2 计算方法数值积分.ppt

1、1,计算方法,2,2 数值积分,问题的提出 各种典型的问题,3,2.0 问题的提出,回顾 数学分析中关于积分的定义 。,4,积分函数 假设f(x)为定义在a，b上的可积函数，计算积分 如果F(x)为原函数，则 Q?,5,Q: (1) 有些函数的原函数不能用初等函数表现为有限的形式； (2) 原函数的形式复杂； (3) 原函数没有具体的表达式，只有离散点。定积分的数值解法(效率+精度)。,6,2.1 数值积分公式,一般形式 设(a，b)为有限或无限区间， 其中w(x)为权函数，满足： (1) 在(a，b)中，w(x)0，并且最多只有有限个零点； (2) 存在。,7,用被积函数f(x)的若干节点x

2、i (ax0 x1 xnb)处的函数值f(xi)的线性组合 (数值积分公式，求积公式) 作为I(f)的近似值。 求积节点：xi(i=0，1，n) 求积系数：Ai(i=0，1，n)与f(x)无关； 余项或离散误差：En(f)=I(f)-In(f),8,2.2 插值求积公式,一般思想 取简单的、便于积分且又逼近于被积函数f(x)的函数(x)代替f(x)来构造求积公式； 典型插值多项式,9,Lagrange多项式： 从而插值求积公式： 余项：,10,Newton-Cotes插值公式,设a，b为有限区间，取w(x)=1，h=(b-a)/n，等距节点xi=a+ih(i=0，1，n)。 记x=a+th(0

3、t n)，则：,11,而dx =hdt， n阶Newton-Cotes插值公式。,12,通常取 Ci(i=0，1，n)为Cotes系数。 从而:,13,Cotes系数 Ci的特点,14,特例,梯形公式 n=1，x0=a，x1=b，h=b-a 示意图,15,Simpson公式(抛物线插值公式) n=2，x0=a， x1=(b+a)/2， x2=b，h=(b-a)/2,16,Cotes公式 四阶(n=4)Newton-Cotes公式 适用性：高阶公式稳定性差,17,例题 利用梯形公式和Simpson公式求积分 解：I1(f)=0.75; I2(f)=0.69444; I(f)=0.69314718

4、.有效数字？,18,代数精度,对 如果该求积公式对于一切次数m的多项式是准确的，但对于 m+1次多项式不准确，则称其具有m次代数精度。,19,定理：求积公式具有m次代数精度的充要条件是：它是插值型的。 证明： 充分性：m的多形式的插值函数是其本身，从而插值型具有至少m阶精度； 必要性：求积函数具有m次代数精度，则对其插值基函数lk(x)，有：,20,典型插值公式的代数精度：二阶、四阶； 由插值精度构造插值公式；,21,误差,定理： 设n为偶数，且f(x)在a，b上有n+2阶连续导数，则Newton-Cotes型求积公式的离散误差： 设n为奇数，且f(x)在a，b上有n+1阶连续导数，则Newt

5、on-Cotes型求积公式的离散误差：,22,特例： n=1时，梯形公式的离散误差为 n=2时，Simpson公式的离散误差为 n=4时，Cotes公式的离散误差为,23,收敛性,假设在区间a，b上给定节点组成的无穷三角阵 x0(0) x0(1) x1(1) x0(2) x1(2) x2(2) x0(n-1) x1(n-1) x2(n-1) xn-1(n-1) x0(n) x1(n) x2(n) xn(n) 由节点组a x0(n) x1(n) x2(n) xn(n) b 构造带余项的插值公式 若 ，则插值方法是收敛的。 Newton-Cotes求积公式不是对任何连续函数都收敛。,24,2.3

6、复合求积公式,提高阶的方法并不有效。 思想：插值近似分段插值。 复合求积的思想： 将a,b划分为n等份，步长h=(b-a)/n，分点为xi=a+ih(i=0,1,n)，先用低阶的求积公式求得每个子段xi，xi+1上的积分值Ii，然后将它们求和，用 作为所求积分I的近似值。,25,复合梯形公式 xi，xi+1上 从而：,26,复合Simpson公式,27,复合Cotes公式,28,例题：见例2。,29,2.4 区间逐次分半法,Q： 复合求积需要给出步长。区间太粗，精度不够；区间太细，计算量过大；,30,误差分析 收敛，变步长的方法，逐次缩小区间，进行误差分析; |I2n( f )-In( f )

7、| 最简单：区间逐次分半。,31,复合梯形公式： xi，xi+1(i=0,1,n-1) ，,32,截止条件：精度 |T2n( f )-Tn( f )|,33,简单 精度低 收敛速度慢,34,2.5 龙贝格算法,近似函数的精度 插值中的残差修正方法(事后估计法),35,误差分析 梯形公式的误差h2 Simpson算法,36,Simpson公式的误差h4 Cotes算法,37,Cotes公式的误差分析h6 Romberg公式，不属于Newton-Cotes公式范畴。,38,Romberg算法 系数？,39,Exercises: 习题2的第8、9、10、12题。,40,2.6 Gauss公式+正交多

8、项式,问题 数值求积的Gauss公式,41,复习已有公式的特点 要解决的问题：被积函数已知或未知(离散点) 求积公式的特点 Newton-Cotes公式; 复化求积公式; Romberg算法; 精度 节点不等距,42,问题,等分点：简单，精度受限制； 提高精度：构造不等分点高精度的求积公式； 以本章的数值求积公式为基础，针对f(x)已知的情况，以代数精度为目标。,43,数值求积公式的构造 给定求积节点xi(i=0,1,n)，构造具有n次代数精度的数值求积公式。 精度不能再提高矛盾方程组。,44,Gauss公式,。不失一般性，由代数精度构造插值型数值求积公式 求积节点xi(i=1，2，n)( a

9、x1 x2 xn b)。 适当的选取求积节点xi和求积系数Ai，可以使得该插值公式具有2n-1次代数精度。高斯求积公式和高斯求积点。,45,n=1： 至少具有？次代数精度(插值型求积公式的代数精度)。 如果具有2n-1次代数精度，等价于对f(x)= , 成立,46,n=2: 具有3次代数精度。 等价于对f(x)= ? , 成立。,47,48,Gauss点的特征,设xi(i=1，2，n)是求积公式的高斯点，做多项式 对于任意次数n-1的多项式p(x)， p(x) w(x)是次数2n-1的多项式，则满足下式 以高斯点为零点的n次多项式w(x)与n-1的多项式p(x)正交。,49,如果w(x)与n-

10、1的多项式p(x)正交，则其零点必为Gauss点。 证明：任意2n-1的多项式f(x) 记：f(x)=p(x)w(x)+q(x) q(x)为n-1的多项式。 从而 按插值型求积公式的特点， 至少有n-1次代数精度,50,定理： 节点xi(i=1，2，n)是高斯点的充要条件是：多项式 与一切次数n-1的多项式p(x)正交，即成立：,51,确定n=2的高斯点,52,Legendre多项式 以Gauss点xi(i=1，2，n)为零点的n次式 Legendre多项式形式,53,典型的Gauss公式 一次； 二次； 三次。,54,特点：收敛性。 高次的高斯公式不便于应用，一般可借鉴复合求积方法。,55,3 数值微分,微分定义 数值微分的典型形式 中点公式的加速,56,微分的定义,57,数值微分公式(差商公式),58,取 精度分析步长小与大的矛盾。,59,中点公式的加速逐次分半取：,60,插值型求导公式 已知函数f(x)的节点xk(k=0,1,n)，其插值函数为pn(x)，取 f(x)pn(x)为插值型求导公式。,61,由于从而：式中,62,设已知xk=