2a,6a) 22 2 答案B 22 解析x-a

16、x-12a0, (x-4a)(x+3a)0,又a0, 4ax0 的解集为x|x4,那么对于函数f(x)=ax+bx+c有（） A.f(5)f(2)f(-1) B.f(2)f(5)f(-1) C.f(2)f(-1)f(5) D.f(-1)f(2)0 的解为x4. 则a0 且-2 和 4 是方程ax+bx+c=0 的两根， 函数f(x)=ax+bx+c的图像开口向上，对称轴为x=- f(5)f(-1)f(2),故选 C. 二、填空题 9.不等式ax+bx+30 的解集为x|x3 或x0,B=x|x+ax+b0.且AB=R R,AB=x|33 或x-1,AB=R R, AB=x|3x4, B=x|-

17、1x4, -1,4 是方程x+ax+b=0 的两根. a=-(-1+4)=-3,b=-144. 11.若关于x的不等式x-ax-a-3 的解集不是空集，则实数a的取值范围是. 答案a-6 或a2 解析x-ax-a-3 的解集不是空集, y=x-ax-a+3 的图像与x轴有交点, 则=(-a) -41(-a+3)0，解得a-6 或a2. 12.对于实数x,当且仅当nxn+1(nN N+)时， 规定 x =n,则不等式 4 x-36 x +450 的解集为. 答案x|2x8 2 2 2 2 2 2 解析由 4x -36x+450， 得 2 3 x7.5,即 1.5x7.5, 2 故 2x7，2x0; 2 2 （4）-2x+3x-20. 解析（1）原不等式化为(x-5)(x+1)0， -1x5. 故所求不等式的解集为x|-1x5. (2)原不等式化为 4x-18x+ 2 81 0， 4 即（2x- 9 2 ） 0， 2 x= 9 . 4 故所求不等式的解集为x|x= 2 9 . 4 (3)原不等式化为x-6x+100, 即(x-3) +10, 即 2(x- 3 2 7 ) +0. 48 xR R. 故所求不等式的解集为R R. 14.解关于x的不等式 4x-3x-62x+8